2025-2026学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区九年级上学期期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区九年级上学期期末数学试卷（学生版），共7页。试卷主要包含了选择题，四象限D.第三等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
2.下列事件中，是必然事件的是（ ）
A.任意抛一枚硬币，正面朝上
B.任意画一个圆内接四边形，其对角互补
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D.随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数
3.若是关于方程的一个根，则的值是（ ）
A.B.C.3D.1
4.如图，C，D是上直径两侧的两点，设，则（ ）
A.B.C.D.
5.如图，点、分别在的边、上，且，若，，则的长为（ ）
A.B.C.D.
6.若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（ ）
A.第一、二象限B.第一、三象限
C.第二、四象限D.第三、四象限
7.如图，点，，以点为位似中心，将放大为原来的2倍，则点的对应点的坐标是（ ）．
A.B.
C.或D.或
8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”
此问题中，该内切圆的直径是（ ）
A.3步B.6步C.8步D.10步
9.如图菱形的边长为，，，动点P，Q同时从点A出发，都以的速度分别沿和的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A.B.
C.D.
10.如图，是坐标原点，已知二次函数（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为，其中，，且．以下结论：①；②；③当时，；④；⑤若方程（）的两根为、（），则，．其中正确结论有（ ）
A.个B.个C.个D.个
二、填空题（每题3分，共18分）
11.若一元二次方程有一个根为，则______．
12.一个圆锥的底面半径为3cm，将其侧面展开得到扇形圆心角为216°，则此圆锥的高为_________．
13.如图，内接于，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于、两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接、，则的度数是______．
14.如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点在轴上，点在轴上，正方形的边在上，．反比例函数（）的图像经过点，阴影部分的面积为8，则的值为______．
15.一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，．三角板固定不动，将小三角板绕点顺时针在平面内旋转，当点在同一条直线上时，点到直线的距离为_____．
16.在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______．
三．解答题（满分72分）
17.解方程
（1）；
（2）．
18.如图，的三个顶点A、、都在格点上，坐标分别为、、．
（1）画出绕着点顺时针旋转得到的；
（2）求点A运动到点所经过的路径长．
19.如图，在和中，，．
（1）求证：
（2）若，，求长．
20.横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模型设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
模型设计水平调查报告
21.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
22.如图，点在的平分线上，与相切于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）的延长线与交于点，若的半径为6，，求弦的长．
23.【综合与探究】在数学综合与探究活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
如图1，在矩形和矩形中，，点、分别是、上的中点，连接．
【特例感知】
（1）请直接写出值，_____；
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的矩形绕着点顺时针旋转，连接，探究的值是否改变，并证明你的结论；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值．
24.综合与探究
抛物线（）与轴交于点、点，与轴交于点，且顶点坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线在第三象限内任意一点，连接、得到，当取最大值时，请直接写出此时中边上的高的值为______；
（3）如图2，点是抛物线在第三象限内任意一点，过点作轴的垂线，垂足为点，连接，若，求此时点的坐标；
（4）在（2）的条件下，当取最大值时，若点是轴上一动点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，连接、，则的最小值为______．
调查主题
“逐梦科技强国”活动中模型设计水平
调查目的
通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识．
调查对象
某校学生模型设计成绩
调查方式
抽样调查
数据收集与表示
随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：：，：，：，：．
下面给出了部分信息：
其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
数据分析与应用
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共抽取了______名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是______分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）学校决定从模型设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．