北京市丰台区2024-2025学年九年级上学期期末考试 数学试卷（含解析）

这是一份北京市丰台区2024-2025学年九年级上学期期末考试 数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在平面直角坐标系中，如果点与点B关于原点对称，那么点B的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，OA是的半径，AB是的弦，于点C，若，则OC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．16B．8C．8或D．4或
7．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，
D．是关于x的一元二次方程的一个根
8．勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题）
9．“射击运动员射击一次，命中靶心”，这个事件是 事件（填“必然”，“不可能”或“随机”）
10．如图，A，B，C是上的点，如果，那么的度数是 ．
11．如图，，是的切线，A，C为切点．若，，则直径的长是 ．

12．在平而直角坐标系中，抛物线（）上部分点的横坐标x．纵坐标y的对应值如下表：
则该抛物线的对称轴是 ．
13．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形、则地基的周长为 m．
14．在平面直角坐标系中，若点绕原点O顺时针旋转得到点．则点A运动到的轨迹的长度为 ．
15．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：
根据表中信息，回答下列问题：
（1）a的值为 ；
（2）估计幼树移植成活的概率为 （结果保留小数点后一位）
16．某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点处，羽毛球发射的初始位置的高为AB，．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为的点处的正上方达到最高点，且高度为．在与点的水平距离为的点处落地，则的值是 ．
三、解答题（本大题共12小题）
17．计算：
18．解方程：
19．已知m是方程的一个根，求代数式的值．
20．下面是小明设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，点P在外．
求作：的切线，使它经过点．
作法：①作射线交于A、B两点；
②以点为圆心，以的长为半径作弧；以点为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧相交于点，；
③连接，分别交于点，；
④作直线，．
直线，为所作的切线．
根据小明设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明
证明：连接．
在中，点A，B，C在上，
，
，
．
，
（ ）（填推理依据）．
∴直线是的切线（ ）（ 填推理依据），
同理可证，直线是的切线．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根的积为3．求k的值．
22．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求抛物级的解析式；
(2)若将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线G，直接写出抛物线G的解析式．
23．造纸术、印刷术、指南针和火药是中图古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每辐海报面积均为．若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度．
24．如图，是的直径，点C在上，连接，．作交于点D，交于点E．
(1)求证：；
(2)过点D作的切线交的延长线于点F，若，．求的长．
25．鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下：
通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象．
根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
(1)第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数；
(2)当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；
(3)当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）．
26．在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点．
(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(2)对于，，都有，求m的取值范围．
27．P是正方形边上一点，连接，．将线段绕点P顺时针旋转得到线段，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)如图1，当点P为中点时，直接写出线段与线段的数量关系；
(2)如图2，当点P为线段上任意一点时，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦AB和点，给出如下定义：若在上或其内部存在一点使得四边形是菱形且AB是该菱形的对角线，则称点是弦AB的“伴随点”．
(1)如图，点．
①在点中，弦AB的“伴随点”是点 ；
②若点是弦AB的“伴随点”且，则长为 ；
(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的伴随点．记点的横坐标为，当时，直接写出的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标符号相反即可得出结果．
【详解】解：两个点关于原点对称，这两个点的坐标符号相反，
点关于原点对称的点的坐标是．
故此题答案为D．
2．【答案】D
【分析】根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合，对选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D．该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
故此题答案为D．
3．【答案】C
【分析】根据抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标
【详解】解：抛物线，
抛物线顶点为，
故此题答案为C．
4．【答案】B
【详解】解：是的弦，且于点，
，，
，
故此题答案为B．
5．【答案】A
【分析】首先利用列举法可得所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴两枚硬币全部正面向上的概率是： ．
故此题答案为A．
6．【答案】C
【分析】关于的一元二次方程，若，则原方程有两个不相等的实数根；若，则原方程有两个相等的实数根；若，则原方程没有实数根．
根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程，有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为C．
7．【答案】D
【分析】根据对称轴和图像经过求得B，由，可得当时，，判断C，根据关于对称轴的对称点为：，判断D．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，抛物线的顶点坐标为，过点，
∴，，故A错误；
∴对称轴为，
∴；
∵经过点，，
∴
∴，故B错误，
∵，
∴
当时，，故C错误
∵对称轴为直线，
∴关于对称轴的对称点为：，
∵点在此抛物线上，
∴在此抛物线上，即，
∴即是关于x的一元二次方程的一个根，故D正确，
故此题答案为D．
8．【答案】A
【分析】根据矩形面积不同的表示表示方法得出等式即可求解．
【详解】解：设由图可知：如图1所示的直角三角形面积为，
图2所示的矩形面积为：，而图2所示的矩形面积为如图1所示的面积的4倍
∴，
∴
故此题答案为A．
9．【答案】随机
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件，又称随机事件；一定不会发生的事件叫做不可能事件，一定会发生的事件叫做必然事件，据此可得答案．
【详解】解：射击运动员随机射击一次，可能命中靶心，也可能不命中靶心，故该事件是随机事件
10．【答案】
【分析】根据一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半求解即可．
【详解】解：∵，
∴
11．【答案】
【分析】含角的直角三角形的性质等知识，先根据切线长定理，切线的性质，得出，，然后根据含角的直角三角形的性质求出，即可求解．
【详解】解：∵，，是的切线，，
∴，，
∵，
∴，
∴直径
12．【答案】
【分析】根据二次函数图象上点的对称性，可得对称轴为，即可求解．
【详解】解：由表格可得，点和点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，
∴对称轴为，
故答案为：．
13．【答案】
【分析】根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可．
【详解】解：如图，
∵，,
∴，即正六边形的边长为，
∴地基的周长为
14．【答案】/
【分析】先根据点A的坐标求出的长度，然后根据旋转的性质和弧长公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵点绕原点O顺时针旋转得到点，
∴点A运动到的轨迹的长度为
15．【答案】
【分析】大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）根据成活的频率公式，计算即可；
（2）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，据此求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，得
（2）解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴所以这种幼树移植成活率的概率约为
16．【答案】
【分析】由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数解析式为，将，代入即可求出函数解析式，于是得解．
【详解】解：如图，以点为坐标原点，AD所在直线为轴，AB所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
由题意可知，羽毛球飞行的水平距离为时，达到最高，高度为，故抛物线的顶点的坐标为，
由题意可得：,,
设抛物线的函数解析式为，
代入点,，得：
，
解得：，
故抛物线的函数解析式为
17．【答案】
【分析】根据负整数指数幂的意义、二次根式的性质、零指数幂的意义等化简计算即可．
【详解】解：原式
．
18．【答案】，
【分析】把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
19．【答案】
【分析】根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
20．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求即可画出图形即可；
（2）根据等腰三角形三线合一即可解决问题．
【详解】（1）解：（1）如图所示；
（2）证明：连接．
在中，点A，B，C在上，
，
，
．
，
（在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合）．
∴直线是的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）
同理可证，直线是的切线．
21．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而即可证出：方程总有两个不相等的实数根；
（2）用根与系数的关系列式求得的值即可．
【详解】（1）证明：∵，
即，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根为、，
利用根与系数的关系得：，
解得：．
22．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点，代入，求出、的值即可得出结论；
（2）把（1）中抛物线的解析式化为顶点式的形式，再根据“左加右减”的法则即可得出结论．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
，
解得，
此抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，
将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线的解析式为：，
即．
23．【答案】
【分析】设彩色纸带的宽为，根据题目条件由面积公式列出方程，求出其解就可以．
【详解】解：设彩色纸带的宽为，
根据题意，得，
解方程，得，（不合题意，舍去)．
答：彩色纸带的宽为．
24．【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，平行线的性质可得出，然后根据垂径定理即可得证；
（2）根据切线的性质以及（1）的结论可证明四边形是矩形，则，根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，
∵是的切线，
∴，
又，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∵，，
∴．
25．【答案】(1)11
(2)14，21
(3)
【分析】（1）根据表格数据和函数图象观察即可得解．
（2）根据表格数据和函数图象观察即可得解．
（3）根据表格数据和函数图象观察即可得解．
【详解】（1）解：由图可知当第11天之后，，
（2）由图可知，蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 21天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第27天（结果保留整数）起基本失去弹性；
（3）由图可知，当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，大约当第21天时，n的最大值约为，
26．【答案】(1)直线
(2)
【分析】（1）把函数解析式化成顶点式，即可求解；
（2）求出点关于对称轴对称点为，然后分，，，讨论，根据抛物线开口向上及求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解∶∵抛物线对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称点为，
当时，则，
∵，
∴
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
这与相矛盾，故不符合题意，舍去；
当时，，
∵，
∴，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴ ，
与相矛盾，故不符合题意，舍去；
当时，则，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴，
∴，
当时，
∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，
∴
∴，
∴，
综上，
27．【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据证明，得出，，结合旋转的性质可得出，，再根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）结合旋转的性质和可证明，得出，，结合三角形外角的性质可得出，根据正方形的性质得出，，结合三角形外角的性质可得出，根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：，
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点P为中点，
∴，
∴，
∴，，
∵旋转，
∴，，，
∴，即，，
又，
∴，
∴；
（2）解：
理由如下：
连接，相交点O，连接，相交于点G，与、相交点H、K，
∵旋转，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，即，
∴，
又，
∴，即，
又，
∴，
∴．
28．【答案】(1)①；②
(2)且
【分析】（1）①根据新定义，弦AB的“伴随点”在的垂直平分线上（除的中点外），且在上或其内部存在一点，且，结合坐标系，即可求解；
②根据圆周角定理，圆内接四边形对角互补得出，根据新定义得出点在外，且只有1个，进而解直角三角形，即可求解；
（2）分析新定义，结合（1）②可得弦AB的“伴随点”是线段除点外上的点，而，根据新定义得出点的轨迹为线段（除点）上任意一点，当旋转时，构成的图形如图所示，是两个同心圆构成的圆环（实线部分）除开半径为的圆（虚线部分）；根据对称性分别求得，进而根据且，得出的范围，根据与轴的夹角为，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，点关于对称的点分别为
只有在的垂直平分线上（除的中点外），且在内部存在一点，
故答案为：．
②如图所示，设为的中点，,为的垂直平分线与的交点，
∵
∴，则是等腰直角三角形，
∴的垂直平分线为一三象限的平分线上即，点在一三象限的平分线上
∵，
∴
如图所示，则分别为关于的对称点，弦AB的“伴随点”是线段除点外上的点，
又∵点是弦AB的“伴随点”且
∴点在外，且只有1个，
∵
∴，
∵
∴
∴，
故答案为：．
（2）解：由（1）②可得，弦AB的“伴随点”是线段除点外上的点，而，
∵在上，且，
设，则
∴，即，
同理，则
∵，则，则
∴，，，
当是直线上一点，且存在的弦，点是弦的伴随点．
∴点的轨迹为线段（除点）上任意一点，当旋转时，构成的图形如图所示，是两个同心圆构成的圆环（实线部分）除开半径为的圆（虚线部分）
∴且
即且
又∵与轴的夹角为
∴的横坐标为
∴且．
x
…
0
1
2
…
y
…
0
5
…
移植总效n
10
50
400
750
1500
3500
9000
14000
成活数m
8
47
369
662
1335
3203
8073
12628
成活的频率
（结果保留小数点后三位）
0.800
a
0.923
0.883
0.890
0.915
0.897
0.902
x/天
0
7
14
21
28
0.45
0.35
0.26
0.18
0.13
0.45
0.33
0.28
0.26
0.15