北京市丰台区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份北京市丰台区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷，共36页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列是围绕2022年北京冬奥会设计的剪纸图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
3．（2分）抛物线y＝（x﹣4）2+1的对称轴是（　　）
A．x＝4 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝﹣4
4．（2分）把一副普通扑克牌中13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小于6的概率为（　　）

A． B． C． D．
5．（2分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个解为x＝0，那么m的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．1或﹣1
6．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）

A．a＝2b B．c＞0 C．a+b+c＞0 D．4a﹣2b+c＝0
7．（2分）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（　　）

A．π B．2π C． D．2π﹣2
8．（2分）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：cm3）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如果点A（3，﹣2）与点B关于原点对称，那么点B的坐标是 　 　．
10．（2分）如图，把⊙O分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果⊙O的周长为12π，那么该正六边形的边长是 　 　．

11．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径AB延长线上一点，且AB∥DC，若∠A＝70°，则∠CBE的度数为 　 　．

12．（2分）如图所示，△ABC绕点P顺时针旋转得到△DEF，则旋转的角度是 　 　．

13．（2分）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量AB＝8cm，CD＝2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 　 　cm．

14．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
那么该抛物线的顶点坐标是 　 　．
15．（2分）小红利用计算机模拟“投针试验”：在一个平面上画一组间距为d＝0.73cm的平行线，将一根长度为l＝0.59cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，如图显示了小红某次实验的结果，那么可以估计出针与直线相交的概率是 　 　（结果保留小数点后两位）．

16．（2分）中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面 　 　m．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：（+1）+（）2+|1﹣|．
18．（5分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
19．（5分）下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：直线PA和⊙O相切．
作法：如图，
①连接AO；
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与⊙O的一个交点为B；
③连接BO；
④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作⊙B的直径OP；
⑥作直线PA．
所以直线PA就是所求作的⊙O的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明；
证明：在⊙O中，连接BA，
∵OA＝OB，AO＝AB，
∴OB＝AB．
∴点A在⊙B上．
∵OP是⊙B的直径，
∴∠OAP＝90°（ 　 　）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP．
又∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线（ 　 　）（填推理的依据）．

20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3kx+2k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若k＞0，且该方程的两个实数根的差为1，求k的值．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点A（﹣3，0），B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
22．（5分）小宇和小伟玩“石头、剪刀、布”的游戏．这个游戏的规则是：“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，石头”胜“剪刀”，手势相同不分胜负．如果二人同时随机出手（分别出三种手势中的一种手势）一次，那么小宇获胜的概率是多少？

23．（6分）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？

24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C是切点，连接AC，PO，交点为D．
（1）求证：∠BAC＝∠OPC；
（2）延长PO交⊙O于点E，连接BE，CE．若∠BEC＝30°，PA＝8，求AB的长．

25．（6分）小朋在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x﹣3）2．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
（1）观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有 　 　值（填“最大”或“最小”），这个值是 　 　；
（2）进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如表：
x
0

1

2

3

4
…
y
0

2

1

0

2
…
结合上表，画出当x≥0时，函数y＝|x|（x﹣3）2的图象；
（3）结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程|x|（x﹣3）2＝kx﹣1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为 　 　（结果保留小数点后一位）．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若x1＝m﹣2，x2＝m+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）若对于﹣1≤x1＜4，x2＝4，都有y1≤y2，直接写出m的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是边BC上一点，作射线AD，满足0°＜∠DAC＜45°，在射线AD取一点E，且AE＞BC．将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接BE，FE，连接FC并延长交BE于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠EGF的度数；
（3）连接GA，用等式表示线段GA，GB，GC之间的数量关系，并证明．

28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点P，则称点P是图形M和图形N的“关联点”．
已知点A（2，0），B（0，2），C（2，2），D（1，）．
（1）直线l经过点A，⊙B的半径为2，在点A，C，D中直线l和⊙B的“关联点”是 　 　；
（2）G为线段OA中点，Q为线段DG上一点（不与点D，G重合），若⊙Q和△OAD有“关联点”，求⊙Q半径r的取值范围；
（3）⊙T的圆心为点T（0，t）（t＞0），半径为t，直线m过点A且不与x轴重合．若⊙T和直线m的“关联点”在直线y＝x+b上，请直接写出b的取值范围．

2021-2022学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列是围绕2022年北京冬奥会设计的剪纸图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据圆周角定理即可解答．
【解答】解：因为所对的圆心角是∠BOC，所对的圆周角是∠BAC，
所以：∠BAC＝∠BOC＝×120°＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3．（2分）抛物线y＝（x﹣4）2+1的对称轴是（　　）
A．x＝4 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝﹣4
【分析】由抛物线的解析式，直接写出该抛物线的对称轴．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣4）2+1
∴该抛物线的对称轴为直线x＝4，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是掌握抛物线解析式的顶点式．
4．（2分）把一副普通扑克牌中13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小于6的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：共13种等可能的结果，小于6的有5种结果，
所以从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小于6的概率为，
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
5．（2分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个解为x＝0，那么m的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．1或﹣1
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝0代入方程得到关于m的方程，解得m＝±1，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
【解答】解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，
解得m＝±1，
而m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
6．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）

A．a＝2b B．c＞0 C．a+b+c＞0 D．4a﹣2b+c＝0
【分析】由抛物线的对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x＝1判断选项C；根据抛物线的对称性即可判断选项D．
【解答】解：A、对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，故选项A不符合题意；
B、由函数图象知，抛物线交y的负半轴，
∴c＜0，故选项B不符合题意；
C、由图可知：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故选项C不符合题意；
D、由图可知：对称轴是直线x＝1，图象与x轴的一个交点为（4，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征．解题的关键理解函数图象与不等式之间的关系．
7．（2分）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（　　）

A．π B．2π C． D．2π﹣2
【分析】根据图形得出△AOC、△OBC、△OBD都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出OC，再分别求出扇形COE，扇形OFE，扇形EOD和△OBD的面积即可．
【解答】解：∵AC＝AO＝2，∠CAO＝90°，
∴∠AOC＝∠ACO＝45°，
同理∠BCO＝∠COB＝45°，OB＝BC＝BD＝2，
由勾股定理得：OC＝＝2，

∴阴影部分的面积S＝（S扇形COE﹣S扇形FOB）+（S扇形EOD﹣S△OBD）
＝[﹣]+[﹣]
＝π﹣+π﹣2
＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
8．（2分）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：cm3）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据V与h不成一次函数关系，故图象没有直线部分排除CD选项，再根据越往上体积越小排除A即可．
【解答】解：由题知，随高度的增加上底面越来越小，故V与h函数图象不会出现直线，排除CD选项，
随着高度的增加h越大体积变化越缓慢，故排除A选项，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象的知识，根据V与h的变化规律排除不合适的选项是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如果点A（3，﹣2）与点B关于原点对称，那么点B的坐标是 　（﹣3，2）　．
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点（横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数）可得答案．
【解答】解：∵点A（3，﹣2）与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数．
10．（2分）如图，把⊙O分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果⊙O的周长为12π，那么该正六边形的边长是 　6　．

【分析】连接OB、OC，得到△OCB是等边三角形，根据圆周长求得弧长，然后利用扇形弧长公式求得圆的半径即可求得正六边形的边长，难度不大．
【解答】解：连接OB、OC，
∵把⊙O分成相等的六段弧，⊙O的周长为12π，
∴＝2π，
设OB＝OC＝r，
∵∠BOC＝＝60°，
∴＝2π，
∴r＝6，
∴BC＝OB＝OC＝6，
故答案为：6．
【点评】考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是了解△OBC是等边三角形，难度不大．
11．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径AB延长线上一点，且AB∥DC，若∠A＝70°，则∠CBE的度数为 　110°　．

【分析】首先利用平行线的性质求得∠D的度数，然后利用圆内接四边形的性质求得答案即可．
【解答】解：∵AB∥DC，∠A＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CBE＝∠D＝110°，
故答案为：110°．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理．
12．（2分）如图所示，△ABC绕点P顺时针旋转得到△DEF，则旋转的角度是 　90°　．

【分析】由勾股定理的逆定理可求∠CPF＝90°，即可求解．
【解答】解：如图，连接PC，PF，CF，

∵PC＝＝，PF＝＝，FC＝＝，
∴PC2+PF2＝5+5＝10＝FC2，
∴∠CPF＝90°，
∴旋转角为90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
13．（2分）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量AB＝8cm，CD＝2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 　5　cm．

【分析】设这个齿轮内圈圆的圆心为O，半径为Rcm，连接OA、OC，由垂径定理得O、C、D三点共线，则OC＝（R﹣2）cm，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设这个齿轮内圈圆的圆心为O，半径为Rcm，连接OA、OC，

则O、C、D三点共线，OC＝（R﹣2）cm，
∵CD是AB的垂直平分线，AB＝8cm，
∴AC＝AB＝4（cm），
在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（R﹣2）2＝R2，
解得：R＝5，
即这个齿轮内圈圆的半径为5cm，
故答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
14．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
那么该抛物线的顶点坐标是 　（1，﹣4）　．
【分析】根据抛物线的对称性求解．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，由抛物线的对称性求解．
15．（2分）小红利用计算机模拟“投针试验”：在一个平面上画一组间距为d＝0.73cm的平行线，将一根长度为l＝0.59cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，如图显示了小红某次实验的结果，那么可以估计出针与直线相交的概率是 　0.51　（结果保留小数点后两位）．

【分析】根据频率和概率的关系判断即可．
【解答】解：在大量重复试验中，根据频率估计概率的方法可估计出针与直线相交的概率是0.514，
故答案为：0.51．
【点评】本题主要考查频率与概率的知识，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键．
16．（2分）中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面 　11.25　m．

【分析】首先建立直角坐标系，根据所给点的坐标求出解析式，可得点B的纵坐标．
【解答】解：如图，以水面所在的直线为x轴，以跳台支柱所在的直线为y轴建立直角坐标系，

由题意得：A（3，10），C（5，0），对称轴为直线x＝3.5，
设解析式为y＝a（x﹣3.5）2+k，
所以，
解得a＝﹣5，k＝11.25，
所以y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
所以B（3.5，11.25），点B距离水面11.25m．
故答案为：11.25．
【点评】本题考查二次函数的应用，根据题意得出二次函数的解析式是解题关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：（+1）+（）2+|1﹣|．
【分析】直接化简二次根式，再利用绝对值的性质以及二次根式加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝（2+1）++﹣1
＝+++﹣1
＝2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（5分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．
19．（5分）下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：直线PA和⊙O相切．
作法：如图，
①连接AO；
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与⊙O的一个交点为B；
③连接BO；
④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作⊙B的直径OP；
⑥作直线PA．
所以直线PA就是所求作的⊙O的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明；
证明：在⊙O中，连接BA，
∵OA＝OB，AO＝AB，
∴OB＝AB．
∴点A在⊙B上．
∵OP是⊙B的直径，
∴∠OAP＝90°（ 　直径所对的圆周角是直角　）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP．
又∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线（ 　经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线　）（填推理的依据）．

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据切线的判定定理证明即可．
【解答】解：（1）如图，直线PA即为所求；

（2）在⊙O中，连接BA，
∵OA＝OB，AO＝AB，
∴OB＝AB．
∴点A在⊙B上．
∵OP是⊙B的直径，
∴∠OAP＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴OA⊥AP．
又∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线（经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆的切线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3kx+2k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若k＞0，且该方程的两个实数根的差为1，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ＝（﹣3k）2﹣4×1×2k2＝9k2﹣8k2＝k2，结合偶次方的非负性可得出Δ≥0，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝3k，x1x2＝2k2，结合（x1﹣x2）2＝1，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论．
【解答】（1）证明：Δ＝（﹣3k）2﹣4×1×2k2＝9k2﹣8k2＝k2，
∵k2≥0，
∴Δ≥0，
∴无论k为何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3kx+2k2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3k，x1x2＝2k2，
∵（x1﹣x2）2＝1，
∴x12+x22﹣2x1x2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝1，即（3k）2﹣4×2k2＝1，
∴k2＝1，
解得：k1＝1，k2＝﹣1，
∵k＞0，
∴k的值为1．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＝0时，一元二次方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x1﹣x2）2＝1，找出关于k的方程．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点A（﹣3，0），B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
【分析】（1）把点A（﹣3，0），B（1，0）代入函数关系式，列出二元一次方程组即可解答；
（2）以AB为底，以OC为高求△ABC的面积，进行计算即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+mx+n中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）如图：

把x＝0，代入y＝x2+2x﹣3中得：y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴△ABC的面积＝AB•OC
＝×4×3
＝6，
答：△ABC的面积为6．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（5分）小宇和小伟玩“石头、剪刀、布”的游戏．这个游戏的规则是：“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，石头”胜“剪刀”，手势相同不分胜负．如果二人同时随机出手（分别出三种手势中的一种手势）一次，那么小宇获胜的概率是多少？

【分析】列表可知，共有9种等可能的结果，小宇获胜的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：

共有9种等可能的结果，小宇获胜的结果有3种，
∴小宇获胜的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法求概率；通过列表法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（6分）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？

【分析】设预留的上、下通道的宽度是x米，则矩形冰场的宽为（12﹣2x）米，长为（12﹣2x）米，根据两个矩形冰场的面积之和是原空地面积的，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出预留的上、下通道的宽度，再将其代入[27﹣2×（12﹣2x）]÷3中即可求出预留的左、中、右通道的宽度．
【解答】解：设预留的上、下通道的宽度是x米，则矩形冰场的宽为（12﹣2x）米，长为（12﹣2x）米，
依题意得：2×（12﹣2x）×（12﹣2x）＝×27×12，
整理得：（12﹣2x）2＝81
解得：x1＝，x2＝．
当x＝时，12﹣2x＝12﹣2×＝9＞0，符合题意；
当x＝时，12﹣2x＝12﹣2×＝﹣9＜0，不符合题意，舍去．
∴x＝，
∴左、中、右通道的宽度为[27﹣2×（12﹣2x）]÷3＝[27﹣2××（12﹣2×）]÷3＝1．
答：预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C是切点，连接AC，PO，交点为D．
（1）求证：∠BAC＝∠OPC；
（2）延长PO交⊙O于点E，连接BE，CE．若∠BEC＝30°，PA＝8，求AB的长．

【分析】（1）由切线长定理得出∠OPC＝∠APO，PA＝PC，OA⊥PA，根据直角三角形的性质可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出AD＝4，解直角三角形可求出答案．
【解答】（1）证明：∵PA，PC是⊙O的切线，
∴∠OPC＝∠APO，PA＝PC，OA⊥PA，
∴PD⊥AC，∠BAC+∠DAP＝90°，
∴∠DAP+∠DPA＝90°，
∴∠BAC＝∠DPA，
∴∠BAC＝∠OPC；
（2）解：如图，

∵∠BEC＝30°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAP＝90°﹣∠BAC＝60°，
∵PA＝8，∠ADP＝90°，
∴AD＝AP＝4，
在Rt△AOD中，cos∠OAD＝＝，
∴，
∴AO＝，
∴AB＝．
【点评】本题考查了切线性质，解直角三角形，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
25．（6分）小朋在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x﹣3）2．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
（1）观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有 　最小　值（填“最大”或“最小”），这个值是 　0　；
（2）进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如表：
x
0

1

2

3

4
…
y
0

2

1

0

2
…
结合上表，画出当x≥0时，函数y＝|x|（x﹣3）2的图象；
（3）结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程|x|（x﹣3）2＝kx﹣1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为 　4.2　（结果保留小数点后一位）．

【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性可得结论；
（2）描点，连线可得；
（3）先把x＝2代入方程，求出k的值，再根据图象解方程即可．
【解答】解：（1）∵|x|≥0，（x﹣3）2≥0，
∴y＝|x|（x﹣3）2≥0．
∴y＝|x|（x﹣3）2有最小值，且最小值为0；
故答案为：最小值；0．
（2）在坐标系中线先描点，再划线，如下图所示：

（3）把x＝2代入|x|（x﹣3）2＝kx﹣1中，有×|2|×（2﹣3）2＝2k﹣1，解得k＝1，
在图中画出函数y＝x﹣1，如下图所示：

从图象可看，其他的实数根约为4.2．
故答案为：4.2．
【点评】本题考查函数的综合应用，涉及数形结合思想等知识．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若x1＝m﹣2，x2＝m+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）若对于﹣1≤x1＜4，x2＝4，都有y1≤y2，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）分别将x1＝m﹣2，x2＝m+2代入解析式求解．
（3）求出点（4，y2）关于对称轴对称点为（2m﹣4，y2），根据抛物线开口向上及y1≤y2求解
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣1）．
（2）将x＝m﹣2代入y＝（x﹣m）2﹣1得y＝22﹣1＝3，
将x＝m+2代入y＝（x﹣m）2﹣1得y＝22﹣1＝3，
∴y1＝y2．
（3）∵抛物线对称轴为直线x＝m，
∴点（4，y2）关于对称轴对称点为（2m﹣4，y2），
∵抛物线开口向上，y1≤y2，
∴2m﹣4≤x1＜4，
∴2m﹣4≤﹣1，
解得m≤．
【点评】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是边BC上一点，作射线AD，满足0°＜∠DAC＜45°，在射线AD取一点E，且AE＞BC．将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接BE，FE，连接FC并延长交BE于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠EGF的度数；
（3）连接GA，用等式表示线段GA，GB，GC之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）依照题意画出图形；
（2）由旋转的性质可得AE＝AF，∠EAF＝90°，由“SAS”可证△BAE≌△CAF，可得∠AFC＝∠AEB，由余角的性质可求∠EGF＝90°；
（3）延长GB至H，使CG＝BH，由“SAS”可证△ACG≌△ABH，可得AG＝AH，∠CAG＝∠BAH，可证△HAG是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）设AE与GF的交点为O，
∵线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
又∵AB＝AC，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠AFC＝∠AEB，
∵∠AFC+∠AOF＝90°，
∴∠AEB+∠EOG＝90°，
∴∠EGF＝90°；
（3）BG+CG＝AG，理由如下：
如图，延长GB至H，使CG＝BH，连接AH，

∵∠BAC＝∠EGF＝90°，
∴∠ABG+∠ACG＝180°，
∵∠ABG+∠ABH＝180°，
∴∠ABH＝∠ACG，
又∵AB＝AC，CG＝BH，
∴△ACG≌△ABH（SAS），
∴AG＝AH，∠CAG＝∠BAH，
∵∠CAG+∠BAG＝90°，
∴∠BAH+∠BAG＝90°，
∴∠GAH＝90°，
∴△HAG是等腰直角三角形，
∴HG＝AG，
∴BG+CG＝AG．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点P，则称点P是图形M和图形N的“关联点”．
已知点A（2，0），B（0，2），C（2，2），D（1，）．
（1）直线l经过点A，⊙B的半径为2，在点A，C，D中直线l和⊙B的“关联点”是 　点C　；
（2）G为线段OA中点，Q为线段DG上一点（不与点D，G重合），若⊙Q和△OAD有“关联点”，求⊙Q半径r的取值范围；
（3）⊙T的圆心为点T（0，t）（t＞0），半径为t，直线m过点A且不与x轴重合．若⊙T和直线m的“关联点”在直线y＝x+b上，请直接写出b的取值范围．
【分析】（1）利用“关联点”的定义进行判断即可；
（2）由题意判定出△AOD为等边三角形，过点O作OF⊥AD于点F，交DG于点E，依据“关联点”的定义判定出圆心Q的位置，利用DE＜DQ＜DG或0＜QG＜EG即可得出结论；
（3）由题意判定出⊙T和直线m的“关联点”G的轨迹是以OH＝4为直径的半圆（O，H除外），根据题意求得直线y＝x+b的两个临界值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A（2，0），B（0，2），C（2，2），
∴AC⊥BC，BC＝2，
∴点B到AC的距离为2．
∵⊙B的半径为2，
∴AC是⊙B的切线．
∴直线l与⊙B有且只有一个公共点C，
∵直线AD与⊙B相交，而过点A的直线有无数条，
∴在点A，C，D中直线l和⊙B的“关联点”是点C．
故答案为：点C；
（2）由题意画出图形如下，过点O作OF⊥AD于点F，交DG于点E，

∵G为线段OA中点，A（2，0），
∴G（1，0）．
∴OG＝1．
∴D（1，），
∴DG＝，DG⊥OA．
∴DG为OA的垂直平分线．
∴DO＝DA．
∵tan∠DOG＝，
∴∠DOG＝60°．
∴△AOD为等边三角形．
∵OF⊥AD，
∴DF＝AF，
∴OF是AD的垂直平分线．
∴点E是△AOD的外心．
∴EO＝EA＝ED．
∵Q为线段DG上一点（不与点D，G重合），⊙Q和△OAD有“关联点”，
∴点Q在线段GE上（Q与E，G不重合），⊙Q半径r＝QD或⊙Q半径r＝QG．
∵OF平分∠DOA，
∴∠FOA＝∠DOA＝30°．
∵tan∠FOA＝，
∴．
∴GE＝．
∴DE＝DG﹣EG＝＝，
由题意：DE＜DQ＜DG或0＜QG＜EG，
∴＜r＜或0＜r＜．
∴⊙Q半径r的取值范围为：＜r＜或0＜r＜；
（3）设直线m与⊙T相切于点G，如图，

则点G为直线m与⊙T的“关联点”．
∵TO⊥AO，TO＝t，⊙T的半径为t，
∴AO是⊙T的切线．
由切线长定理可得：AG＝AO＝2．
∴⊙T和直线m的“关联点”G的轨迹是：以点A为圆心，AO＝2为半径的半圆（与x轴的交点O，H除外），
即点G的轨迹是以OH＝4为直径的半圆（O，H除外）．
由题意：H（4，0）．
∵⊙T和直线m的“关联点”在直线y＝x+b上，
∴当直线经过点H时，4+b＝0，
解得：b＝﹣4．
设直线y＝x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，
则M（﹣b，0），N（0，b）．
∴OM＝|﹣b|＝|b|．ON＝|b|．
∴OM＝ON．
∴∠NMO＝MNO＝45°．
∵⊙T和直线m的“关联点”在直线y＝x+b上，
∴当直线l：y＝x+b与以OH＝4为直径的半圆相切时，b取得最大值，
设切点为G，此时AG⊥l于点G，
∵∠NMO＝45°，
∴∠MAG＝∠GMA＝45°．
∴MG＝AG＝2．
∴MA＝2．
∴OM＝AM﹣OA＝2﹣2．
∴ON＝OM＝2﹣2，
∴b的取值范围为：﹣4＜b≤2﹣2．
【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，圆的切线的判定与性质，点的坐标与图形，等边三角形的判定与性质，点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，用点的坐标表示出相应线段的长度，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/11/11 2:18:33；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111