四川省绵阳市2025_2026学年高三数学上学期1月月考试题含解析

这是一份四川省绵阳市2025_2026学年高三数学上学期1月月考试题含解析，共23页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】单调性解指数不等式求集合，再由集合的交运算求结果.
【详解】由 ，且 ，所以 .
故选：A
2. 已知实数 ， 满足 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的性质判断即可.
【详解】因为 , 是定义在 上的偶函数，
所以当实数 满足 时， , 不一定成立，故 不符合题意；
因为 是定义在 上单调递增的奇函数，
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所以当实数 满足 时，则 ，故 符合题意；
因为 在 上单调递减，
所以当实数 满足 时， 不一定成立，不符合题意.
故选： .
【点睛】判断不等式恒成立问题，方法有以下几种：1、可借助函数的单调性判断；2、可带特殊值说明不
等式不成立；3、根据不等式关性质判断；4、作差比较大小；5、作商比较大小.对于选择题我们一般采用排
除法.
3. 已知直线 a，b 异面，下列判断正确的是（ ）
A. 过 b 的平面不可能与 a 平行 B. 过 b 的平面不可能与 a 垂直
C. 过 b 的平面有且仅有一个与 a 平行 D. 过 b 的平面有且仅有一个与 a 垂直
【答案】C
【解析】
【分析】可采用借助于正方体中的 与 是异面直线，利用观察正方体中的线面关系举一些 反例进行
说明即可.
【详解】
如图， 与 是异面直线， 看作直线 看作直线 ，
对于 A，过 的平面 ，故 A 错；
对于 B，过 的平面 ，故 B 错；
对于 C，在 上任取一点 ，过点 作 交 于点 ，
因为 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 ，所以 确定的平面只有一个，
所以过 的平面有且仅有一个即平面 与 平行，故 C 正确；
对于 D，若 与 不垂直，则必不存在过 的平面中，有一个垂直于 ，故 D 错.
故选：C.
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4. 已知 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ， ， ，则边 c 的
值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据面积公式求出 ，再根据余弦定理求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，
所以 .
故选：D.
5. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且 ，若 满足 ，则
（ ）
A. 16 B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】先求出抛物线的准线方程、焦点 的坐标，再根据抛物线的定义，求出点 的坐标，进而利用向
量垂直的坐标性质即可得解.
【详解】在抛物线 中， ，则 ，
所以焦点 ，准线方程为 .
设点 的坐标为 ，则 ，故 ，
，且 ,
又 ，
则
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解得 ．
故选：C.
6. 在矩形 中， ， 分别为 的中点（如图（1）），将 矩 形 绕直线 逆
时针旋转 ，点 分别位于 处（如图（2），则异面直线 与 所成角的余弦值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据几何关系可得 或其补角为直线 与 所成角，由勾股定理以及余弦定理求解长度
即可求解.
【详解】延长 到 ，使得 ,连接 ，则四边形 为平行四边形，故
,
故 或其补角为直线 与 所成角，
设 ，则
，
，
故在 中，
，
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解得 ，
故直线 与 所成角的余弦值为 ，
故选：D
7. 已知 P 是 所在平面内一点，满足 ，若 ， ，则 （
）
A. B. 12 C. D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】若 是 的中点，根据已知得 ，则 ，结合向量数量积的几何
意义求数量积.
【详解】设 是 的中点，由 ，则 ，
所以 ，又 ，
则
故选：B
8. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若函数 在
区间 上单调递减，则 的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求得 ，根据 求得 ，
结合余弦函数的单调性列不等式，即可求出答案.
【详解】由题意得 ，
因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 上单调递减，所以 ，所以 ，
所以 的最大值 .
故选：D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 为等比数列 的前 项和， 为 的公比（ ）， ， ，则（ ）
A. B. 是 和 的等差中项
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题目条件列出方程，求出等比数列 的首项 和公比 ，即可判断 A；结合等差中项的概
念可判断 B；利用等比数列的通项公式和前 项和公式，即可判断 BD.
【详解】对于等比数列 ，有 ，依题意， ，解得
或 （舍）， ，选项 A 正确；
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结合 A 的分析可知 ，则 ，
则 ，即 是 和 的等差中项，选项 B 正确；
对于等比数列 ，有 ，
因此 ，选项 C 错误；
对于等比数列 ，有 ， ，
则 ，
，选项 D 正确.
故选：ABD.
10. 已知 是 R 上的以 2 为周期的奇函数，且当 时， ，则（ ）
A.
B. 曲线 对称中心为
C. 当 时，
D. 当 时，函数 在区间 上仅有三个零点
【答案】AC
【解析】
【分析】利用抽象函数奇偶性与周期性推得其对称性与函数值，从而判断 AB，利用 的周期性求得
时的解析式，再利用 的奇偶性求得 时的解析式，从而可判断 C，利用 的周
期性与奇偶性作出 的大致图象，举反例数形结合可判断 D，从而得解.
【详解】对于 A，B，因为 是 上的以 2 为周期的奇函数，
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所以 ， ，则 ，
所以 ，即 关于 对称，
即 的对称中心至少还有点 ，故 B 错误；
则
，故 A 正确；
对于 C，当 时， ，
所以 ，
当 时， ，
则 ，
又当 时， 满足要求，
综上，当 时， ，故 C 正确；
对于 D，要求 在 上的零点个数，
即求 与 的图象在 上的交点个数，
由 C 可知，当 时， ，
又 在 上单调递减，且 恒成立，
而 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，
结合 的奇偶性与周期性，可作出 在 上的大致图象，
取 ，在同一坐标系中作出 的大致图象，如图，
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结合图象可知，当 时， 与 的图象在 上只有一个交点，
即当 时， 在区间 上仅有一个零点，故 D 错误.
故选：AC
11. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 、 、 是 上的三个互不相同的动点，
且 与 关于原点 对称，则下列结论正确的有（ ）
A. 若 ，则有 或
B. 若 的周长为 20，则 的面积为
C. 的最大值为 5
D. 设 ， 的斜率分别为 、 ，则 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对 A，根据双曲线的定义求解判断；对 B，由双曲线定义、余弦定理结合三角形面积公式求解；对
C，由数量积的坐标运算求解；对 D，由点差法结合重要不等式求解.
【详解】对于 A：由双曲线 ： ，可得 ，
所以 ，所以 ，
所以双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ，
所以 ，若 ，则 ，
所以 或 ，又 在右支时， ，
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在左支时， ，
所以 或 ，故 A 对；
对于 B：若 的周长为 20，则 ，又 ，
由对称性，不妨设 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，
所以 的面积为 ，故 B 正确；
对于 C：设 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号，故 C 正确；
对于 D：设 ，由 ，可得 ，
所以 ，则可得 ，
所以 ，当且仅当 取等号，
又 时， 三点共线，由题意， 三点不能共线，故 D 错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知复数 z 满足 （其中 i 为虚数单位），则复数 z 的虚部为_____________.
【答案】
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【解析】
【分析】根据复数的模长、复数除法公式、复数的虚部的概念即可得结论.
【详解】由 可得： ，
故复数 z 的虚部为 .
故答案为： .
13. 若圆 与直线 交于 A，B 两点，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】先由圆的方程和直线的方程得圆心距及弦长，进而在三角形中用余弦定理可得角的值.
【详解】由圆 ，得圆心 ，半径 .
所以圆心 到直线 的距离 ，
由圆的弦长公式 ，又因为 ，
由余弦定理 ，又因为在三角形中
，所以 .
故答案为：
14. 在正三棱柱 中， ，则在正三棱柱内可放入的最大球的体积 与正三棱柱
外接球的体积 之比 _____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】分别求出正三棱柱内可放入的最大球的体积 与正三棱柱外接球的体积 ，进而求出它们的体积
之比.
【详解】设底面正三角形为 ， ，其内切圆半径为 ，
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由 ，
得 ，若内切球与上、下底面相切，则半径为 1，因为 ，
所以该三棱柱内可放入的最大球的半径为 ，
则其体积 .
根据正三角形外接圆半径 （ 正三角形的边长），所以 .
又正三棱柱的高 ，可得球心到底面的距离为 1，
根据勾股定理 ，则 .
所以 ，
所以 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 满足 ，数列 满足 .
（1）证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析， ；
（2） ﹒
【解析】
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【分析】(1)证明 为常数即可证明 是等差数列，求出 通项公式即可求出 的通项公式；
(2)根据错位相减法即可求数列 的前 n 项和.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
由 得， ，
故 ，
∴{bn}是等差数列，首项为 ，公差为 ，
∴ ，
∴ ；
【小问 2 详解】
，
，
两式相减得：
∴ ﹒
16. 已知函数 ， .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）当 时， 在 上是单调增函数；当 时， 在 上单调递增，
在 上单调递减；（2）
【解析】
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【分析】（1）由题意有 ，分 和 进行分类讨论得出函数的单
调性.
（ 2） 不 等 式 恒 成 立 ， 即 ，（ 1） 可 得 ， 当 时 ，
，即 在 时恒成立，令 ， ，求出
单调性，得出 的最大值即可得出答案.
【详解】（1） ，
.
当 时， ， 在 上是单调增函数；
当 时， .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上是单调增函数；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）可得，当 时， .
由不等式 恒成立，得 恒成立，
即 在 时恒成立.
令 ， ，则 .
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当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以 的最大值为 .得 ，所以实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查含参数的单调性的求解和恒成立求参数的问题，考查构造函数决绝问题的能力，考查等
价转化的能力，属于中档题.
17. 如图，在等边 中， 分别为边 上的点（不含端点），记 分别为
的内角 的对边，且 .
（1）求 A；
（2）若 ， ，设 .
（i）请用含 的式子表示 和 AE；
（ii）求 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）（i） ， ；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式化简已知等式，即可求得答案；
（2）（i）利用正弦定理，即可求解；（ii）利用三角恒等变换公式可求出 的表达式，即可求出 面
积的表达式，结合三角函数性质即可求得答案.
【小问 1 详解】
由 ，由正弦定理得 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
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故 ，解得 或 ，
因为 ， ，则 舍去，故 ，
所以 ，得 ；
【小问 2 详解】
（i）设 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
得 ；
（ii）因为 ，所以当 取得最大值时， 的面积取得最大值，
，
其中 ，所以当 时， 取得最大值 ，
此时 ，符合题意，
所以 面积的最大值为 .
18. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是正方形， 与 交于点
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与 不垂直， 的面积是 面积的 2 倍．
（1）证明： ．
（2）设 ．
（i）求 ：
（ii）若点 平面 ，且点 平面 ，求平面 与平面 夹角余弦值的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）过点 做 ，交 于 ，可证 平面 ，从而得到 平面 ，由线
面垂直性质即可证明结论；
（2）（i）由题可得 平面 ，从而证明 平面 ，则 ，
，利用勾股定理以及三角形面积关系即可求解；
（ii）由题可得平面 平面 ，根据线面平行性质可得 ，以 为坐标原点，
为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面角的余
弦值即可.
【小问 1 详解】
因为 与 不垂直，过点 做 ，交 于 ，
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因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
因为底面 是正方形， 与 交于点 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以
【小问 2 详解】
（i）因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
设 ，则 ，所以
由于 ，所以 ，
因为 的面积是 面积的 2 倍，
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所以 ，解得： ，
即 ；
（ii）因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为点 平面 ，且点 平面 ，所以平面 平面 ，
所以 ，
因为 ,所以 平面 ，
则以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，设 ，
， ，不妨设 ，
所以 ，即 ，
， ，设平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，
， ，设平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 ，
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因为 ，令 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
当 时， ，
即平面 与平面 夹角余弦值的最小值为
19. 已知椭圆 经过点 ，且离心率为 .
（1）求 的方程；
（2）已知 ， ，过椭圆 的右焦点且斜率不为 0 的直线与 交于点 ， .
（ⅰ）若四边形 面积为 ，求直线 的方程；
（ⅱ）若直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，且 ，求直线 与直线
的交点 到直线 的距离.
【答案】（1） ；
（2）（i） ；（ii）6
【解析】
【分析】（1）由椭圆所过的点及离心率列方程求椭圆参数，即可得方程；
（2）设 ， ，直线 的方程为 ，联立椭圆得到韦达公式，（i）应用三角形
面积公式、弦长公式列方程求参数值，即可得；（ii）根据已知有 ，从而得到
， 结 合 已 知 等 量 关 系 得 ， ， 进 而 有 直 线 ， 的 方 程 分 别 为 ，
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，依次求得 、直线 的方程为 ，最后由点线距离公式求距离.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，所以椭圆 的方程为 ；
【小问 2 详解】
设 ， ，直线 的方程为 ，联立 ，
整理得 ， ，
所以 ， ，
（ⅰ）四边形 的面积
，
整理得 即 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ；
（ⅱ）由 ， ，得 ，
所以 ，
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由题知 ，又 ，
所以 ，与 联立，得 ， ，
所以直线 ， 的方程分别为 ， ，
联立 ，则 ，可得 ，故 ，
联立 ，则 ，整理有 ，
所以 ，则 或 （ 的横坐标，舍），故 ，
代入 ，则 ，可得 ，故直线 的方程为 ，
所以点 到直线 的距离为 .
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