四川省绵阳市2025_2026学年高一数学上学期12月月考试卷含解析

这是一份四川省绵阳市2025_2026学年高一数学上学期12月月考试卷含解析，共20页。试卷主要包含了 已知集合 ，则， 下列函数在 上为增函数的是， “ ”是“ ”的．， 已知函数 则不等式 的解集为， 已知角 的终边过 ，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合集合交集的概念，即可求解.
【详解】由集合 ，
集合 B 由，所有偶数构成，集合 A 中只有-2,2 两个偶数，故 .
故选：B.
2. 下列函数在 上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性对各个选项进行检验，把满足在 上为增函数的找出来.
【详解】函数 在 上是减函数； 在 上是减函数；
，当 时， 在 上是增函数； 在 上是减函数.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题据指数函数、对数函数和幂函数的单调性进行判断即可，注意选项 C 中，
在 上转化为 再进行判断即可.
3. 已知幂函数 的图象过点 ，则函数 的定义域为（ ）
第 1页/共 19页
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，根据条件求出 ，然后根据函数 的解析式，列出不等式求得
定义域.
【详解】设 ，∵函数的图象过点 ，
∴ ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ 且 ，即 ，
则函数 的定义域为 .
故选：D.
4. “ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 根 据 题 意 分 析 可 知 等 价 于 ， 等 价 于
，即可得结果.
【详解】若 ，等价于 ，即 ，
若 ，等价于 ，
可知 等价于 ，
所以“ ”是“ ”的充分必要条件.
第 2页/共 19页
故选：A.
5. 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的性质求解．
【详解】由题意 ，解得 ．
故选：C．
6. 声音的强弱通常用声强级 和声强 来描述，二者的数量关系为 （ 为
常数）.一般人能感觉到的最低声强为 ，此时声强级为 ；能忍受的最高声强为 ，
此时声强级为 .若某人说话声音的声强级为 ，则他说话声音的声强为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可计算出 、 ，而后代入 计算即可得.
详解】由题意可得 ，故 ，
则当 时，有 ，
解得 .
故选：B.
7. 已知函数 则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
第 3页/共 19页
【分析】分 ， 和 讨论求解.
【详解】解：当 时， ，
则 在 时无解；
当 时， 在 R 上单调递增；
当 时， ，则 的解集为 ；
当 时， ，
则 在 时恒成立，
综上，不等式 的解集为 ．
故选：B
8. 若函数 在 上有且仅有三个零点，则实数 的取值范围为
（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简得到 ，由 得到： ，结合正弦
函数零点构造不等式即可；
【详解】
第 4页/共 19页
由 可得： ，
函数 在 上有且仅有三个零点，
则 ，
解得： ，
故选：D
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知角 的终边过 ，则（ ）
A. 角 为第二象限角 B.
C. 当 时， D. 的值与 的正负有关
【答案】BC
【解析】
【分析】考虑 ，判断 A 错误；结合三角函数定义求 ，判断 B，结合三角函数定义求
判断 C，结合三角函数定义求直接求 判断 D.
【详解】由 ，角 的终边在第四象限，显然 A 错误；
由定义， ，B 项正确；
当 时， ，
所以 ，所以 C 项正确；
因为 ，与 的正负无关，所以 D 项错误，
第 5页/共 19页
故选：BC.
10. 已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）
A. B.
C. 为减函数 D. 为奇函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】由条件等式取 ，可求 ，取 ，可求 ，取 ，求 ，判
断 A，取 ，判断 B，结合减函数定义及 的大小判断 C，取 ，结合奇函数
定义判断 D.
【详解】因为 ， ，
令 ，可得 ，则 ，
令 ，可得 ，则 .
对于 A 选项：令 ，可得 ，所以 A 正确；
对于 B 选项：令 可得 ，所以 B 正确；
对于 C 选项：因为 、 ，所以 不可能为 上减函数，故 C 错误；
对于 D 选项：函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
令 ，可得 ，
所以 ，所以 为奇函数，所以 D 正确.
故选：ABD.
11. 已知函数 ，关于 的方程 有 6 个不同的实数根，则下
列选项正确的是（ ）
A. 函数 的零点个数为 1 B. 实数 的取值范围为
第 6页/共 19页
C. 函数 无最值 D. 函数 在 区间上单调递增
【答案】BC
【解析】
【 分 析 】 对 于 ACD， 由 题 可 画 出 大 致 图 象 ， 据 此 可 判 断 选 项 正 误 ； 对 于 B， 由
有 6 个不同根，可得 和 共有 6 个根，其中 的两
根为 ，然后由数形结合思想结合二次方程根的分布知识可得答案.
【详解】由题可得 的图象大致如下.
对于 A，由图可得 零点有 3 个，故 A 错误；
对于 B，由题可得 和 共有 6 个根，
即 图象与直线 ， 共有 6 个交点.
其中 的两根为 ，则判别式为 或 .
注意到 ，结合 图象可得， 同号，且一个大于 1，一个小于 1 大于 0
设 ，则 ，由图可得 ，
又函数 在 上单调递增，则 ，故 B 正确；
对于 C，由函数图象可得 无最值，故 C 正确；
对于 D，由图可得 在 上单调递减，在 上单调递增，故 D 错误.
故选：BC
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. __________．
【答案】 ##0 5
第 7页/共 19页
【解析】
【分析】由诱导公式及二倍角公式即可求解；
【详解】 ，
故答案为：
13. 已知幂函数 ．给定条件：
① 且 ；
② ．
写出一个同时满足①②条件的函数解析式 ______．
【答案】 （答案不唯一， ，其中 ，且 是奇数， 是偶数）
【解析】
【分析】通过分析幂函数需要满足的两条性质具体分析.
【详解】幂函数 ，对于条件① 是偶函数且在上单调递减，
而条件②说明函数为偶函数，
根据幂函数性质，当时 ，幂函数 在 上单调递减。
又因为 是偶函数，对于 幂函数，
若 （ 互质），当 为偶数时，函数 是偶函数,
若写出具体函数解析式, 可以令 （满足 ， 是奇数， 是偶数）,
此时幂函数 ,对于 ，满足②.
对 求导， ，
在 时， ， 在 单调递减，所以满足①，
所以答案为： .
14. 设函数 ，若 恒成立，求 的最小值为___________.
第 8页/共 19页
【答案】
【解析】
【分析】设 ， ，问题转化为这两个函数在定义域内同正同负或同为 0，结
合函数图象得出它们的图象与 轴交点重合，从而得出 关系，代入 ，再由基本不等式得最小值．
【详解】由已知 的定义域是 ，
设 ， ，显然它们在定义域内都是增函数，
因此 恒成立，则 与 在定义域内同正同负或同为 0，
作出 的图象，要求 ，只要它们的图象与 轴的交点重合，如图所示，
由 ，由 ，
所以 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故答案为：
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. （1）已知 ，求 ；
（2）已知 是第三、四象限角，且 ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系即可求值；
（2）利用同角三角函数的基本关系化简，再结合 是第三、四象限角求解即可.
第 9页/共 19页
【详解】（1）原式 ，
又 ，所以原式 ；
（2）因为 ①，
两边平方得 ，
因为 ②，所以 ③，
②+③得 ，
即 ，所以 ，
因为 是第三、四象限角，所以 ，
所以 ，
所以 ④，
联立①④，解得 ， ，
所以 .
16. 某果园占地约 600 亩，拟选用果树 A 进行种植，在相同种植条件下，果树 A 每亩最多可种植 50 棵，种
植成本 y（万元）与果树数量 x（百棵）之间的关系如下表所示.
x 1 4 9 16
y 1 4.4 7.8 11.2
（1）根据上面表格中的数据判断 与 哪一个更适合作为 y 与 x 的函数模型；
（2）已知该果园的年利润 z（万元）与 x，y 的关系为 ，利用（1）中适合的模型估计果树数
量 x 为多少时年利润最大？
【答案】（1） 更适合作为 y 与 x 的函数模型
（2）289 百棵
【解析】
第 10页/共 19页
【分析】（1）将 代入 和 ，求出两个函数，然后 和 代入，
看那个算出的数据更接近选择哪个模型；
（2）由（1）得 ，利用换元法及二次函数性质求解即可.
【小问 1 详解】
①若选择 作为 y 与 x 的函数模型，
将 的坐标分别代入，得 ，解得 ，
所以 .
此时，当 时， 与表格中的 7.8 相差较大，
当 时， 与表格中的 11.2 相差较大，
所以 不适合作为 y 与 x 的函数模型.
②若选择 作为 y 与 x 的函数模型，
将 的坐标分别代入，得 ，解得 ，
所以 .此时，当 时， ，
当 时， ，y 的值刚好与表格中的 7.8 和 11.2 相符合，
所以 更适合作为 y 与 x 的函数模型.
【小问 2 详解】
由题可知，该果园最多可种植 30000 棵该品种果树，所以 x 的取值范围为 ，
当 时， .
易知，当 ，即 时，之取最大值 53（万元），
故果树数量为 289 百棵时，年利润最大.
第 11页/共 19页
17. 已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时， .
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 在区间 上的单调性，并用定义法给出证明；
（3）令 ， ，求不等式 的解集.
【答案】（1）
（2）单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）设 ，则 ，利用偶函数 即可求 的解析式，然后写出可得函数
的解析式；
（2）区间 上任取 ， ，且 ，作差，根据 的符合证明单调性；
（3）先确定函数 在 的单调性，再根据单调性解不等式得 ，然后解不等式组即
可.
小问 1 详解】
设 ，则 ,
∵ 时， ,
∴ ,
∵ 是定义域为 的偶函数,
∴ ,
第 12页/共 19页
∴ ,
∴ .
【小问 2 详解】
由（1）知，当 时， ,
所以函数 在区间 上单调递减,
证明如下：
在区间 上任取 ， ，且 ,
由 ,
又∵ ,
∴ ， ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴函数 在区间 上单调递减.
【小问 3 详解】
∵当 时,
∴ 在 上单调递增,
∵ ,
第 13页/共 19页
∴ ,
∴ ,
∴不等式的解集为 .
18. 如图，是函数 （ ， ， ）图象的一部分
（1）求函数 的解析式；
（2）函数 在区间 上有且仅有两个零点，求实数 的取值范围；
（3）若关于 x 的方程 在 上有解，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据图中的最值和周期求出 和 ，再利用特殊点求得 ，即可得解；
（2）令 ，则问题可以转换为 在 有且仅有两个实根求解即可；
第 14页/共 19页
（3）由题意 ，令 ，则问题转化为
方程 在 上有解，分离参数，构造函数 ，利用单调性求值域即
可求解.
【小问 1 详解】
由图可得 ，
函数 的最小正周期为 ，则 ，
所以 ，因为 ，
则 ，因为 ，所以 ，解得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
令 ，则
因为函数 在区间 上有且仅有两个零点
所以方程 在 有且仅有两个实根.
令 ，得 或
所以方程 的正根从小到大排列分别是
所以 ，解得
【小问 3 详解】
由 ，
第 15页/共 19页
可得 ，
即 ，
即 ，
即 ，其中 ，
因为 ，则 ，令 ，
则有 ，则关于 t 的方程 在 上有解，
由 可得 ，
令 ，则 ，
因为 ， 在 上均为减函数，
所以函数 在 上为减函数，且当 趋向于 时， 趋向于正无穷大，
则 ，所以 ，解得 ，
故实数 a 的取值范围是 .
19. 对于函数 ，若存在实数 k，使得等式 对定义域中每一个实数 x 都成立，则称
函数 为 型函数．
（1）若函数 （ 且 ）是 型函数，求 a 的值；
（2）已知函数 的定义域为 ， 恒大于 0，且 是 型函数，当 时，
第 16页/共 19页
．
①若 ，求 的解析式；
②若 对任意的 恒成立，求 m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据新函数定义可得 ，然后利用指数运算求解即可.
（2）①根据新函数定义可得 ， ，即可求出 时的函数解析式，然后利用
求解 的函数解析式，即可得解；
② 满足 ；当 时，运用换元法，分离参数利用函数单调性求得 ；当
时，根据新定义得 ，运用换元法，令
， ，分离参数利用基本不等式求得 ，最后求交集即可.
【小问 1 详解】
因为函数 （ 且 ）是 型函数，
所以 对定义域中每一个实数 x 都成立，即 ，
又 且 ，所以 ．
【小问 2 详解】
①因为 是 型函数，所以 ，
当 时， ，又 ，所以 ；
第 17页/共 19页
令 ，得 ，
所以 ，
又当 时， ，
所以 ，
解得 ，
所以当 时， ；
当 时， ，
所以 ．
综上，
②因为 是 型函数，所以 ，
当 时， ，又 ，所以 ，满足 ；
当 时， 恒成立，
令 ，则当 时， 恒成立，所以 恒成立，
而函数 在 上单调递增，则 ，当且仅当 时取等号，所以 ；
当 时， ，
则 ，
由 ，得 ，
令 ，则当 时， ，
第 18页/共 19页
又 ，则只需 时， 恒成立，即 恒成立，
又 ，当且仅当 时取等号，所以 ，
综上，m 的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若 在区间 上有最值，则
（1）恒成立： ； ；
（2）能成立： ； .
若能分离常数，即将问题转化为： （或 ），则
（1）恒成立： ； ；
（2）能成立： ； .
第 19页/共 19页