福建省福州市2025_2026学年高二数学上学期期中联考试题含解析

这是一份福建省福州市2025_2026学年高二数学上学期期中联考试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
3．设，，向量，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
6．已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．圆锥的底面半径为，高为，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
二、多选题
9．已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点在圆的外部
C．圆与圆外切
D．当直线平分圆的周长时，
11．在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，动点在正方体表面运动，则（ ）
A．PN与为异面直线
B．与MN析成的角为
C．平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形
D．，则点轨迹长度为
三、填空题
12．已知点和直线，则点P到l的距离为 .
13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影是 .（用坐标表示）
14．设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为 ．
四、解答题
15．在平行四边形中，．
(1)求直线的方程；
(2)求四边形的面积．
16．在平行六面体中，，，令，，，以，，为基底，
解决下列问题：
(1)求证：直线平面；
(2)求直线和夹角的余弦值.
17．已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程：
(2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程.
18．在四棱锥中，已知，是等边三角形，点在棱上.
(1)当时，求证：平面；
(2)求点到底面的距离；
(3)当时，求平面与平面所成角的余弦值.
19．设，，，圆Q过A，B，D三个点.
(1)求圆Q的方程；
(2)设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围；
(3)设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点.
1．D
将直线方程一般式化成斜截式方程，根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】，所以该直线的斜率为，
因此该直线的倾斜角为，
故选：D
2．B
根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系.
【详解】对于圆，圆心为，半径；
对于圆，圆心为，半径.
两圆圆心距，又，
所以，所以两圆外切.
故选：B
3．C
利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可.
【详解】设、，向量，且，
，解得，
又因为，所以，解得，
所以，
故选：．
4．A
先通过直线方程联立求出交点坐标，再根据平行待定系数设直线方程，最后代入点坐标求解.
【详解】由，得，∴交点坐标为．
设与直线平行的直线方程为，
把点的坐标代入，得，解得，
∴所求直线方程为，
故选：A.
5．A
根据向量共面的条件对选项逐一分析即可.
【详解】构成空间的一组基底，则不共线，
假设共面，则存在不全为零的实数，使，即，
则，则，与不共线矛盾，故不共面；
，故共面；
，故共面；
，故共面.
故选：.
6．A
分别求出直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可求出.
【详解】因，，，则斜率，，
如图所示，

直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点，
从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，所以此时；
从转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，
所以此时，
综上可得直线的斜率的取值范围为.
故选：A.
7．B
建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案.
【详解】设是圆锥底面圆心，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，设直线与所成角为，
则.
故选：B.
8．A
先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径，
因为点为线段的中点，，
则，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
点在直线上，
可得圆心到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：A

9．AC
根据直线的方向向量与平面的法向量的性质，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系判定.
【详解】对于A：直线的方向向量，说明两条不重合的直线的“方向”相同或相反，因此可以推出；
反之，若，它们的方向向量也必然平行，因此，所以A正确；
对于B：平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若，说明直线的方向向量与
平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，而非“”，所以B错误；
对于C：平面的法向量，说明两个不重合的平面垂直于平面的方向相同或相反，
因此可以推出；反之，若，它们的法向量也必然平行，因此，所以C正确；
对于D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，
不能直接推出“”因为可能在平面内，所以D错误.
故选：AC.
10．ABC
由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D.
【详解】根据题意得，解得，A正确．
由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确．
圆的圆心为，半径为8，因为，
所以圆与圆外切，C正确．
若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误．
故选：ABC．
11．ABD
根据异面直线定义可判断A正确，作与平行的直线，作出异面直线的平面角并由勾股定理可判断B正确，作出截面形状可知平面截该正方体所得截面形状为正六边形，可得C错误，利用向量共线定理可找出点轨迹为线段，求出其长度可得结果，即D正确.
【详解】对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即A正确；
对于B，取中点为，连，，如下图所示：由正方体性质可知，又，
所以，
因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角，
易知，，，满足，即，
所以，因此与所成的角为，即B正确；
对于C，分别取，的中点为，，连接各中点，如上图所示：
易知，，，
即可知，，，，，在同一平面内，
所以平面截该正方体所得截面即为六边形，
又，所以截面形状为正六边形，即C错误；
对于D，因为为的中点，所以，
由可知，
即，因此可知，共线，
所以点轨迹为过点且与平行的线段，
取的中点为，连接，取的中点，
连接，如下图所示：
由正方体性质易知，，又为的中位线，
所以，；
因此点轨迹即为线段，且，
所以点轨迹长度为，可得正确.
故选：ABD
12．3
代入点到直线距离公式计算可得结果.
【详解】易知点P到l的距离为.
故答案为：3
13．
根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答.
【详解】空间向量，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量是，
所以向量在向量上的投影向量的坐标是.
故答案为：.
14．
由题可求点关于轴的对称点，关于的对称点，然后利用数形结合即得.
【详解】因为点，则关于轴的对称点为，
设关于的对称点为，
则，解得，即，
所以，，
所以的周长为，
则当共线时，的周长的值最小，
此时三角形周长为.
故答案为：．
15．(1)
(2)
（1）利用平行四边形对边平行，得，再用点斜式即可求直线的方程.
（2）先求出直线的方程，再用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后用两点间距离公式求出的长度，最后根据平行四边形面积公式求四边形的面积.
【详解】（1）根据已知作图如下，得，则，
所以直线的方程为，化简得.

（2）由（1）得，则，
所以点到直线的距离为，
又，
所以，即四边形的面积为.
16．(1)证明见解析
(2)
（1）利用向量的数量积可证，，再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直.
（2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦.
【详解】（1）由题意，.
又，，.
所以，
所以，，
又，平面，，
所以直线平面.
（2）因为，
且，
所以；，所以；
且
，
.
所以.
所以直线和夹角的余弦值为.
17．(1)
(2)或
（1）先求线段垂直平分线的方程，与直线联立，得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的标准方程.
（2）分所求直线的斜率存在和不存在，利用弦长和点到直线的距离公式求直线方程.
【详解】（1）的中点为
的垂直平分线方程为，即，
将联立可得，即圆的圆心坐标为.
圆的半径为，
所以圆的标准方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故.
若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意.
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
所以，解得，则直线的方程为.
故直线的方程为或.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）连接AC与BD交于点E，连接ME，证明即可.
（2）取的中点，连接，可证底面，计算求得长即可；
（3）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据已知求得，进而得出的坐标，求平面与平面的法向量，用空间向量公式即可求解.
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为，，所以，所以．
因为，所以，
所以，则在中，，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，因为是等边三角形，所以，
因为，所以面，且面，
所以面底面，侧面底面，
所以底面，则点到底面的距离为，
，则，.
所以到底面的距离为.
（3）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，
，所以，
所以，所以，
则，则.
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
则平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
则平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点，
，直线的中点为，
所以线段的垂直平分线的方程为，即
又线段的垂直平分线的方程为，
联立方程组，解得，所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为.
（2）设，因为，
所以，
化简得，所以．
则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交.
又，
则，解得.

（3）设直线的方程为，
由得，，
所以，
所以，
所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点．