福建省2025_2026学年高二数学上学期期中联考试题

这是一份福建省2025_2026学年高二数学上学期期中联考试题，共15页。试卷主要包含了 13，【解析】，【解析】设圆的方程为，1分，【解析】证明，【解析】设，则等内容，欢迎下载使用。
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
直线的一个方向向量为（ ）．
A．B．C．D．
两平行直线与的距离为（ ）．
A．B．C．D．
已知椭圆的一个焦点为，则（ ）．
A．B．C．D．
已知，，，若，，三向量共面，则实数（ ）．
A．3B．C．4D．
已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ）．
A．B．
C．D．
已知椭圆以及椭圆内一点，以点为中点的弦所在直线的斜率为（ ）．
A．B．C．D．2
在平面直角坐标系中，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（ ）．
A．1条B．2条C．3条D．4条
已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过作圆的两条切线，切点分别为，且，则椭圆离心率的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
关于空间向量，以下说法正确的是（ ）．
A．任意向量，满足
B．若三个非零空间向量满足，则有
C．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则
D．若空间向量，则在上的投影向量为
已知圆，直线，则（ ）．
A．直线恒过定点
B．直线与圆有两个交点
C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1
D．直线与圆相交得到的最短弦长为
已知正方体的棱长为2，，分别是线段，上的动点，且满足，是线段的中点，则（ ）．
A．若是的中点，则平面
B．若是的中点，则平面
C．的最大值是
D．的最小值为
第Ⅱ卷
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面的对称点坐标是 ．
已知椭圆的左焦点为，是上关于原点对称的两点，且，则的周长为 ．
人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”．现已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则平面的一个法向量可以为 （只需写出一个满足条件的向量即可），直线l与平面所成角的正弦值为 ．
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（13分）
已知直线的方程为，若直线在y轴上的截距为，且．
（1）求直线和的交点坐标；
（2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为3，求直线的方程．
（15分）
如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设．
（1）用表示；
（2）求；
（3）求的长．
（15分）
已知圆经过和，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若直线l过点，与圆交于M，N两点，，求直线l的方程．
（15分）
如图（1），在直角梯形中，，过的中点作交
于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示．

（1）（2）
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．
（17分）
已知两点的坐标分别为，直线相交于点，它们的斜率之积是．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于两点．
(ⅰ)求的取值范围；
(ⅱ)若直线分别与直线相交于两点，求的值．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分．
12. 13. 14 14. （答案不唯一，均可），
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共5题，13分+15分+15分+17分+17分，共77分）
15.【解析】（方法一）（1）因为直线的斜率且，所以直线的斜率，
2分
因为在轴上的截距为，
所以直线方程：，即，3分
联立方程得：，解得，5分
故交点为．6分
（2）依据题意可知：直线的斜率，设直线：，7分
与两坐标轴的交点为，9分
则直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积，10分
解得，12分
故方程为：，即. 13分
（方法二）（1）同方法一．6分
（2）依据题意可知：直线的截距存在且不为，设直线：…7分
在直线上， 8分
则直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积， 9分
联立方程得： ， 11分
又 解得 ， 12分
故方程为：，即. 13分
16.【解析】（1）
……………………………………4分
（2）
…………………………………………9分
（3）
……………………………………………………………………………………11分
…………………………………………………………15分
17.【解析】（方法一）（1）设圆的方程为，1分
因为圆C经过和，且圆心在直线上，
所以,3分
解得： ，5分
所以圆C的方程为：．6分
（2）,且=弦长，7分
①当l斜率不存在时，l的方程为，
易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意．9分
②当l斜率存在时，设l的方程为，即，10分
又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以，则．11分
所以，解得，13分
所以直线l的方程为，即．14分
综上，l的方程为或．15分
（方法二）（1）依题意，设圆心的坐标为，1分
则圆的半径，2分
所以，解得．3分
所以圆心，，4分
所以圆的方程为．6分
（2）因为，所以圆心到直线的距离，8分
依题意，直线的斜率不为0，设的方程为，9分
所以，12分
解得，或．14分
所以l的方程为，或，
即或 15分
（方法三）（1）依题意，的中点坐标为，1分
直线的斜率，2分
所以线段的垂直平分线必过圆心，其方程为．
由得即，3分
所以半径，4分
所以圆的方程为．6分
（2）同方法一．12分
（方法四）（1）设圆的方程为，1分
已知圆C经过和，且圆心在直线上.
则即3分
解得： ，5分
所以圆C的方程为．6分
（2）,且=弦长，7分
依题意，直线的斜率不为0，设的方程为，8分
由得，9分
设，则
，，11分
所以，13分
即，即，解得，或．14分
所以l的方程为，或，
即或 15分
18.【解析】（1）证明：在直角梯形中，，
所以四边形为矩形，故，，，，
因为为的中点，所以，
，1分
在中，，所以
所以，故，2分
因为，故，即，3分
因为，翻折后有，
因为，平面，所以平面，5分
因为平面，所以，6分
因为，平面，所以平面．7分
（2）由（1）可得平面，，所以两两相互垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
所以，8分
假设存在点符合题意，可设，（）10分
因为，所以，
即，所以，11分
因为，
设是平面的法向量，则
取，则，故，13分
因为轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量，14分
设平面与平面所成角为，则，
解得或（舍去）16分
所以，即，
故当点位于靠近点的三等分点时有平面与平面的夹角的余弦值为.
17分
19.【解析】（方法一）（1）设，则
直线的斜率，直线，2分
因为直线和直线的斜率乘积为，
所以，3分
整理的方程为．4分
（2）(ⅰ)依题意，设直线的方程为（）．
由得， 5分
设，则，即，
6分

7分

．8分
因为，所以，
所以的取值范围为．10分
(ⅱ)直线的方程为，直线的方程为，11分
令得，即．12分
所以， 14分
因为，
所以，即， 16分
所以，
即的值为1．17分
（方法二）（1）同方法一．4分
（2）(ⅰ)依题意，直线的斜率不为0，设的方程为．
由得，5分
设，则，解得，
，6分
7分
．8分
因为，所以，
所以的取值范围为．10分
(ⅱ)直线的方程为，直线的方程为，11分
令得，，12分
所以15分
．16分
所以，即的值为1．17分
（方法三）（1）同方法二．4分
（2）(ⅰ)同方法二．10分
(ⅱ)因为，所以，即，12分
所以直线的斜率，
同理可得的斜率，13分
所以，15分
所以
．16分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
D
D
C
A
D
B
CD
ABD
ACD