2025-2026学年甘肃省定西市渭源县九年级（上）期末数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年甘肃省定西市渭源县九年级（上）期末数学试卷（含答案+解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各组图形中，一定相似的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中，必然事件是( )
A. 2025年有13个月B. 长江是我国最长的河流
C. 打开电视，正在播放新闻D. 任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上
3.二次函数y=(x−2)2−6的最小值是( )
A. −6B. 2C. 6D. −2
4.若点(1,2)在反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象上，则k=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能.图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为( )
A. 90∘
B. 150∘
C. 120∘
D. 135∘
6.若关于x的一元二次方程x2−2x+a=0有实数根，则实数a的取值范围是( )
A. a1C. a≥1D. a≤1
7.如图，正比例函数y1=k1x(k10)图象上，
∴A1(1,1)，
∴∠A1OC1=45∘，OA1= 12+12= 2，
∴OC1= 2OA1=2，
∵四边形OA1B1C1是平行四边形，
∴B1C1//OA1，
∴∠A2C1H=∠A1OC1=45∘，
∴△A2HC1是等腰直角三角形，
∴HC1=HA2，
设A2的坐标是(a,a2)，
∴a2−2=a，
∴a=2或a=−1(舍去)，
∴A2的坐标是(2,4)，
同理可求A3的坐标是(3,9)，
∴A1(1,12)，A2(2,22)，A3(3,32)……
∴A6的坐标是(6,62)，即(6,36).
故答案为：(6,36).
过A2作A2H⊥y轴于H，由此可求A2坐标，同理可求出A3的坐标……由此即可总结出一般的规律，从而可以求出A6的坐标．
本题考查二次函数图象上点的坐标，平行四边形的性质，关键是由特殊点的坐标总结出一般规律．
17.【答案】解：整理，得5x2−4x−1=0
因式分解，得(5x+1)(x−1)=0
于是得5x+1=0或x−1=0，
则x1=−15，x2=1

【解析】首先把方程化成一般形式，然后把方程的左边分解因式，即可化成两个一元一次方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18.【答案】解：∵抛物线y=mx2−5x−2的对称轴是直线x=1，
∴−−52m=1，
解得m=52，
∴抛物线y=52x2−5x−2.
【解析】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−b2a，根据对称轴公式可求m的值，进一步确定函数解析式即可．
此题考查待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数对称轴计算方法是解决问题的关键．
19.【答案】2.
【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4，将△ABC绕点C顺时针旋转90∘得到△EDC，
∴∠ACE=90∘，CE=AC=4，CD=BC=3，
∴AD=AC−CD=1，
∴S△ADE=12AD⋅CE=12×1×4=2.
利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公式解答即可．
本题考查旋转的性质，三角形的面积，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．
20.【答案】(1)解：如图，点O即为所求；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵E是AD的中点，O是BC的中点，
∴AE=DE=OC=OB，
∵AE//OC，
∴四边形AOCE是平行四边形．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
21.【答案】14 14
【解析】解：(1)∵一共有四部电影，且每部电影被选择的概率相同，
∴小华选择《731》的概率为14；
故答案为：14；
(2)根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，小华和小亮选择看同一部电影的概率为416=14.
(1)根据概率计算公式求解即可；
(2)先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小华和小亮选择看同一部电影的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键．
22.【答案】y=800x 撬动石头至少需要400N的力 不能撬动这块石头，
理由：∵y=800x，
又∵0310，
∴他不能撬动这块石头
【解析】解：(1)由题意可得xy=1600×0.5=800，则y=800x，
∴y=800x.
(2)当x=2时，y=8002=400，
∴当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要400N的力．
(3)他不能撬动这块石头，
理由如下：∵y=800x，
又∵0310，
∴在动力臂最大为2.5m的条件下，他不能撬动这块石头．
(1)根据杠杆定理的等式，表示出x与y的关系即可；
(2)代入x=2，求此时y的值即可；
(3)根据x的取值范围，求出y的取值范围，与王先生的要求进行比较即可．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
23.【答案】90∘.
【解析】解：设这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为n∘，
根据题意列式得，2π×4=π⋅n⋅16180，
整理得，16n=1440，
解得n=90，
答：这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数90∘.
圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图的扇形弧长，据此根据弧长公式建立方程求解即可．
本题主要考查了圆锥的计算，关键是圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数．
24.【答案】−4；
−2或2.
【解析】(1)解：∵M(2,m)在直线y=−x+4的图象上，
∴m=−2+4=2，
∴M(2,2)，
∵点N与点M关于y轴对称，
∴N(−2,2)，
∵点N在反比例函数y=kx的图象上，
∴2=k−2，
∴k=−4；
(2)∵N(−2,2)，
∴MN=4，
设反比例函数y=kx的图象与线段MN交点为D，
①当NDDM=13时，即：NDMN=14，
∴ND=1，
∴D(−1,2)，
∴k=−1×2=−2，
②当NDDM=31时，即：MNDM=41，
∴DM=14MN=14×4=1，
∴D(1,2)，
∴k=1×2=2.
故k的值为−2或2.
(1)利用点在函数图象上的特点求出m，根据点N与点M关于y轴对称得到点N的坐标，代入反比例函数y=kx即可解答；
(2)利用点的对称点的坐标特点求出N点的坐标，线段MN被反比例函数y=kx的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，设反比例函数y=kx的图象与线段MN交点为D，分两种情况NDDM=13或NDDM=31计算即可．
本题是反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例函数的性质，分类讨论是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF，
∴AB//GF，
∴∠BAC=∠G=45∘，
∴∠FDG=90∘−45∘=45∘，即△DFG是等腰直角三角形，
∴FD=FG；
(2)解：∵DF⊥AB，
∴AE=BE=12AB=6，
∵∠BAC=45∘，
∴∠ADE=90∘−45∘=45∘，即△ADE是等腰直角三角形，
∴EA=ED=6.
由(1)得FD=FG=10，
∴EF=DF−DE=10−6=4，
如图所示，连接OA，设OE=x，则OF=OE+EF=x+4=OA，
∴在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE2，
∴(x+4)2=62+x2，
解得，x=52，
∴OA=x+4=52+4=132，
∴⊙O的半径为132.
【解析】(1)根据垂直，切线的性质得到AB//GF，可得△DFG是等腰直角三角形，由此即可求解；
(2)根据垂径定理得到AE=BE=6，△ADE是等腰直角三角形，由(1)得到FD=10，则EF=4，如图所示，连接OA，设OE=x，则OF=OE+EF=x+4=OA，由勾股定理即可求解．
本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质等知识，数形结合分析是关键．
26.【答案】 22 3− 5
【解析】解：(1)∵三角形ABC为等腰直角三角形，∠A=90∘，BC=4，
∴∠B=∠C=45∘，
∴sinB=ACBC=AC4= 22，
∴AB=AC=2 2；
∵点D是AC的中点，点N是BC的中点，
∴AD=12AC= 2，BN=12BC=2，
∵AD=aBN，
∴a=ADBN= 22；
(2)∵a= 2，AD=aBN，
∴AD= 2BN，设BN=x，则AD= 2x，CN=BC−BN=4−x，
\∵等腰直角三角形ABC，∠A=90∘，BC=4，
∵AB=AC=2 2，CD=AC−AD=2 2− 2x，∠B=∠C=45∘，
∵点M是AB的中点，∴BM=12AB= 2，
①当△CDN∽△BMN时，
可得：CDBM=CNBN，
∴2 2− 2x 2=4−xx，此方程无解，不符合题意；
②当△CND∽△BMN时，
可得CNBM=CDBN，
∴4−x 2=2 2− 2xx，
解得：x=3+ 5(不符合题意，舍去)或x=3− 5，
∴BN=3− 5，
综上可得，BN的长为3− 5.
(1)利用等腰直角三角形的性质和线段的中点的定义解答即可；
(2)设BN=x，则AD= 2x，CN=BC−BN=4−x，利用等腰直角三角形的性质得到BM=12AB= 2，再利用相似三角形的性质解答即可．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，线段的中点的意义，相似三角形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
27.【答案】y=x2−2x−3 △PBC面积的最大值为278，P(32,−154) 点E的坐标为(5,−2)或(−1,−2)或(1,−3− 172)或(1,−3+ 172)
【解析】解：(1)抛物线y=ax2−2x+c(a≠0)与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C(0,−3)，对称轴为直线x=1.将点C的坐标代入，结合对称轴公式得：
−−22a=1c=−3，
解得：a=1c=−3，
∴抛物线解析式为y=x2−2x−3；
(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，把B，C点的坐标分别代入得：
3k+b=0b=−3，
解得：k=1b=−3，
∴直线BC的解析式为y=x−3.
如图2，M(a,a−3)，点P为直线BC下方抛物线上的点，设P(a,a2−2a−3)，
∴PM=a−3−a2+2a+3=−a2+3a=−(a−32)2+94，
当a=32时，得：PMmax=94，
∴S△PBC=12PM⋅3=32×94=278，即△PBC面积的最大值为278，
∴P(32,−154)；
(3)将抛物线y=ax2−2x+c(a≠0)先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，
∴y′=(x−1)2−2(x−1)−3−1=x2−4x−1=(x−2)2−5，
抛物线y′的对称轴为直线x=2.
∵B(3,0)，C(0,−3)，
∴OC=OB=3，∠BCO=∠CBO=45∘，
如图3：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴于点F，
∵D在y′的对称轴上，
∴FD=2，
∵∠BCD=90∘，∠BCO=45∘，
∴∠DCF=45∘，
∴CF=FD=2，OF=3+2=5，即点D(2,−5)，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点E(5,−2)；
如图4：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y′的对称轴为x=2与x轴交于点F，
∵D在y′的对称轴上，
∴FO=2，
∴BF=3−2=1，
∵∠CBO=45∘，即∠DBO=45∘，
FD=1，即点D(2,1)，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E(−1,−2)；
如图5：当BC为矩形对角线时，设D(2,d)，E(m,n)，BC的中点F的坐标为(32,−32)，
依题意得：2+m2=32d+n2=−32，
解得：m=1d+n=−3，
又∵DE=BC，
∴(2−1)2+(d−n)2=32+32，
解得：d−n=± 17，
联立得：d−n=± 17d+n=−3，
解得：n=−3± 172，
∴点E的坐标为(1,−3− 172)或(1,−3+ 172).
综上所述，存在点E，其坐标为(5,−2)或(−1,−2)或(1,−3− 172)或(1,−3+ 172)，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形．
(1)利用对称轴公式可得−−22a=1，再结合点C的坐标利用待定系数法求解即可；
(2)先解得直线BC的解析式为y=x−3，设P(a,a2−2a−3)，M(a,a−3)，得到的PM的值，当a=32时，PM最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
(3)分情况讨论，当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当BC为矩形对角线时，分别求解即可．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，矩形的性质，两点间的距离公式，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．种子总数
100
400
800
1400
3500
7000
发芽种子数
91
358
724
1264
3160
6400
发芽的频率
0.91
0.895
0.905
0.903
0.903
0.914