吉林省友好学校2026届高三上学期第80届期末联考 数学试卷(含答案）

这是一份吉林省友好学校2026届高三上学期第80届期末联考 数学试卷(含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．在等差数列中，，则公差（ ）
A．B．12C．D．11
3．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点，记点关于轴的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
二、多选题
9．下列选项中，与“”互为充要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知点在抛物线上，点为抛物线的焦点，则（ ）
A．焦点的坐标为
B．抛物线的准线方程为
C．若，则
D．
11．已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中正确的是
A．B．是图象的一个对称中心
C．D．是图象的一条对称轴
三、填空题
12．已知集合，若，则实数的值为 ．
13．已知实数，满足，则的最大值为 .
14．已知球是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心到平面的距离为 .
四、解答题
15．在中，角,,所对的边分别是，，，已知 .
（1）求的值；
（2）若，，，为垂足，求的长.
16．已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
17．已知函数，．
(1)若函数在上单调递减，求a的取值范围：
(2)若直线与的图象相切，求a的值．
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点.
(1)若直线平面，求证：为的中点；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
19．已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，为椭圆上的一个动点，且点到右焦点距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过点的直线交椭圆于两点，当的面积最大时，求此时直线的方程．
参考答案
1．D
【详解】由题意知：，
所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
2．D
【详解】等差数列中，公差
故选：D.
3．D
【详解】若，则或，故A不正确；
若，则或与相交，故B不正确；
若，则或与相交，故C不正确；
若，则由面面垂直的判定定理可知，故D正确.
故选：D.
4．A
【详解】因为，，，
所以，
所以，
故选：A.
5．A
【详解】由题意可得轴截面是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为，则其母线长为，从而该圆锥的侧面积.
表面积，
故.
故选：A.

6．B
【详解】因为，所以，
所以，
所以
，
所以，
故选：B.
7．D
【详解】函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到，
因为是偶函数，则其图象关于轴对称，
所以的图象关于直线对称，
又在上单调递增，则在上单调递减，
又，则有，
当，即时，需，
解得或；
当，即时，需，无解；
综上，不等式的解集为.
故选：D
8．B
【详解】
设，连接，与轴交于点，
由对称性可知，
又，所以是正三角形，且.
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
又点在直线上，
故，
所以，
所以.
故选：B.
9．BC
【详解】对A，则，即，，解得，故A错误；
对B，则，故，解得，故B正确；
对C，则，解得，故C正确；
对D，，则，解得，故D错误.
故选：BC
10．ACD
【详解】抛物线的方程是，则，焦点坐标是，准线方程是，A对B错；
点在抛物线上，，，则,,C对；
抛物线上点到焦点的距离在点为顶点时取得最小值，这个最小值是1，因此，D对，
故选：ACD.
11．ABD
【详解】由题意，向右平移，
得
的图象关于轴对称，所以，
，又
即
则是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴
而，则C错，A,B,D正确
故选：ABD
12．1或2
【详解】因为集合，若，
所以，所以或或或，或或或或，
解得：或或或或或或或，
当时，，不满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
综上：实数的值为1或2.
故答案为：1或2.
13．/
【详解】因为，所以，
即，当时，等号成立，
所以的最大值是.
故答案为：
14．/
【详解】如图，设点在底面的投影为，
则，设，
所以，，
由得，，解得.
故答案为：.
15．（1）（2）
【详解】（1）因为，
所以
因为，所以,即.
因为，所以，所以.
则.
（2）因为，所以,.
在中，由余弦定理可得 ，即.
由，得.
所以.
16．（1）；（2）．
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，则，即，
又，则，
∴（常数），故是以为首项，以3为公比的等比数列，
∴数列的通项公式为．
（2）由（1）可得：，
∴，
设，则
∴，
∴，又，
∴
17．(1)
(2)
【详解】（1）记在上单调递减，
对恒成立，
，而，
当且仅当即时，等号成立，
所以当时，取得最小值为.
所以a的取值范围为
（2）设直线与的图象相切于，
，
由题意可知，
代入，
，左边式子关于单调递减且时，左边
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接交于点，再连接，
由直线平面，平面，平面平面，，又为的中点，为的中点；
（2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
设，则
设，，
设平面的法向量为，则，即
取，则.
设平面的法向量，则，即，
可得平面的法向量，
设平面与平面夹角为
，整理得，
19．(1)
(2)或．
【详解】（1）椭圆的离心率为，
又点到右焦点距离的最大值为，即，
解得．
又由，可得．
∴椭圆的方程为：．
（2）由题意，设直线的方程为，
联立，得，
设，
则，
，
当且仅当即时取等号．
∴所求直线的方程为或．