广西省高三跨市联考2025-2026学年上学期1月月考数学试卷(含解析)

这是一份广西省高三跨市联考2025-2026学年上学期1月月考数学试卷(含解析)，共10页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 已知双曲线 E等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x是不大于6的正奇数}，B={2,3,4,5,6}，则A∩B=
A. {1} B. {3,5}
C. {2,4} D. {1,3,5}
2.等比数列{an}中，a4=4，a6a7=8，则a9=
A.2 B.4 C.8 D.1
3.在复平面内，1−2026i2025i对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知平面向量a=(1,k)，b=(3,2k+2)，若a∥(2a+b)，则k=
A. −2 B. −1
C. 1 D. 2
5.已知直线y=ax+b平分圆x2+y2+2x=0的面积，则b−a=
A.0 B. −1
C.2 D.1
6.已知某扇形的周长为6，面积为2，圆心角为锐角，则其弧长为
A.1 B.2 C.3 D.4
7.将单词卡片“breathless”拆解成十张字母卡片，现从中随机抽两张字母卡片，已知一张字母卡片最多只能被抽到一次，若抽到的两张卡片上的字母相同，则它们均为e的概率为
A. 110 B. 18
C. 15 D. 12
8. 半径为2的球 O 的球面上有四点 A，B，C，D，其中 AD 为球 O 直径，∆ABC 是等边三角形，若 AD→·(AB→+AC→)=18，则四面体 ABCD 的体积为
A. 223B. 233
C. 322D. 332
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分。
9. 已知双曲线 E:x2−my2=k(m>0) 的渐近线方程为 y=±2x，其焦点分别为 F1，F2，点 P 在 E 上，则
A. m=12
B. E 的离心率可以为 52
C. 当 k=4 时，点 F1 到渐近线的距离为6
D. 当 k=−9 时，||PF1|−|PF2||=12
10. 记 Sn 为正项数列 {an} 的前 n 项和，且 2Sn=an2，则
A. a2>3
B. {an} 是等差数列
C. {an} 是递增数列
D. {Sn−an} 是递增数列
11. 已知函数 f(x)，g(x)，f(x+1)−1 是奇函数，g(x+1)−x 是偶函数。当 x∈[0,1] 时，f(x)=g(x)=x2，则
A. f32+f52=4
B. 对任意 n∈N∗，f(n)=g(n)=n
C. f(x)=g(x) 当且仅当 x∈[4k−1,4k+1],k∈Z
D. |f(x)−g(x)|≤12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 椭圆 x24+y22=1 的四个顶点围成四边形的周长与面积的比值为 ______。
13. 已知函数 f(x)=tanωx+2026π3(ω>0)，若曲线 y=f(x) 关于点 π3,0 中心对称，则 ω 的最小值为 ______。
14. 若 00) 的焦点为 F(0,1)。设 n 为正整数，点 Pn(xn,yn) 为 C 上一点，直线 PnF 交 C 于另一点 Qn(an,bn)。
（1） 求 a；
（2） 证明：xnan 为定值，并求该定值；
（3） 分别作以点 Pn 与点 Qn 为切点的抛物线的两条切线相交于点 Tn，证明：∑i=1n|TiF|≥2n。
19.（本小题满分17分）
设函数 f(x)=x2+2ax+b，集合 A={1,2,⋯,n}(n≥2)。a,b∈A，设 f(x) 的图象与 x 轴有交点的概率为 Pn。
（1） 求 P3 的值；
（2） 求 Pn 关于 n 的表达式；
（3） 证明：nPn>n−1。
参考公式：∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6。
参考答案
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数学参考答案及解析
一、选择题
1.B 【解析】显然A={1,3,5}，于是A∩B={3,5}。故选B。
2.A 【解析】由等比数列的性质可得a4a7=a1a9=4a9=8，故a9=2。故选A。
3.C 【解析】易得1−2026i2025i−2026i2026−i=−2026−i，由复数的几何意义可知其对应的点位于第三象限。故选C。
4.D 【解析】显然2a+b=(5,4k+2)，由a∥(2a+b)得4k+2=5k，解得k=2。故选D。
5.A 【解析】圆x2+y2+2x=0变形可得(x+1)2+y2=1，圆心为(−1,0)，由题意可知直线y=ax+b经过圆心(−1,0)，所以b−a=0。故选A。
6.B 【解析】不妨设圆心角为θ，半径为r，{6=(θ+2)r①2=12θr2②，①2÷②，得362=18=2(θ+2)2θ，即2θ2−10θ+8=0，得θ=1或θ=4（舍），其半径r=6θ+2=2，故弧长l=θr=2。故选B。
7.D 【解析】记事件A：抽到的两个字母相同，事件B：抽到的字母均为c，注意到重复情况仅可能为两个c或两个s，故P(A)=210×19+210×19=245，P(AB)=210×19=145，于是P(B|A)=P(AB)P(A)=12。故选D。
8.D 【解析】记BC中点为M，∠DAM=θ，延长AM交球O于点H。注意到DH⊥AH，DH=4sinθ，AH=4csθ，记∆ABC外接圆圆心为O1，显然O1为AH中点，于是O1A=2csθ，对应可得BO1=2csθ，AB=23csθ，AM=3csθ。注意到AD→·(AB→+AC→)=2AD→·AM→=2×|AD|×|AM|×cs∠DAM=8×3csθ×csθ=24cs2θ=18，由θ∈0,π2得θ=π6，于是DH=2，AB=3，故四面体ABCD的体积V=13×DH×S∆ABC=23×34×32=332。故选D。
二、选择题
9.BD 【解析】对于A，直接考虑k=0得y2=1mx2，即y=±1mx，由1m=2得m=14，故A错误；对于B，E:x2−y24=k，当k0得a2=2+4+162=1+5>3，故A正确；对于B，实际上，a32=2S3=2(a1+a2+a3)，a32−2a3−2(3+5)=0，a3=2+4+8(3+5)2=1+7+25，显然a1+a3≠2a2，故B错误；对于C，显然2Sn+1=an+12，两式相减得2an+1=(an+1+an)(an+1−an)>0，即an0，可得{Sn−an}是递增数列，故D正确。故选ACD。
11.ABD 【解析】对于A，显然f(1+x)+f(1−x)=2，可知曲线y=f(x)关于(1,1)对称，而其自身关于(0,0)对称，可知对于任意整数k，y=f(x)关于(k,k)对称，于是f32+f52=f2−12+f2+12=2×2=4，故A正确；对于B，显然f(n)=n成立，构造G(x)=g(x)−x，显然G(x+1)是偶函数，G(x)是奇函数，而G(1)=g(1)−1=0，G(2+x)=G(−x)=−G(x)，于是G(2)=−G(0)=0，同理G(n)=g(n)−n=0，故B正确；对于C，此时取x=4k+2可得矛盾，故C错误；对于D，注意到f(x)−x，g(x)−x均为以4为周期的函数，易知f(x)与g(x)的图象均为由y=x2与y=2x−x2于[0,1]上的图象平移所得，故|f(x)−g(x)|=|2x−2x2|=12−12(1−2x)2≤12，故D正确。故选ABD。
三、填空题
12. 3 【解析】显然椭圆的长半轴a=2，短半轴b=2，其周长C=4a2+b2=46，面积S=2ab=42，可得CS=3。故答案为3。
13. 12 【解析】易知正切函数y=tanx的对称中心为kπ2,0,k∈ℤ，故由条件知ω·π3+2026π3=kπ2，即ω=3k2−2026，由ω>0知32k>2026，k>40523，由k∈ℤ得ω≥32×40533−2026=12，故答案为12。
14.4 【解析】注意到2x−2+a2−b2−4a+4b+4−4=2x−4+1a−2−12−b，即2x−2+(a−2)2−1a−2=2x−4+(2−b)2−12−b，且a−2>0，2−b>0。显然函数f(x)=2x+x2−1x在(0,+∞)上单调递增，故由f(a−2)=f(2−b)得a−2=2−b，即a+b=4。故答案为4。
四、解答题
15. 解：（1）由余弦定理得 a2+b2−c2=2b=2abcsC。（2分）
得 acsC=1，（3分）
由 a=2 知 csC=12，由 C∈(0,π) 得 C=π3。（5分）
（2）作 AH⊥BC，垂足为 H。
显然 AH=32，故 CH=AHtanC=12。（8分）
于是 BH=a−CH=32。（9分）
故由勾股定理得 c=AH2+BH2=34+94=3。（11分）
于是 ∆ABC 的外接圆半径 R=c2sinC=1。（13分）
16. 解：（1） f'(x)=3x2−3a。（1分）
当 a≤0 时，f'(x)≥0，f(x) 单调递增；（3分）
当 a>0 时，x∈(−∞,−a) 时，f'(x)>0，f(x) 单调递增；（4分）
x∈(−a,a) 时，f'(x)