上海市宜川中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题（含答案）

这是一份上海市宜川中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题（含答案），共15页。试卷主要包含了11，………………………………6分等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．已知等比数列首项，公比，则 ．
2．复数（其中为虚数单位）的虚部是 .
3．从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为 （结果用数值表示）．
4．已知集合与集合，求集合
5．已知向量，满足，，，则
6．已知实数a、b满足，则的最小值为 ．
7．， 恒成立，则 ．
8．的展开式中的系数为 ．
9．如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则 .
10．已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为 .
11．已知函数，是定义在R上的奇函数，且满足，当时，．则当时，方程实根的个数为 ．
12．已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为 .
二、单选题
13．以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是（ ）
A．90B．89C．88D．88.5
14．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
15．如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点
B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点
D．至少有一个极小值点和两个极大值点
16．豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
17．已知向量.
(1)若，求；
(2)记，若对于任意恒成立，求的最小值.
18．我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.
(1)经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；
(2)经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示）
19．如图所示，四棱柱的底面ABCD是正方形，O是底面的中心，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，求证：；
(3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21．若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”．
(1)试问函数是否为函数的“导控函数”？
(2)若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”；
(3)若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”．
宜川中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
2025.11
一、填空题
1．已知等比数列首项，公比，则 ．
【答案】31
2．复数（其中为虚数单位）的虚部是 .
【答案】-4
3．从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为 （结果用数值表示）．
【答案】
4．已知集合与集合，求集合
【答案】
5．已知向量，满足，，，则
【答案】
6．已知实数a、b满足，则的最小值为 ．
【答案】
7．， 恒成立，则 ．
【答案】
8．的展开式中的系数为 ．
【答案】24
9．如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则
【答案】
10．已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为 .
【答案】
11．已知函数，是定义在R上的奇函数，且满足，当时，．则当时，方程实根的个数为 ．
【答案】506
12．已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为 .
【答案】-3
二、单选题
13．以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是（ ）
A．90B．89C．88D．88.5
【答案】A
14．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
15．如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点
B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点
D．至少有一个极小值点和两个极大值点
【答案】C
16．豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
三、解答题
17．已知向量.
(1)若，求；
(2)记，若对于任意恒成立，求的最小值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，所以，…………………………2分
所以.………………………………………4分
（2）
.…………2分
因为，所以，所以.…………4分
当，即时，取得最小值；…………………………5分
当，即时，取得最大值1.………………………………6分
因为恒成立， 且…………8分
所以，故的最小值为.………………………………………………10分
18．我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.
(1)经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；
(2)经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示）
【答案】（1）44.5. （2）
【解析】(1)由条件得，指数，……………………………………2分
则这50人年龄的第60百分位数是将他们的年龄按从小到大的顺序排列后的第30人与第31人的年龄平均值，………………………………………………………………3分
由茎叶图可知，第30人的年龄为44，第31人的年龄为45，………………4分
则所求的第60百分位数是44.5.……………………………………………………6分
（2）由茎叶图可知，年龄在的被调查者共9人，其中6名男性，3名女性，
令为至少有三人投赞成票，依题意得，
被选中的4人中有两名女性一名男性投赞成票的概率是…………2分
被选中的4人中有一名女性两名男性投赞成票的概率是，…………4分
被选中的4人中有两名女性两名男性投赞成票的概率是，………………6分
则被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率为.……………8分
19．如图所示，四棱柱的底面ABCD是正方形，O是底面的中心，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）因为是正方形，所以，

因为底面，所以，
又，,在平面内， 所以平面,……………3分
在平面内， 所以，………………………………………4分
由底面，可得，
所以，即有，………………………………5分
因为，所以，…………………………………………6分
和在平面内，且，
所以平面．………………………………………………8分
（2）方法1：设点到平面的距离为，
………………………………………………2分
由题可知,,.
所以．…………………………………………………………4分
得直线与平面所成角的正弦值.………………6分

方法2：（建系）以为原点，射线为轴、轴、轴的正半轴，
建立空间直角坐标系．…………1分
可得
则，………………………………………2分
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，……………………………………4分
直线与平面所成角的正弦值等于向量与平面法向量的夹角余弦值的绝对值：.…………………………………………6分
20．已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，求证：；
(3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）是，定值
【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为，
所以设双曲线方程为，又双曲线过点，…………1分
则，………………………………………………………………2分
所以双曲线的方程为，即.…………………………4分
（2）由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为，
联立，消去得，……………1分
设，由题意得，……………………2分
所以，且，
所以
，…………4分
所以，即得证.…………………………………………6分
（3）由(2)可知恒成立，，
所以圆心到的距离，……………………2分
半径，……………………4分
设所对圆心角为，
则，…………………………6分
因为为劣弧，所以，
所以，所以，即所对圆心角的大小为定值.…………8分
21．若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”．
(1)试问函数是否为函数的“导控函数”？
(2)若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”；
(3)若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”．
【答案】（1）是 （2）； （3）证明见解析
【解析】(1)由，得，由，得，
因为，所以函数是函数的“导控函数”；………………4分
（2）由，得，
由，得，由，得，
由题意可得恒成立，…………………………2分
令，解得，
故，从而有，所以，………………4分
又恒成立，即恒成立，
所以，所以，
故且“导控点”为；…………………………………………6分
（3）充分性：若存在常数使得恒成立，
则为偶函数，……………………………………1分班
因为函数为偶函数，所以，
则，即，…………………………3分
所以恒成立，所以；…………………………4分
必要性：若，则，所以函数为偶函数，……5分
函数是函数的“导控函数”，因此，
又，
因此函数是函数的“导控函数”，……………………6分
所以，即恒成立，
用代换有，
综上可知，记，
则，
因此存在常数使得恒成立，…………………………7分
综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”．……8分
【点睛】关键点点睛：理解“导控函数”和“导控点”的定义是解决本题的关键.