上海市宜川中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份上海市宜川中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（含答案解析），共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分)
1. 半径为3，圆心角等于的扇形的面积是______．
2. 直线被圆截得的弦长为__________.
3. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______．
4. 复数（是虚数单位）是方程的一个根，则实数___________.
5. 在中，若，，，则的长为 _______.
6. 直线与直线的夹角的大小为________．
7. 已知等差数列中，，，则________．
8. 直线关于点对称的直线方程为________.
9. 若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是________．
10. 在数列中，，，则______.
11. 已知圆和直线．下面四个命题：
①对任意实数与，直线和圆相切；
②对任意实数与，直线和圆有公共点；
③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切；
④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切．
其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
12. 已知复数满足，若复数，（是虚数单位），记 ，则的最小值的取值范围是_______．
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13. “”是“直线与直线平行”的（ ）．
14. 已知复数，以下关于复数运算性质的表述，正确的是（ ）．
15. 已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（ ）
16. 过点向曲线（为正整数）引斜率为（）的切线，切点为，则下列结论不正确的是（ ）．
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 已知复数满足，（是虚数单位），求的最小值．
18. 已知，，．
(1)为何值时，与垂直？
(2)求向量与的夹角的余弦值．
19. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．

(1)求S关于的函数表达式；
(2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值．
20. 已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．

(1)当时，求直线的方程；
(2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值；
(3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
21. 定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，．
(1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式：
(2)记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由．
上海市宜川中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：三角函数与解三角形、平面解析几何、平面向量、复数、数列、函数与导数、集合与常用逻辑用语
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．必要非充分条件
B．充分非必要条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
A．若，则
B．
C．若，则
D．
A．3
B．4
C．5
D．6
A．
B．
C．
D．数列的前项和为
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
10
适中
9
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.85
扇形面积的有关计算
2
0.85
圆的弦长与中点弦
3
0.85
数量积的坐标表示；求投影向量
4
0.85
复数范围内方程的根
5
0.85
余弦定理解三角形
6
0.94
直线的倾斜角
7
0.65
利用等差数列的性质计算；求等差数列前n项和；等差数列通项公式的基本量计算
8
0.65
直线综合
9
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；由直线与圆的位置关系求参数；函数与方程的综合应用
10
0.85
根据数列递推公式写出数列的项；数列周期性的应用
11
0.65
辅助角公式；求点到直线的距离；由标准方程确定圆心和半径；判断直线与圆的位置关系
12
0.65
圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）；求复数的模
二、单选题
13
0.85
判断命题的充分不必要条件；已知直线平行求参数
14
0.85
复数的相等；复数代数形式的乘法运算
15
0.65
解正弦不等式；解余弦不等式；二倍角的正弦公式
16
0.65
求等差数列前n项和；裂项相消法求和；求两曲线的交点
三、解答题
17
0.85
求复数的模；复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算
18
0.85
向量夹角的计算；已知向量垂直求参数；数量积的运算律；已知数量积求模
19
0.65
求二次函数的值域或最值；三角函数在生活中的应用；sinα±csα和sinα·csα的关系
20
0.65
求点到直线的距离；由直线与圆的位置关系求参数；直线与圆的位置关系求距离的最值
21
0.15
数列新定义；数列不等式能成立（有解）问题；利用定义求等差数列通项公式；由定义判定等比数列
序号
知识点
对应题号
1
三角函数与解三角形
1,5,11,15,19
2
平面解析几何
2,6,8,9,11,12,13,16,20
3
平面向量
3,18
4
复数
4,12,14,17
5
数列
7,10,16,21
6
函数与导数
9,19
7
集合与常用逻辑用语
13