四川省泸州市泸县第五中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写
在答题卡上，
2．考生必须保持答题卡的整洁，
第 I 卷 选择题（58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用并集的运算可得答案.
【详解】因为 ， ，所以 .
故选：B
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由命题否定的定义即可得解.
【详解】命题“ ”的否定是 .
故选：B.
3. “ ”是“ ”的（ ）
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A. 必要不充分条件 B. 不必要条件
C. 必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】举出反例得到充分性不成立，再解不等式得到必要性成立.
【详解】当 时，满足 ，但不满足 ，充分性不成立，
，解得 或 ，此时 ，必要性成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：A
4. 若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取特殊值可判断 ABD，利用作差法可判断 C.
【详解】若 ，当 时，
对于 A， ，故 A 错误；
对于 B， ，故 B 错误；
对于 C，因为 ，所以 ，故 C 正确；
对于 D， ，故 D 错误.
故选：C
5. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】根据函数的定义域求法及复合函数的定义域求解即可.
【详解】函数 的定义域为 ，所以 ，解得 ，
，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：C.
6. 已知定义在 上的函数 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用分段函数性质和正弦函数计算即可.
【详解】因为 ，所以利用 多次递推，
则 ， ，
， ，
此时 符合 ，
代入得 ，
故选：
7. 函数 对任意的实数 ， ，都有 成立，则
实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】根据题意得到函数 在 上单调递增，根据分段函数单调递增的特点，列出相应的不
等式，解不等式组即可得到答案.
【详解】因为函数 对任意的实数 ， ，都有 成立，
则函数 在 上单调递增，
则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A
8. 已知函数 （ ）在 内有且仅有 3 个零点，则 的值可以是（
）
A 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件将问题转化为 与直线 在 内恰有三个交点，设令
，进而将问题转化为 与直线 在 （ ）内恰有三个交点，
结合正弦函数的图象与性质得到 ，即可求解.
【详解】由于 （ ）在 内有且仅有 3 个零点，
所以方程 （ ）在 内恰有三个不相等的实数根，
即 与直线 在 内恰有三个交点.
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令 ，则 ，
则 与直线 在 （ ）内恰有三个交点.
令 ，解得： （ ）或 （ ），
又 ， 且满足条件的 恰有三个值，
则 ，解得： ，
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，
9. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则（ ）
A.
B.
C. 不等式 的解集为
D. 不等式 的解集为
【答案】AD
【解析】
【分析】由三个二次之间的关系以及韦达定理，得到 间的关系，代入求解即可.
【详解】因为不等式 的解集为 ，
所以 得两个根为 ，且 ， 所以 A 正确；
由韦达定理 ，解得
因为 ，所以 B 错误；
由不等式 ，得 ，因为 ，所以解集为 ，所以 C 错误；
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由不等式 ,得 ，因为 ，所以 ，解集为
，所以 D 正确.
故选：AD
10. 已知 ，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】将式子两边同时平方，可得 ，即可判断 取值范围，进而确定余弦值和正切值的
符号，可判断选项 ABC 错误，再利用同角三角函数的基本关系可求得选项 D 中表达式的值，即可做出判断
.
【详解】将 两边同时平方，可得 ；
所以 ，即 符号相同，
又因为 ，所以 应在第一象限，所以 ，故 A 错误；
当 时， ，故 BC 均错误；
由 可知，
；即 D 正确；
故选：ABC.
11. 已知函数 ，下列四个命题正确的是（ ）
A. 函数 的单调递增区间是
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B. 若 ，其中 ，则
C. 若 的值域为 R，则
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，利用复合函数的“同增异减原则”即可求得；对于 B，判断 的符号，去掉绝对值，代
入化简即得；对于 C，要结合对数函数的图象理解，要使对数型函数的值域为 R，须使真数能取遍一切正数，
列出不等式组求解即得；对于 D，分别判断绝对值内的对数式的符号，去绝对值，再结合 的范围，利用
对数函数单调性即可比较大小.
【详解】对于 A 项，由 可得 ，取 ，因 在定义域内为减函数，
而 在区间 上递增，在区间 上递减，
根据同增异减原则可知：函数 单调递增区间是 ，故 A 项正确；
对于 B 项，因 ， ，故由 可得： ，即得
，则 ，故 B 项正确；
对于 C 项，要使 的值域为 R，须使 能取遍一切正
数.
① 当 时， 可以取遍一切正数，符合题意；
②当 时，依题意，须使 ，解得： .
综上可知 ，故 C 项不正确；
对于 D 项，当 时， ， ，则 ， ，
故 ， ，
由 可得： ，则 ，即得：
，故 D 项不正确.
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故选：ABD.
第 II 卷 非选择题（92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 求值： ________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据指数幂的运算法则、对数的运算法则及换底公式进行计算即可.
【详解】原式
.
13. 设 tan10°＝m，则 ＝______（结果用含 m 的式子表示）.
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式可求答案.
【详解】
.
故答案为：
14. 已知 ，若 恒成立，则 m 的最大值为____________
【答案】9
【解析】
【分析】利用参变分离 ，根据 结合基本不等式求得结果.
【详解】由 ，知 ， ， ，
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由 ，得 ，
又 ，
，
当且仅当 ，即 时， 取得最小值 9，
， 的最大值为 9．
故答案为：9.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 的定义域为集合 A，集合 ．
（1）求集合 ；
（2）设集合 ，若 ，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域化简集合 ，解指数不等式化简集合 ，再利用并集的定义求解.
（2）由（1）及交集的结果，结合集合的包含关系求解.
【小问 1 详解】
由函数 有意义，得 ，解得 ，则 ，
解不等式 ，得 ，即 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，由 ，得 ，
当 时， ，即 ，满足 ，因此 ；
当 时， ，解得 ，
所以实数 m 的取值范围是 .
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16. 已知 .
（1）化简 ；
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1） ；
（2）3.
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得；
（2）根据同角关系式结合条件即得.
【小问 1 详解】
.
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
∴ .
17. 已知函数
（1）求 的值；
（2）求函数 的递增区间；
（3）求函数 在区间 上的值域．
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【答案】（1）
（2） ,
（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数，即可得 的值；
（2）根据正弦型三角函数的性质列不等式求解单调增区间即可；
（3）根据（2）确定函数 在区间 上的单调性，求值即可得函数的值域．
【小问 1 详解】
则 ；
【小问 2 详解】
令： ，
解得
的单调递增区间为： , ；
【小问 3 详解】
由（2）可得，函数 在区间 上单调递增
，
在区间 上的值域为： ．
18. 已知定义域为 的函数 是奇函数．
（1）求 的值；
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（2）判断函数 的单调性并证明；
（3）若关于 的不等式 在 有解，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质，利用 进行求解．
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．
（3）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化，利用参变分离的思想结合函数有解的条件进行转化．
【小问 1 详解】
由 为定义在 上奇函数，可知 ，解得 ．则 ，
，
故 ．
【小问 2 详解】
由 单调递增可知 在 上为减函数，证明如下：
对于任意实数 ， ，不妨设 ，
递增，且 ， ， ， ，
故 在 上为减函数．
【小问 3 详解】
由 为奇函数得： ，等价于 ．
又由 在 上为减函数得： ，即 ；
因为 ，所以 ．原问题转化为 在 上有解，
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，当且仅当 ，即 时，等号成立，
当 时， 取得最大值 ． ，解得 ，
的取值范围是 ．
19. 已知函数 为偶函数．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数 在 上只有一个零点，求实数
的取值范围．
【答案】（Ⅰ）1 （Ⅱ）2 （Ⅲ） 或 .
【解析】
【分析】（Ⅰ）由题意 x∈R 时 f（﹣x）＝f（x），列出方程求解 b＝1 即可；
（Ⅱ）求出 f（1），通过 ，求解 a；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下条件转化为 在 R 上只有一个零点，令 t＝2x，则 t
＞0，即关于 t 的方程 只有一个正实根，令 ，通过 k
与 1 的大小比较，转化求解 k 的范围即可．
【详解】（Ⅰ）由题意 时 ， ，
，
，故 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ，
，显然 ， ，解得 或 ，
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又 且 ，所以 ．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下 ，
在 上只有一个零点，
令 ，则 ，即关于 的方程 只有一个正实根，
令 ，
①当 时， ，满足条件；
②当 时，函数 的图象是开口向上的抛物线，又 ，
所以方程 有一正一负两根，满足条件；
③当 时，函数 的图象是开口向下的抛物线，又 ，
时满足题意，解得 ，
故实数 的取值范围为 或 .
【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．
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