四川省泸州市泸县五中2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份四川省泸州市泸县五中2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设集合，B＝{y|y≤9}，则A∩B＝（ ）
A．[3，9]B．RC．[0，9]D．∅
2．（5分）已知命题p：∀x＞0，x+≥2（ ）
A．∀＜2B．∀＜2
C．∃＜2D．∃＜2
3．（5分）“a≥2”是“方程x2﹣ax+1＝0有实根”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣2
C．若，则a＞bD．若a＞b，则a2＞b2
5．（5分）若关于x的不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，3]，则不等式（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）已知，则＝（ ）
A．3B．﹣3C．D．
7．（5分）14C同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的14C放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，动植物死亡后的时间n（单位：年）与死亡n年后14C的含量Pn满足关系式（其中动植物体内初始14C的含量为P0）．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中14C的含量为原来的70%，可以推测该样本距今约（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.85）（ ）
A．2750年B．2865年C．3050年D．3125年
8．（5分）若是奇函数，则ab＝（ ）
A．B．C．D．2
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．终边在y轴上的角的集合为
B．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4
（多选）10．（6分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的周期为π
B．函数为偶函数
C．函数y＝f（x）的图像关于直线对称
D．函数y＝f（x）在上的最小值为
（多选）11．（92分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（1+x）＝f（3﹣x）（x）在[0，2]上单调递减，f（2），则（ ）
A．函数f（x）图象关于直线x＝2对称
B．函数f（x）的周期为4
C．f（2024）+f（2022）＝1
D．设，f（x）和g（x）的图象所有交点横坐标之和为﹣2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．（5分）已知集合A＝{4，﹣4m}，B＝{4，m2}，且A＝B，则m的值为 ．
13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为6cm cm2．
14．（5分）已知函数，x∈[1，2]，g（x），x∈[﹣1，3]．对于任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）≥g（x2），则a的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，集合，
（1）当m＝1时，求A∪（∁RB）；
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求m的取值范围．
16．已知f（x）＝sin．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）当x∈时，求函数f（x）的最大值和最小值．
17．某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，该公司一年内生产该车x万台（0≤x≤10）且全部售完，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入﹣总成本）
（1）写出年利润S（x）（亿元）关于年产量x（万台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；
（3）若该企业当年不亏本，求年产量x（万台）的取值范围．
18．已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式．
19．对于定义域为I的函数f（x），如果存在区间[a，b]⊆I（x）在x∈[a，b]时，kb]，则称[a（x）的“k倍美好区间”．特别地，若函数函数y＝f（x），b]时值域是[a，b]，b]为f（x）的“完美区间”．
（1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”；
（2）如果二次函数在（0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a，b；
（3）是否存在实数a，b（b＜2），使得函数（x∈（0，+∞），b]单调，且[a（x）的“k倍美好区间”，若存在；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年四川省泸州市泸县五中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（5分）设集合，B＝{y|y≤9}，则A∩B＝（ ）
A．[3，9]B．RC．[0，9]D．∅
【分析】根据根式性质化简集合A，进而求交集．
【解答】解：因为B＝{y|y≤9}，，
所以A∩B＝[3，9]．
故选：A．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）已知命题p：∀x＞0，x+≥2（ ）
A．∀＜2B．∀＜2
C．∃＜2D．∃＜2
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：命题p为全称命题，则命题的否定为：∃，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．（5分）“a≥2”是“方程x2﹣ax+1＝0有实根”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由Δ＝（﹣a）2﹣4≥0得到x2﹣ax+1＝0有实数根满足的条件，根据真包含关系得到答案．
【解答】解：若方程x2﹣ax+1＝3有实根，则Δ＝（﹣a）2﹣4≥5，解得a≤﹣2或a≥2．
由于[2，+∞）⫋[2，﹣2]2﹣ax+1＝0有实根，但方程x2﹣ax+1＝0有实根推不出a≥4，
故a≥2是a≤﹣2或a≥4的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
4．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣2
C．若，则a＞bD．若a＞b，则a2＞b2
【分析】根据不等式的性质可判断A，B，C；举反例可判断D．
【解答】解：对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，A错误；
对于B，若a＞b，B错误；
对于C，若，则c≠22＞0，故a＞b；
对于D，若a＞b，则a8＜b2，D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质及特值法的应用，属于基础题．
5．（5分）若关于x的不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，3]，则不等式（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由一元二次不等式解集的性质求出b＝﹣1，c＝﹣6，再由分式不等式的解法求出解集即可；
【解答】解：关于x的不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣4，3]，则
，即b＝﹣7，
所以即，等价于，
解得，
所以所求的解集为．
故选：D．
【点评】本题主要考查分数不等式的解法，属于基础题．
6．（5分）已知，则＝（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【分析】先利用诱导公式求出，再根据同角三角函数基本关系化为，即可求解．
【解答】解：由，得，
所以＝．
故选：D．
【点评】本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7．（5分）14C同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的14C放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，动植物死亡后的时间n（单位：年）与死亡n年后14C的含量Pn满足关系式（其中动植物体内初始14C的含量为P0）．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中14C的含量为原来的70%，可以推测该样本距今约（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.85）（ ）
A．2750年B．2865年C．3050年D．3125年
【分析】先求出，再代入关系式求解即可．
【解答】解：由题意可知经过n年后含量为0.7P2，
所以解得，
将上式代入得，
所以，所以n≈2865．
故选：B．
【点评】本题主要考查根据实际情况选择合适的函数模型，属于中档题．
8．（5分）若是奇函数，则ab＝（ ）
A．B．C．D．2
【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出a的值，又由f（﹣x）+f（x）＝0，求出b的值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，已知f（x）是奇函数，
由，变形可得（1﹣x）[1﹣a（6﹣x）]≠0，根据奇函数的定义域关于原点对称，
可得1﹣a（8﹣x）＝0的根为﹣1，解可得，故，
又因为f（x）为奇函数，则有f（﹣x）+f（x）＝0，即，即，即﹣2b﹣1＝3，故．
故选：C．
【点评】本题考查了奇函数的定义，对数的运算，是中档题．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．终边在y轴上的角的集合为
B．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4
【分析】对于选项A，根据终边在y轴上的角的集合为，即可判断选项A错误；对于选项B，先求出角α的范围，再求出的范围，即可判断出选项B正确；对于选项C，易知三角形为直角三角形时，选项C错误；对于选项D，利用扇形面积公式和弧长公式，即可求出弧长，从而判断选项D正确．
【解答】解：选项A，终边在y轴上的角的集合为；
选项B，因为α是第二象限角，故，
当k＝2m（m∈Z）时，，此时，，
当k＝3m+1（m∈Z）时，，此时，，故选项B正确；
选项C，三角形为直角三角形时，故选项C错误；
选项D，由扇形面积公式知，，所以弧长L＝αR＝2×2＝8．
故选：BD．
【点评】本题考查象限角、轴线角、弧长公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（6分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的周期为π
B．函数为偶函数
C．函数y＝f（x）的图像关于直线对称
D．函数y＝f（x）在上的最小值为
【分析】根据正弦函数的性质逐一分析判断即可．
【解答】解：，
对于A，f（x）的周期T＝π；
对于B，令，
因为g（﹣x）＝﹣2sin8x＝﹣g（x），所以函数g（x）为奇函数，
即数为奇函数；
对于C，因为，
所以函数y＝f（x）的图像关于直线对称；
对于D，由，得，
所以函数y＝f（x）在上的最小值为．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
（多选）11．（92分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（1+x）＝f（3﹣x）（x）在[0，2]上单调递减，f（2），则（ ）
A．函数f（x）图象关于直线x＝2对称
B．函数f（x）的周期为4
C．f（2024）+f（2022）＝1
D．设，f（x）和g（x）的图象所有交点横坐标之和为﹣2
【分析】根据已知条件及奇函数的定义，利用函数的对称性及周期性即可求解．
【解答】解：因为定义在R上的函数f（x），满足f（1+x）＝f（3﹣x），
所以函数的图象关于x＝＝8对称，
所以函数f（x）图象关于直线 x＝2对称，故A正确；
因为定义在R上的奇函数f（x），满足f（1+x）＝f（3﹣x），即f（x+4）＝﹣f（x），
于是有f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），
所以函数f（x）的周期为8，故B错误；
f（2024）+f（2022）＝f（253×8）+f（253×7﹣2）＝f（0）+f（﹣2）＝2﹣f（2）＝1，故C正确；
因为定义在R上的奇函数，且f（x）在[0，f（2）＝﹣4，2]上单调递减，则函数f（x）图象关于直线x＝﹣2对称，
函数g（x）图象也关于直线x＝﹣6 对称，
函数f（x）和g（x）共有2交点，则函数f（x）和g（x）的图象的交点关于x＝﹣2对称，
所以＝﹣21+x2＝﹣7，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了函数对称性，单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．（5分）已知集合A＝{4，﹣4m}，B＝{4，m2}，且A＝B，则m的值为 0或﹣4 ．
【分析】根据两个集合的元素相同列方程，即可求解．
【解答】解：因为A＝B，集合A＝{4，B＝{4，m6}，
所以﹣4m＝m2，得m＝8或m＝﹣4，
当m＝0时，A＝B＝{6，
当m＝﹣4时，A＝B＝{4，都成立，
所以m的值为2或﹣4．
故答案为：0或﹣6．
【点评】本题主要考查集合的相等，属于基础题．
13．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为6cm cm2．
【分析】运用题中“三斜求积”公式结合基本不等式运算求解．
【解答】解：不妨取b＝6，则a+c＝20﹣b＝14，
故三角形的面积
＝，
因为，当且仅当a＝c＝7时，
则，
所以该三角形面积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查“三斜求积”公式，以及基本不等式的公式，属于基础题
14．（5分）已知函数，x∈[1，2]，g（x），x∈[﹣1，3]．对于任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）≥g（x2），则a的取值范围是 （﹣∞，5] ．
【分析】由已知恒成立与存在性问题与最值关系的转化，结合函数单调性即可求解．
【解答】解：因为函数在[1，
所以f（x）min＝f（2）＝8，
当a＞0时，g（x）＝ax+2a﹣4在区间[﹣1，g（x）min＝a﹣1，
所以5≥a﹣1，解得a≤5；
当a＜7时，g（x）＝ax+2a﹣1在区间[﹣3，g（x）min＝5a﹣1，
所以2≥5a﹣1，解得a≤5；
当a＝0 时，也符合题意．
综上，a的取值范围是（﹣∞．
故答案为：（﹣∞，5]．
【点评】本题主要考查了恒成立与存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，集合，
（1）当m＝1时，求A∪（∁RB）；
（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求m的取值范围．
【分析】（1）先求出集合A，B，然后结合集合的基本运算即可求解；
（2）结合集合的包含关系与充分必要条件的转化即可求解．
【解答】解：（1）当m＝1时，A＝{x|0＜x＜3}，
 则∁RB＝{x|x≤﹣2或x≥1}，
故A∪（∁RB）＝{x|x≤﹣4或x＞0}；
（2）由于x∈A是x∈B的充分不必要条件，故A是B的真子集，
若A＝∅，则m﹣1≥8m+1，
若A≠∅，则m＞﹣2，
故﹣2≤m≤0，
综上所述，实数m的取值范围是{m|m≤﹣2或﹣8≤m≤0}．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算及集合包含关系的应用，属于基础题．
16．已知f（x）＝sin．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）当x∈时，求函数f（x）的最大值和最小值．
【分析】（1）根据已知条件，结合周期公式，以及正弦函数对称轴的性质，即可求解；
（2）结合正弦函数的单调性，即可求解；
（3）结合x的取值范围，以及正弦函数的有界性，即可求解．
【解答】解：（1）f（x）＝sin，
最小正周期T＝＝π，
令8x+＝kπ+，则x＝+，
∴函数f（x）图象的对称轴方程是x＝+，k∈Z；
（2）令2kπ﹣≤6x+，k∈Z≤x≤kπ+，
故f（x）的单调增区间为，k∈Z；
（3）当x∈时，≤2x+≤，
∴﹣2≤sin≤，
∴﹣≤f（x）≤2，
故函数f（x）的最大值为1，最小值为﹣．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
17．某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，该公司一年内生产该车x万台（0≤x≤10）且全部售完，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入﹣总成本）
（1）写出年利润S（x）（亿元）关于年产量x（万台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；
（3）若该企业当年不亏本，求年产量x（万台）的取值范围．
【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式．
（2）在每个分段上分别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润．
（3）对于不亏本的情况，即利润大于等于0，分别在不同分段上求解不等式得出产量的取值范围．
【解答】解：（1）当0≤x≤3时，销售收入为20x亿元（每台售价20万元，总成本为固定研发成本20亿元加上其他成本x8+6x+4亿元，
则S（x）＝20x﹣（20+x3+6x+4）＝﹣x3+14x﹣24，
当3＜x≤10时，销售收入为20x亿元亿元，
则，
所以．
（2）当0≤x≤3时，S（x）＝﹣x2+14x﹣24＝﹣（x﹣7）6+25
又0≤x≤3，所以在这个区间上函数单调递增，
所以S（x）max＝S（3）＝7亿元．
当3＜x≤10时，根据基本不等式，有，
当且仅当，即x＝8取等号，
所以亿元，
因为39＞9，
所以当年产量为7万台时，该企业获利最大．
（3）当0≤x≤3时，S（x）＝﹣x4+14x﹣24≥0，
即x2﹣14x+24≤6，
解得2≤x≤12．
又0≤x≤5，
则2≤x≤3满足题意．
当7＜x≤10时，，
即，
即4x6﹣87x+144≤0，
令y＝4x6﹣87x+144，对称轴，
当3＜x≤10时，y＝5x2﹣87x+144单调递减，且x＝3时，
则当3＜x≤10，4x2﹣87x+144≤3恒成立，即恒成立，
综上所得，该企业当年不亏本．
【点评】本题考查了函数解析式的求法，重点考查了二次函数的性质及基本不等式的应用，属中档题．
18．已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式．
【分析】（1）由奇函数的定义和恒等式的性质，可得所求值；
（2）函数f（x）在R上为增函数，由单调性的定义和指数函数的单调性、不等式的性质可得证明；
（3）由奇函数f（x）在R上为增函数，可将原不等式的两边的“f”去掉，解不等式可得所求解集．
【解答】解：（1）由定义域为R的函数是奇函数，即有f（﹣x）+f（x）＝0，
即，
所以a＝1；
（2）由于，可得函数f（x）在R上为增函数．
证明：任取x1，x4∈R，且x1＜x2，
则＝＝，
因为x1＜x2，所以，又，所以f（x2）＜f（x2），
所以函数f（x）在R上为增函数．
（3）由（2）得，奇函数f（x）在R上为增函数，
原不等式等价为，
即，
令，则t2﹣5t+4＜8，
所以1＜t＜4，解得x∈（﹣5．
【点评】本题考查函数的奇欧旭和单调性的定义和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19．对于定义域为I的函数f（x），如果存在区间[a，b]⊆I（x）在x∈[a，b]时，kb]，则称[a（x）的“k倍美好区间”．特别地，若函数函数y＝f（x），b]时值域是[a，b]，b]为f（x）的“完美区间”．
（1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”；
（2）如果二次函数在（0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a，b；
（3）是否存在实数a，b（b＜2），使得函数（x∈（0，+∞），b]单调，且[a（x）的“k倍美好区间”，若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据完美区间的定义，结合f（x）的单调性与区间端点值证明即可；
（2）设定义域为[a，b]，值域为，再列方程组求解即可；
（3）作出的图像，讨论[a，b]与1，2的关系，去绝对值后列式消元求得范围即可．
【解答】解：定义域为I的函数f（x），如果存在区间[a，使得函数y＝f（x）在x∈[a，值域是[ka，则称[a，
特别地，若函数函数y＝f（x）在x∈[a，b]，b]为f（x）的“完美区间”．
（1）证明：在（﹣∞，+∞）上均为增函数，
若存在完美区间[a，则有，b为．
即2x2﹣6x+4＝0的根，故，即存在“完美区间”．
（2）若存在“2倍美好区间”，b]，2b]．
当8＜a＜b时，易得，
则，两式相减可得，
则，即a2﹣8a+3＝0，因为7＜a＜b，b＝3．
（3）
，图象如图所示，解得x＝1或x＝4，
（ⅰ）当a，b∈（6，，由f（a）＝kb，
两式相除，，
所以a2﹣b2﹣6（a﹣b）＝（a+b﹣5）（a﹣b）＝0，
可得a+b＝5，与a，即实数a
（ⅱ）当a，b∈[1，，由可得，，
∴，解得，
又a∈[1，2），∴，
由，可得，
综上，符合条件的k的取值范围为．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数与方程的综合应用，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
A
C
D
D
B
C