四川省泸州市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑.
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小感，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集定义分析可得.
【详解】由题知，又，所以，所以，即.
故选：D
2. 托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数的定义，逐项判断即可.
【详解】对于A，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，A不是；
对于B，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，B不是；
对于C，集合中的每个元素按对应关系，在集合中都有唯一元素与之对应，C是；
对于D，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，D不是.
故选：C
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式进行计算.
【详解】由，则，
所以.
故选：B
4. 已知实数x，y，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分必要条件定义判断即可.
详解】当,取,可得,充分条件不成立;
,必要条件成立;
故选：B.
5. 已知，，，则a，b，c三者的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的性质判断大小.
【详解】因为，，，故.
故选：C
6. 下列命题的否定是真命题的是（ ）
A. 每个正方形都是平行四边形
B. 是无理数，是无理数
C. ，
D. ，关于x的方程有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】利用相关知识，逐一分析各命题的真假性，从而得到其否定的真假性，由此得解.
【详解】对于A，显然每个正方形都是平行四边形，故该命题是真命题，
所以该命题的否定是假命题，故A错误；
对于B，当时，满足是无理数，但是有理数，故该命题是假命题，
所以该命题的否定是真命题，故B正确；
对于C，当时，满足，此时，故该命题是真命题，
所以该命题的否定是假命题，故C错误；
对于D，对于方程，有恒成立，故该命题是真命题，
所以该命题的否定是假命题，故D错误；
故选：B.
7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求出，然后带入，即可求出15h后还剩污染物的百分数.
【详解】根据题意时，，又在前5h消除了的污染物，
则，
则15h后还剩污染物为，
所以15h后还剩污染物的百分数为.
故选：C
8. 已知函数，若方程的实数解有3个，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先画出函数的图象，并求两个分段函数的最值，根据数形结合分析，得出结果.
【详解】如图，当时，，
当时，有最小值，此时；
当时，单调递增，
若方程的实数解有3个，则y=fx与有3个不同的交点，
则,即.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据奇偶性以及单调性的定义与性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为的定义域为，
且，可知为偶函数，
且在0,+∞上单调递增，可知在0,+∞上单调递减，故A正确；
对于选项B：当时，；当时，；且，
可知在0,+∞上不是单调递减，故B错误；
对于选项C：因为的定义域为R，
且，可知为偶函数，
若，则在0,+∞上单调递减，故C正确；
对于选项D：因为的最小正周期为，可知在0,+∞上不单调，故D错误；
故选：AC.
10. 已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用特值法排除部分答案，剩余选项用不等式性质证明.
【详解】取，a=2，
对C：，不成立，故C错误；
对A：，故A成立；
对B：，因，所以必定成立，即原不等式成立，故B正确；
对D：，因为，故原不等式成立，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数的最小正周期是，则
B. 当时，
C. 当时，函数的对称中心为（）
D. 若函数在区间上单调递增，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正切型函数的性质逐项判断即可.
【详解】函数（），
对于A，的最小正周期，则A正确；
对于B，当时，，，则B正确；
对于C，当时，函数，
，
则其对称中心为，故C错误；
对于D，若函数在区间上单调递增，
则，则，
，又，则D正确；
故选：ABD
12. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ）
A.
B. 为奇函数
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质.
【详解】对A：令x=1，，则，
因为，所以，故A正确；
对B：令x=0得：，结合可得，
所以fx为偶函数，故B错误；
对C：令可得：，因为，
所以，
进一步可得：，
又，，故，
故，依次有,
所以，故C正确；
对D：令可得：;
用代替，得：，
结合C的结果，可得：，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB相对简单，对C，令得到后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对D，用和用代替，是解决问题的关键.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共10个小题，共90分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若幂函数图像过点，则此幂函数的解析式是________
【答案】
【解析】
【分析】设出幂函数的解析式,代入点坐标,即可求得解析式.
【详解】设幂函数的解析式为
因为幂函数图像过点
所以,解得
所以
故答案为:
【点睛】本题考查了幂函数的定义及解析式求法,属于基础题.
14. 已知扇形的圆心角，弧长为，扇形的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式，结合弧长公式进行求解即可.
【详解】设扇形的半径为，因为弧长为，所以，
扇形的面积为：，
故答案为：
15. 若，且，则___________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意结合之间的关系解得，代入运算即可.
【详解】因为，两边平方可得，
解得，
且，可得，，则，
又因为，可得，
联立方程，解得，
所以.
故答案为：2.
16. 已知函数，实数a，b满足且，若在上的最大值为2，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的图象变换求，的值可得结果.
【详解】如图：
因为，且，所以，所以，又函数在递减，
所以：.
故.
，由.
所以：
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）在①；②．这两个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）1,2
（2）0,1.
【解析】
【分析】（1）根据集合的交集运算求解即可.
（2）选择一个条件，根据集合的补集、交集、并集运算即可求得结果.
【小问1详解】
由题当时，，，
所以.
【小问2详解】
若选①，
则由得，又，
则若，
需且，
即实数a的取值范围为.
若选②，
由知，又，
则若需且，
得实数a的取值范围为.
18. 已知函数，其中．
（1）若关于x的方程有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值；
（2）解关于x的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用二次方程的韦达定理即可得解；
（2）分类讨论的取值范围，结合二次不等式的解法即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以由，得，
整理得，
因为方程有两实数根，即有两实数根，
所以，则，
又两实数根之积等于1，所以，解得或（舍去），
经检验，满足要求，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以由，得，
当时，由，解得；
当时，易知无解；
当时，由，解得；
综上，当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为.
19. 已知函数．
（1）若，证明：存在，使成立；
（2）若成立；求实数m的取值范围．
【答案】（1）证明过程见答案；
（2）当时， ；当时， ．
【解析】
【分析】（1）当时，在上单调递增，由零点存在性定理证明即可；
（2）分与两种情况讨论，利用函数单调性将等价转化为解或的不等式即可．
【小问1详解】
当时，在上单调递增，
．
．
由零点存在性定理知：存在，使成立．得证．
【小问2详解】
当时，单调递增，等价于，解得．
当时，单调递减，等价于，解得．
综上：当时， ；当时， ．
20. 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位t小时）的关系为：
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③．
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个．
【答案】（1）,理由见解析；
（2）81
【解析】
【分析】（1）根据题意，函数解析式需满足函数在有定义，且随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，故只有符合.
（2）可选取数据，带入即可计算出，则当时即可求出答案.
【小问1详解】
最符合实际的函数模型为①，
根据图像知函数解析式需满足函数在有定义，所以②不满足，
又随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，所以③不符合，
只有①满足，故最符合.
【小问2详解】
可选取表格中的两组数据为：，
代入得，
则，
当时，，
所以可预测至少需培养81个小时，细菌数量达到5百万个.
21. 已知函数fx=Asinωx+φ（，，，x∈R）的图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）已知函数与函数的图象在上交点的横坐标从小到大依次为，，，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，易得，再由经过点0,1求得，由经过点求得，结合的范围求得，从而得解；
（2）利用整体代入法求得的对称轴，从而结合图象即可得解.
【小问1详解】
依题意，易知，fx=Asinωx+φ经过0,1，
则，即，因为，所以，则，
又经过点，则，即，
所以，则，
又，所以当时，满足要求，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
令，得，
因为，所以在上的对称轴为，
作出与在上的大致图象，如图，
结合图象可知，，，
所以.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
22. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”，已知函数．
（1）证明：函数的图象关于点对称；
（2）若函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意证明即可；
（2）由题意可得：在上的值域是在上的值域的子集，根据题意二次函数分类讨论函数在0,1内单调性，结合对称性以及包含关系分析求解.
【小问1详解】
由题意可知：，且的定义域为，关于对称，
因为，
所以函数的图象关于点对称.
【小问2详解】
设在上的值域为，在上的值域为，由题意可知：，
由（1）可知，
因为，则，可得，
所以，即，
又因为的图象开口向上，对称轴为，则有：
若，即时，可知在0,1内单调递增，
可得，
且函数的图象关于点0,2对称，则，
可知在−1,0的，
可知在的最大值为，最小值为，
可得，且，
满足，即符合题意；
若，即时，可知在内单调递减，在内单调递增，
可得，
且函数的图象关于点0,2对称，则，
可知在−1,0的，
可知在的最大值为，最小值为，
可得或，解得，
且或，解得；
若，即时，可知在内单调递减，在内单调递增，
可得，
且函数的图象关于点0,2对称，则，
可知在−1,0的，
可知在的最大值为，最小值为，
即，则，解得；
若，即时，可知在0,1内单调递减，
可得，
且函数的图象关于点0,2对称，则，
可知在−1,0的，
可知在的最大值为，最小值为，
所以，且，
满足，即符合题意；
综上所述：实数a的取值范围.
【点睛】关键点睛：1.根据二次函数的对称性分类讨论函数在0,1内单调性，进而判断函数在0,1内最值；
2.根据对称性判断在内的最值.
x
2
3
6
9
12
15
y
3.2
3.5
3.8
4
4.1
4.2