四川省达州市达州中学2026届高三上学期入学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省达州市达州中学2026届高三上学期入学考试数学试卷（Word版附解析），文件包含四川省达州市达州中学2026届高三上学期入学考试数学试题原卷版docx、四川省达州市达州中学2026届高三上学期入学考试数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 给出下列关系：① ；② ；③ ；④ 其中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于①， 为实数，而 表示实数集，所以 ，即①正确；
对于②，2 为整数，而 表示整数集合，所以 ，即②正确；
对于③， 为正自然数，而 表示正自然数集，所以 ，所以③错误；
对于④，因为 为无理数， 表示有理数集，所以 ，即④错误.
故选：B.
2. 已知复数 z 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据共轭复数将复数 z 表示出来，再通过复数平面与复数的模的关系即可求出答案.
【详解】由题意，复数 z 满足 ，则
故选:B．
3. 已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
第 1页/共 19页
【分析】由 得到 ，再由向量夹角公式即可求解.
【详解】设 与 夹角为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
故选：D．
4. 已知函数 的图像恒过定点 ，且点 在直线 上，则
的最小值为（ ）
A. 4 B. 1 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得 的关系，然后由基本不等式求得最小值．
【详解】由 得 ，又 ，所以定点为 ，
从而 ，
，当且仅当 时等号成立，
故选：C
5. 已知圆 与圆 相交所得的公共弦长为 ，
则圆 的半径 （ ）
A. B. C. 或 1 D.
【答案】D
第 2页/共 19页
【解析】
【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆 圆心与半径表达式可得答案.
【 详 解 】 与 两 式 相 减 得
，即公共弦所在直线方程.
圆 方程可化为 ，可得圆心 ， 半径 .则圆心 到
的距离为 ，
半弦长为 ，则有 ，解得 或 （舍），此时
故选： .
6. 设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件求得 的值，再由 可求得结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
因此， .
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
7. 已知 分别为曲线 和直线 上的点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断曲线与直线是否存在交点，若存在，则最短距离为 0，若不存在，则当曲线在切点处的斜率
第 3页/共 19页
为 2 时，切点到直线的距离最短.
【详解】令 ，
因 ，则 ，
故曲线 和直线 无交点，
，则 ，令 ，解得 ，
则曲线 上的点 到直线 的距离 ，
则 的最小值为 .
故选：A
8. 用 这 6 个数字可以组成 个无重复数字的六位数，其中偶数有 个，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据排列组合知识求出 ，代入 可得结果.
【详解】从 中任选一个数字排在首位，其余 5 个数字全排可得 ，
排在个位的无重复数字的六位偶数有 个，
不排在个位的无重复数字的六位偶数有 个，
故 .
所以 ．
故选：B
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则（ ）
A. S3，S6﹣S3，S9﹣S6 成等差数列
B. ， ， 成等差数列
第 4页/共 19页
C. S9＝2S6﹣S3
D. S9＝3（S6﹣S3）
【答案】ABD
【解析】
【分析】设等差数列的公差为 d，利用等差数列的求和公式分别求出 S3，S6，S9，然后利用等差中项的定义
判断选项 A，B，利用 S9＝9a1+36d，S6＝6a1+15d，S3＝3a1+3d，即可判断选项 C，D.
【详解】解：因为 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，
设等差数列的公差为 d，则 S9＝9a1+36d，S6＝6a1+15d，S3＝3a1+3d，
则 S3＝3a1+3d，S6﹣S3＝3a1+12d，S9﹣S6＝3a1+21d，
所以 2（3a1+12d）＝（3a1+3d）+（3a1+21d），
则 S3，S6﹣S3，S9﹣S6 成等差数列，故选项 A 正确；
因为 S9＝9a1+36d，S6＝6a1+15d，S3＝3a1+3d，
则 ，
所以 ，
则 ， ， 成等差数列，故选项 B 正确；
因为 S9＝9a1+36d，S6＝6a1+15d，S3＝3a1+3d，
所以 2S6﹣S3＝2（6a1+15d）﹣（3a1+3d）＝9a1+27d，
则 S9≠2S6﹣S3，故选项 C 错误；
因为 S9＝9a1+36d，S6＝6a1+15d，S3＝3a1+3d，
所以 3（S6﹣S3）＝3[（6a1+15d）﹣（3a1+3d）]＝9a1+36d＝S9，
故选项 D 正确.
故选：ABD.
10. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，过点 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C
于 A，B 两点， ，若点 P 是椭圆 C 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
第 5页/共 19页
B. 的面积的最大值为
C. 的取值范围为
D. C 上有且只有 4 个点 P，使得 是直角三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意得 是等边三角形，从而可求得 ，再根据通径可求得 ，即可求得椭圆方程，由
当点 位于上下顶点时， 最大，结合余弦定理即可判断 A；设 ，再根据
即可判断 B；根据数量积的坐标表示结合 的范围，即可判断 C；分别分析以
三个点为直角顶点的直角三角形的个数，即可判断 D.
【详解】解：由题意得 是等边三角形，
所以 的周长为 ，所以 ，
令 ，则 ，
则 ，所以 ，
所以椭圆 ，
对于 A，当点 位于上下顶点时， 最大，
此时 的最小为 ，
故 A 错误；
对于 B，设 ，
则 ，
所以 的面积的最大值为 ，故 B 正确；
对于 C，设 ，
第 6页/共 19页
则 ，所以 ，
又 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D，由 A 选项可知， 最大时为锐角，
所以以点 为直角顶点的 不存在，
以点 为直角顶点的 分别有 2 个，
所以 C 上有且只有 4 个点 P，使得 是直角三角形，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离
是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知 的外心为 ，重心为
，垂心为 ，且 ， ，以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若 ，则
第 7页/共 19页
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，根据三角形重心的向量性质及向量的加减法求得结果；对于 B，根据三角形的外心性质结
合向量的数量积求得结果；对于 C，由欧拉线定理得 ，即 ，结合三角形重心的向量
性质进行计算即可；对于 D，利用正余弦定理及向量的数量积公式进行计算.
【详解】对于 A， 的重心为 ，有 ，且 ， ，
故 ，故 A 正确.
对于 B， 的外心为 ，有
，故 B 错误；
对于 C，由欧拉线定理得 ，即 ，又 ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D，因为 ， ， ，
所以由余弦定理
又 ，所以 ，如图， ，
由正弦定理可得 ，所以 ，
则 ，故 D 正确.
故选：ACD.
第 8页/共 19页
【点睛】方法点睛：
三角形的三条垂直平分线交于一点，即为外心，外心是三角形外接圆的圆心.
（1） ；
（2） ， ；
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 是偶函数，当 时， ，且 ，则 __________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据偶函数的性质可知，
【详解】因为 是偶函数，所以 ，解得 .
故答案为：2
13. △ 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
，则△ 的面积为________．
【答案】 .
【解析】
【分析】方法一：由正弦定理可得 ，化简求得 ，利用余弦
定理，结合题中的条件，可以得到 ，由 为锐角，求得 ， ，利用三角
形面积公式即可解出.
【详解】［方法一］：【最优解】边化角
因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ．又因为 ，
由余弦定理 ，可得 ，
所以 ，即 为锐角，且 ，从而求得 ，
第 9页/共 19页
所以 的面积为 .
故答案为： .
［方法二］：角化边
因为 ，由正弦定理得 ，即 ，又
，所以， ．又因为 ，
由余弦定理 ，可得 ，
所以 ，即 为锐角，且 ，从而求得 ，
所以 的面积为 .
故答案为： .
【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出 ，再结合余弦定理求出 ，即可求出面积，该法
是本题的最优解；
方法二：利用正弦定理边化角，求出 ，再结合余弦定理求出 ，即可求出面积．
14. 已知点 P 是椭圆 上一动点，过点 P 作 的切线 PA、PB，切点分别为
A、B，当 最小时，线段 AB 的长度为________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合四边形 面积分析可知当且仅当点 P 为左顶点时， 取到最小值 ，
进而可得线段 AB 的长度.
【详解】由椭圆方程可知： ，
圆 的圆心为 （也为椭圆的左焦点），半径 ，
第 10页/共 19页
因为 ，可知四边形 的面积 ，
当 最小时，即为四边形 的面积 最小，
又因为 ，
可知当 取到最小值时，四边形 的面积 最小，即 最小，
且点 P 是椭圆 上一动点，
由椭圆性质可知：当且仅当点 P 为左顶点时， 取到最小值 ，
此时 ，由对称性可知： ，
即 ， 等边三角形，则 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，已知单位圆 与 轴正半轴交于点 ，点 在单位圆上，其中点 在第一象限，且
，记 ．
（1）若 ，求点 的坐标；
第 11页/共 19页
（2）若点 的坐标为 ，求 的值．
【答案】（1） 两点坐标分别为 ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义结合条件即得；
（2）由题可得点 的坐标为 ，然后结合条件及三角函数的定义即得.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ，所以点 坐标为 ,
因为 ，
所以 ，
所以点 坐标为 ；
所以 两点坐标分别为 ；
【小问 2 详解】
由 点在单位圆上，得 ，
又点 位于第一象限，则 ，
所以点 的坐标为 ，
即 ．
第 12页/共 19页
所以 ，
所以 ．
16. 已知函数 .
（1）求 ；
（2）若曲线 在 处的切线与曲线 也相切，求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法求解原函数即可.
（2）利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切线方程，再结合给定条件求解参数即可.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
即 ，故 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 在 处的切线方程
为 ，即 ，
设 在 处切线为 ，
因为 ，所以 ，化简得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，故 值为 .
17. 如图，在直三棱柱 中，AB⊥AC， ，点 E，F 分别为棱 AB、 的
中点．
第 13页/共 19页
（1）求直线 与直线 AF 的夹角的余弦值；
（2）求点 F 到平面 的距离．
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1）以点 A 为坐标原点，AB、AC、 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，利用空
间向量法可求得直线 与直线 AF 的夹角的余弦值；
（2）求得平面 的法向量，利用空间向量法可求得点 F 到平面 的距离.
【小问 1 详解】
因为 丄平面 ABC，AB⊥AC，以点 A 为坐标原点，AB、AC、 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如下
图所示的空间直角坐标系，
因为 ，则 A(0,0,0)、 、E(1,0,0)、F(1,0,2)，
所以， ， ，
第 14页/共 19页
，
所以，直线 与直线 AF 的夹角的余弦值为 ．
【小问 2 详解】
易知 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 x=2，可得 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
且 ，所以，点 F 到平面 的距离为 ．
18. 已知 是椭圆 的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原点．
（1）若 为等边三角形，求 C 的离心率；
（2)如果存在点 P，使得 ，且 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围.
【答案】(1) ；（2） ，a 的取值范围为 .
【解析】
【分析】（1）先连结 ，由 为等边三角形，得到 ， ， ；再由
椭圆定义，即可求出结果；
（2）先由题意得到，满足条件的点 存在，当且仅当 ， ，
，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】（1）连结 ，由 为等边三角形可知：
在 中， ， ， ，
于是 ，
第 15页/共 19页
故椭圆 C 的离心率为 ；
（2）[方法一]【椭圆的定义+基本不等式】
由题意可知 ，且 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
又因为 ，且 ，所以 ，从而 ，故 ，所以 ，a
的取值范围为 ．
[方法二]【最优解：椭圆的定义+余弦定理】
由题意有 则 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立．
此时 P 为短轴端点， ，且满足 ．
即当 时，存在点 P，使得 ，且 的面积等于 16．
故 ，a 的取值范围为 ．
[方法三]【余弦定理+面积公式】
设 ，对椭圆上任一点 P，设 ，
由余弦定理有 ，所以 ，
即 ．则 ．
又 ，即 ．
由于 ，则以 O 为圆心， 为直径的圆必与椭圆 C 有公共点，
即半焦距 ，故 ．
综上， ，a 的取值范围为 ．
第 16页/共 19页
【点睛】(2)方法一：椭圆的定义是解决焦点三角形的核心，基本不等式是处理最值与范围问题的常用方法；
方法二：椭圆的定义和余弦定理相结合是处理焦点三角形最典型的方法；
方法三：余弦定理和面积公式是处理面积问题的经典方法，处理最值、范围问题时常用此方法.
19. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 6 个红球和 4 个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位
参与者进行 次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球
后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为 X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不
放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为 Y．
（1）若 ，
（ⅰ）求随机变量 Y 的分布列和数学期望；
（ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为 ，
无放回摸球中奖概率为 ，求 和 并比较它们大小．
（2）若 ，当 取得最大时的 k 值满足 （ ， ），若函数 与
有两个不同的公共点，求 a 的取值范围．
【答案】（1）（ⅰ）分布列见解析， ；（ⅱ） ， .
（2）
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）根据题意可知 Y 服从超几何分布，根据数学期望计算即可；
（ⅱ）根据题意可知 ，分别求出 和 再比较它们大小即可；
（2）根据题意列出 进行计算出 ，再根据函数的导函数求出 a 的取值范围.
【小问 1 详解】
（ⅰ）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， 可取 0，1，2，3，4，
，
； ； ；
第 17页/共 19页
； ；
服从超几何分布， 的分布列为：
0 1 2 3 4
，所以 ；
（ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，
设有放回摸球中奖概率为 ，无放回摸球中奖概率为 ，
对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立， ，
则 ； ；
；
故 ，
由（ⅰ）可知 ，
因为 ，所以 ；
【小问 2 详解】
当 ，则 ，若 最大，则 ，
即 ，得
又 ， ，
故 ， ，由题得方程 有两个不相等的正实根，
第 18页/共 19页
两边取对数得 有两个不相等的正实根，
构造函数 ，求导得 ，
令 ，解得 ；
当 时， ；当 时， ；
易知 在 单调递增，在 单调递减，且 ，
可知 的图象如下图所示：
由数形结合得， ，所以 .
第 19页/共 19页