江苏省四校2026届高三上学期模测数学试卷含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.现有一组数据:2,2,3,5,如果添加一个数据 3,那么不发生变化的统计量是
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数
2.若 ,则 的值为 ( 为虚数单位)
A. 1 B. C. D. 2
3.若集合 ,那么
A. B. C. D.
4.不等式 的解集为
A. B. C. D.
5.在三角形 中， ， 为 的中点， ，则线段 长度的最大值为
A. 1 B. C. D. 2
6.设抛物线 的焦点为 ,一条平行于 轴的光线从点 射出,经过抛物线上的点 反射后,再经抛物线上的另一点 射出,则 的周长为 (已知: 过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴; 反之, 平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点)
A. B. C. 13 D. 15
7.已知数列 的前 项和为 ,若 ,且 ,则
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
8.已知函数 的图象与过原点的直线恰有四个交点,设四个交点中横坐标最大值为 ,则 的值为
A. 2 B. -1 C. 1 D. -2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.记等比数列 的前 项和为 ,已知 ,公比为 -2,则
A. 是等比数列 B. 是等差数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
10.设函数 ,则
A. 是 的极小值点 B.
C. D.
11.已知动点 是双曲线 上的点，点 是 的左、右焦点， 是双曲线 的左、右顶点,下列结论正确的是
A. 双曲线 的离心率为
B. 点 在双曲线的左支时, 的最大值为
C. 点 到两渐近线的距离之积为定值
D. 若 是 的面积,则 为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知向量 ，若 与 垂直，则实数 ________.
13.已知函数 的定义域为 ,且 ,则 _______.
14.已知正四棱锥 的高为3,侧面与底面所成的角为 ,球 与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切,依次在该正四棱锥内放入球 ,使得球 与该正四棱锥的四个侧面均相切,且球 与 外切,则球 的表面积为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.设向量 ,函数
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)已知当 时，函数 的最小值是 -2，求 的最大值 .
16.已知椭圆 过点 ，且焦点为 ，直线 与椭圆交于不同的两点 ,且不过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求证:直线 与 轴总围成一个等腰三角形.
17.如图所示，在多面体 中，底面 是边长为 2 的菱形，四边形 是矩形,平面 平面 和 分别是 和 的中点.
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求二面角 的大小.
18.已知 .
(1)若 ，求 在 上的最大值；
( 2 )若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
(3)证明: .
19.已知:在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位且向四个方向移动的概率均为 .
(1)设第 2 秒末，粒子移动到点 ，记 的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ;
(2)记第 秒末粒子回到原点的概率为 .
(i) 已知 ,求 以及 ;
(ii) 令 为数列 的前 项和,已知 ,证明: 对任意实数 ,存在 ,使得 .