广东省广州市荔湾区第一中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份广东省广州市荔湾区第一中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列事件中，必然事件是（ ）
A. 掷一枚硬币，正面朝上
B 任意三条线段可以组成一个三角形
C. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
D. 抛出的篮球会下落
3. 将抛物线y = x2平移得到抛物线y = （x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ）
A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位
C. 向上平移2个单位D. 向下平移2个单位
4. 关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（ ）
A. 图象经过点B. 图象分别位于第一、三象限
C. 图象关于原点对称D. 当时，y随x的增大而增大
5. 已知⊙O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 不能确定
6. 一个袋子中装有6个红球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同. 在看不到球条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 二次函数与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 只有一个交点B. 有两个交点C. 没有交点D. 有三个交点
8. 如图，点O是正五边形ABCDE中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A. 30°B. 32°C. 36°D. 40°
9. 如图，△ABC中，∠BAC=30°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点CD，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是( )
A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°
10. 对称轴为直线的抛物线(为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11. 点关于原点对称的点的坐标是_____．
12. 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为__________．
13. 若一个圆锥的底面半径为3，母线长4，则圆锥的侧面积是______．（结果保留）
14. 如图，在中，已知，，，以点C为圆心，为半径圆交于点D，则的长为__________．
15. 如图，是等腰三角形，过原点O，底边轴，双曲线过A，B两点，过点C作轴交双曲线于点D，若，则k的值是__________．
16. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 _____．
三、解答题（本大题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知关于x的反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当时，求y的取值范围．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的三个顶点坐标分别是，，，将绕按顺时针方向旋转.
（1）写出点，的坐标.
（2）求旋转过程中点A经过的路径长.
19. 如图，四边形内接于，E为延长线上的一点，点C为的中点．若，求的度数．
20. 在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
（1）随机从箱子里取出个球，则取出黄球的概率是多少？
（2）随机从箱子里取出个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的是不同颜色球的概率．
21. 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
22. 如图，已知是的直径，C是上的点，点D在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值．
2022-2023学年广东省广州一中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行分析即可.
【详解】A、不是中心对称图形．故A选项错误；
B、不是中心对称图形．故B选项错误；
C、是中心对称图形．故C选项正确；
D、不是中心对称图形．故D选项错误．
故选C．
【点睛】考点：中心对称图形．
2. 下列事件中，必然事件是（ ）
A. 掷一枚硬币，正面朝上
B. 任意三条线段可以组成一个三角形
C. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
D. 抛出的篮球会下落
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A．掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A错误；
B．在同一条直线上的三条线段不能组成三角形，故B错误；
C．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故C错误；
D．抛出的篮球会下落是必然事件．
故选D．
【点睛】此题考查了随机事件、必然事件以及不可能事件，解题的关键是理解它们的概念，一定条件下可能发生可能不发生的事件为随机事件，一定发生的事件为必然事件，一定不发生的事件为不可能事件．
3. 将抛物线y = x2平移得到抛物线y = （x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ）
A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位
C. 向上平移2个单位D. 向下平移2个单位
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据抛物线的平移规律即可得答案，故答案选A．
考点：抛物线的平移规律．
4. 关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（ ）
A. 图象经过点B. 图象分别位于第一、三象限
C. 图象关于原点对称D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】依据反比例函数图象的性质作答．
【详解】解：A．当时，代入反比例函数得，，正确，故本选项不符合题意；
B．，图象位于第一、三象限，正确，故本选项不符合题意；
C．反比例函数的图象是双曲线，图象关于原点成中心对称，正确，故本选项不符合题意；
D．，在第一、三象限内y随x增大而减小，所以当时，y随x的增大而减小，原说法错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
5. 已知⊙O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求得的长为5，根据即可判断点P与⊙O的位置关系,当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：∵圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），
∴
⊙O半径为4，
点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外
故选C
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：①点P在⊙O上；②点P在⊙O内；③点P在⊙O外，求得点到圆心的距离是解题的关键．
6. 一个袋子中装有6个红球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同. 在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是=．
故选B．
考点：概率公式．
7. 二次函数与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 只有一个交点B. 有两个交点C. 没有交点D. 有三个交点
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，当y=0时，判断方程的根的情况，可确定与x轴交点的个数，当x=0,可确定与x轴的交点即可解答．
【详解】解：当时，方程为，
∵，，，
∴，
∴二次函数的图象与x轴有一个交点
当x=0时,可得y=9,即(0,9)
∴二次函数图象与y轴有一个交点(0,9)
∴二次函数与坐标轴有两个交点
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，分与x轴和y轴的交点两种情况是解答本题的关键．
8. 如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A. 30°B. 32°C. 36°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】连接OA，OE，由圆的内接正多边形先得到中心角的度数，再由圆周角定理即可求得∠ADE的度数．
【详解】
如上图所示，连接OA，OE
∵五边形ABCDE是正五边形
∴
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形及圆周角定理，熟练掌握相关角度的计算方法是解决本题的关键．
9. 如图，△ABC中，∠BAC=30°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点CD，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是( )
A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质得出AD=AC，∠DAE=∠BAC=30°，求出∠DAE=∠CAE=30°，再求出∠DAC的度数即可．
【详解】∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC=30°，
∴AD=AC，∠DAE=∠BAC=30°，
∵AE垂直平分CD于点F，
∴∠DAE=∠CAE=30°，
∴∠DAC=30°+30°=60°，
即旋转角度数是60°，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和旋转的性质，能求出∠DAE=∠CAE=30°是解此题的关键．
10. 对称轴为直线的抛物线(为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥．
【详解】解：①由图象可知：，
∵对称轴为直线：，
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确；
③∵对称轴为直线，则与的函数值相等，
∴当时，，故③错误；
④当时，，
∴，故④正确；
⑤当时，取到最小值，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确，
⑥当时，y随的增大而减小，故⑥错误，
综上，正确的是②④⑤共3个，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11. 点关于原点对称的点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．
12. 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积的计算即可．
【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积的，
估计黑色部分的总面积约为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13. 若一个圆锥的底面半径为3，母线长4，则圆锥的侧面积是______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的底面半径为3，母线长为4，直接利用圆锥的侧面积公式代入求解即可．
【详解】解：根据圆锥的侧面积公式：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键．
14. 如图，在中，已知，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，作于E，在中利用30度直角三角形的性质即可求出，再根据垂径定理可以求出．
【详解】解：如图，作于E．
∵，，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据垂径定理添加辅助线，记住直角三角形30度角性质，属于基础题，中考常考题型．
15. 如图，是等腰三角形，过原点O，底边轴，双曲线过A，B两点，过点C作轴交双曲线于点D，若，则k的值是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】过点A作于点E，设点，则点，根据△ABC是等腰三角形，可得BC=4a，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作于点E，
设点，则点，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
∵底边轴，
∴点C的坐标为，
∵轴，
∴点D的横坐标为，
∴点D的纵坐标为，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：6
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出和的长度是解决本题的关键．
16. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，由EG＝2，确定在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE， 再证明（SAS）， 可得可得当三点共线时，最短，则最短，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，由EG＝2，可得在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，
∵正方形ABCD，
∴

∴
∵DE=DF，
∴（SAS），
∴
∴当三点共线时，最短，则最短，
∵位BC 中点，
∴
此时
此时
所以CF的最小值为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知关于x的反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当时，求y的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把点代入反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）由当时，，当时，，再结合反比例函数的增减性可得答案．
【小问1详解】
解：∵关于x的反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴这个反比例函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：∵当时，，
当时，，
∵，
∴在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴当时，y的取值范围是．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数的增减性是解本题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的三个顶点坐标分别是，，，将绕按顺时针方向旋转.
（1）写出点，的坐标.
（2）求旋转过程中点A经过的路径长.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】(1)利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，，根据点的位置写出坐标即可；
(2)利用弧长公式即可求解．
小问1详解】
解：如图：即为所求：
，，
，，
点，；
【小问2详解】
解：，，
旋转过程中点A经过的路径长为：
．
【点睛】本题考查了作图−旋转变换，求弧长公式，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
19. 如图，四边形内接于，E为延长线上的一点，点C为的中点．若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据点C为的中点，可得，即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵点C为的中点．
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到是解题的关键．
20. 在一个不透明箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
（1）随机从箱子里取出个球，则取出黄球的概率是多少？
（2）随机从箱子里取出个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的是不同颜色球的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）已知由在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，利用概率公式求解即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出不同颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：∵在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别
∴随机地从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是；
【小问2详解】
取出后放回，画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次取出不同颜色球的有6种情况，
∴两次取出相同颜色球的概率为：．
【点睛】本题主要考查概率公式、树状图或列表法，属于基础的概率应用题，难度不大．解题的关键是正确得出所有的等可能结果，即把握住取后放回的题干信息．
21. 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大，最大利润2640元．
【解析】
【分析】（1）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式；
（2）借助（1）中解析式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【小问1详解】
解：由题意得：，
每本进价40元，且获利不高于，
即最高价为52元，即，
故：，
，
【小问2详解】
解：，
当时，随的增大而增大，
而，所以当时，有最大值，最大值为2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大，最大利润2640元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题的关键是掌握最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
22. 如图，已知是的直径，C是上的点，点D在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，可得，由于是的直径，可得，从而得到，即可；
（2）设的半径为r，则，由于，可得到，，再求出，分别计算的面积以及扇形的面积即可求出阴影部分面积．
【小问1详解】
证明∶如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
设的半径为r，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
过点O作于点E，
∴，
∴，
∵，
∴阴影部分面积为．
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3），的最大值为
【解析】
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）设抛物线的表达式为：，再把点代入，即可求解；
（3）先求出直线的表达式，然后过点P作y轴的平行线交于点H，根据，可得，设点 ，则点，可得的长，再根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点B坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴点；
【小问2详解】
解：设抛物线的表达式为：，
把点代入得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
【小问3详解】
解：∵直线过点，
∴可设其函数表达式为：，
将点代入得：
解得：，
故直线的表达式为：，
过点P作y轴的平行线交于点H，
∵，
，
∵轴，
，
∴，
∵，
∴，
设点 ，则点，
∴，
∵ ，
∴有最大值，当时，其最大值为，
此时点．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、等腰直角三角形的性质、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示，是本题解题的关键