广东省广州市荔湾区第一中学2024-2025学年九年级上学期数学期末测试卷

这是一份广东省广州市荔湾区第一中学2024-2025学年九年级上学期数学期末测试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别；根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
A选项图形不是中心对称图形是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意，
D选项图形是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意，
故选：C．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；根据二次函数的顶点式，顶点坐标为，即可解答．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B．
3．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可.
【详解】解：原方程等式两边同时加上一次项系数一半的平方得，，整理后得，
，故选择D.
【点睛】本题考查了配方法的概念.
4．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（ ）
A．5B．C．3D．
【答案】D
【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．
【详解】设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r-1，
∵OD⊥AB，AB=4，
∴AC=AB=2，
在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，
∴r2=22+（r-1）2，
r=，
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．
5．如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（ ）
A．75°B．70°C．65°D．60°
【答案】A
【分析】由旋转的性质可得，，由此即可求出，由平行线的性质求出，即可得到答案．
【详解】解：由旋转的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知旋转的性质是解题的关键．
6．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据切线的性质和切线长的性质定理，即可求解．
【详解】∵，是的切线，是的直径，
∴∠CAP=90°，PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵，
∴∠PAB=∠CAP-=75°，
∴=180°-75°-75°=30°．
故选B．
【点睛】本题主要考查切线的性质和切线长的性质定理，掌握上述定理，是解题的关键．
7．已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a＞﹣2C．a＞1且a≠0D．a＞﹣1且a≠0
【答案】D
【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．
【详解】解：∵一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，且a≠0，
解得：a＞﹣1且a≠0，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0．
8．妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意画出树形图，即可求出在这两个路口都直接通过的概率．
【详解】解：由题意画树形图得，
由树形图得共有4种等可能性，其中在这两个路口都直接通过的概率是P=．
故选：A
【点睛】本题考查了列表或画树形图求概率，理解题意，正确列表或画树形图得到所有等可能的结果是解题关键．
9．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，由旋转得AD=AC，可求出 ,由圆周角定理得得 ，由三角形外角的性质得 由垂径定理得EF=2，根据勾股定理得，根据求解即可．
【详解】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，
则，
由旋转得，
∴∠，
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
∴
∵
∴∠
∴∠
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键．
10．如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（ ）
A．①④⑥B．②⑤⑥C．②③⑤D．①⑤⑥
【答案】B
【分析】观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ，可得到 ；进而得到 同号，再有抛物线开口向上，与 轴交于负半轴，可得 ， ，从而得到 ；再由抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0），可得线与轴的另一个交点为；然后根据抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），可得抛物线与直线只有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根；再由观察图象得：当 时， ，根据抛物线的增减性，可得：；最后根据观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方，可得不等式的解集为，即可求解．
【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，故①错误；
∵，
∴，即 同号，
∵抛物线开口向上，与 轴交于负半轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0），
∴抛物线与轴的另一个交点为 ，故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），
∴当时 ， ，
即抛物线与直线只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故④错误；
观察图象得：当 时， ，
在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势，
即此时 随 的增大而增大，
又当 时， ，
∴，故⑤正确；
观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方，
∴不等式的解集为，故⑥正确；
∴正确的有②⑤⑥．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题
11．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则 ．
【答案】4
【分析】根据根与系数的关系直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，
故答案为：4；
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握．
12．从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 ．
【答案】/0.4
【分析】先确定无理数的个数，再除以总个数．
【详解】解：，是无理数，
（恰好是无理数）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键．
13．平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则= ．
【答案】2
【分析】直接利用关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出m，n的值．
【详解】解：∵点，关于原点对称，
∴，
解得，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
14．若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话次，设这些朋友一共人，则可列方程： ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程解实际应用，准确找到等量关系是解题的关键．根据等量关系列出方程即可得到答案．
【详解】解：设这些朋友一共人，
根据题意得，．
故答案为：.
15．已知二次函数，则当时，的最大值与最小值的差为 ．
【答案】//
【分析】首先根据二次函数的性质得到开口向上，对称轴为，然后将和代入求解即可．
【详解】∵二次函数，
∵，
∴开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∴当时，
∴当时，y取得最小值，即，
∵当时，即，
当时，即，
∴当时，y取得最大值4，
∴，
∴的最大值与最小值的差为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
16．如图，在半径为的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题；连接，，，取的中点，连接，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出点在以为半径的上运动，当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，进而勾股定理求得，即可求解．
【详解】连接，，，取的中点，连接，，
是的中点，
，
，
点在以为半径的上运动，
当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，
，，
，
，
的最大值为，
故答案为：.
三、解答题
17．解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程，先整理原式为，再运用配方法进行解方程，即可作答．
【详解】解：，
，
，
，
或，
，.
18．如图，是的外接圆，，，求的半径．
【答案】
【分析】本题考查了圆综合．熟练掌握圆内接四边形性质，圆周角定理推论，解三角形相关计算，是解题的关键．
连接并延长，交于点，连接，根据圆内接四边形性质得，根据，得，即得．
【详解】连接并延长，交于点，连接，则，
，，
，
在中，
，
的半径为．
19．图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上
（1）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后所得到的△A1BC1；
（2）画出将△ABC向右平移6个单位后得到的△A2B2C2；
（3）在（1）中，求在旋转过程中△ABC扫过的面积．
【答案】（1）（2）如图所示见解析；（3）4π+2．
【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点位置，即可画出图形；
（2）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出图形；
（3）根据△ABC扫过的面积等于扇形BCC1的面积与△A1BC1的面积和，列式进行计算即可．
【详解】（1）如图所示，△A1BC1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）由题可得，△ABC扫过的面积==4π+2．
【点睛】考查了利用旋转变换依据平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．求扫过的面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
20．二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
(1)小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________．
(2)小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案；
（2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是，
故答案为：；
（2）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种，
所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为．
【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键．
21．如图，为的直径，为的弦，平分，交于点，，交的延长线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，的半径为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先连接，结合角平分线的定义以及等边对等角，得出，再根据，即可作答．
（2）先作，垂足为，运用证明，再运用勾股定理算出，即可作答．
【详解】（1）解：连接，如图1所示：
平分，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
直线是的切线；
（2）解：作，垂足为，如图2所示：
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在中，，
．
22．某家禽养殖场，用总长为的围栏靠墙（墙长为）围成如图所示的三块矩形区域，矩形与矩形面积相等，矩形面积等于矩形面积的二分之一，设长为，矩形区域的面积为．

(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？
(3)现需要在矩形和矩形区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值，（元）
(3)
【分析】（1）根据题意可得，则，最后根据矩形面积公式，即可进行解答；
（2）将（1）中得到的表达式化为顶点式，即可进行解答；
（3）先分别求出矩形和矩形的面积，再求出总费用w，结合w关于x的函数图象，即可得出x的取值范围．
【详解】（1）解：题意得，，
．
∴．
∴．
（2）解：
∵，开口向下，对称轴且，
∴当时，有最大值，（元）
（3）解：矩形，
矩形面积，
∴，
整理得：，
设，
如图，画出w关于x的函数图象．

由图可知，当或时，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出表达式，熟练掌握二次函数相关知识点，并灵活运用．
23．如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与直线交于，两点．
(1)直线经过定点，直接写出点的坐标；
(2)求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，涉及了一元二次方程根与系数的关系以及二次函数与面积问题等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据即可求解；
（2）作轴交直线于D，设E、F点的横坐标分别为，则为方程的两根，可推出；根据，，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
为任意不为的实数，
，，
解得，，
直线经过定点，；
（2）解：设、的横坐标分别为，，
则，为方程的两根，
整理得，
，，
，
当时，有最小值，最小值为，
当时，，
解得，，
则，
作轴交直线于点，如图，则，
，
的最小值为．
24．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点．
(1)求证：是的切线；
(2)若点、的坐标分别为，，求的半径；
(3)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论；
（2）连接，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）作，得到四边形是矩形，得到，根据垂径定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即是的切线；
（2）解：连接，设的半径为，
∵，，
∴，
在中，，
则，
解得， ，
即的半径为；
（3）解：．
证明：作于，则，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，进行的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
25．如图，抛物线过点，且与直线交于B、C两点，点B的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线上方的一点，过点D作轴交直线于点E，点P为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式；（2）的最小值为；（3）点Q的坐标：、．
【分析】（1）将点B的坐标为代入，，B的坐标为，将，代入，解得，，因此抛物线的解析式；
（2）设，则，，当时，有最大值为2，此时，作点A关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点P．，此时最小；
（3）作轴于点H，连接、、、、，由，，可得，因为，，所以，可知外接圆的圆心为H，于是设，则，或，求得符合题意的点Q的坐标：、．
【详解】解：（1）将点B的坐标为代入，
，
∴B的坐标为，
将，代入，
解得，，
∴抛物线的解析式；
（2）设，则，
，
∴当时，有最大值为2，
此时，
作点A关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点P．
，此时最小，
∵，
∴，
，
即的最小值为；
（3）作垂直对称轴于点H，连接、、、，
∵抛物线的解析式，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
可知外接圆的圆心为H，
∴
设，
则，
或
∴符合题意的点Q的坐标：、．
【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．