2024-2025学年广东省广州市越秀区八年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市越秀区八年级上学期期末数学试卷（含答案），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在以下四个图形中，轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若分式x3x+5有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠0B．x＞-53
C．x≠-53D．x＞-53且x≠0
3．（3分）若n边形的内角和与它的外角和相等，则n的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（3分）等腰三角形有两条边长分别为3和7，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．13B．17C．13或17D．无法判断
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2•2a3＝6a6
B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．（6ab+a）÷a＝6b
D．（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3
6．（3分）已知图中的两个三角形全等，则a+b﹣c是（ ）
A．3B．4C．5D．7
7．（3分）如图，△ABC中，AB+AC＝8，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧相交于点P，AP交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE＝4，那么△ABC的面积是（ ）
A．10B．16C．24D．32
8．（3分）已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
9．（3分）形如x2+8x＝33的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积33+4×22＝49，则该方程的正数解为7﹣2×2＝3．羊羊同学按此方法解关于x的方程x2+mx＝64（m＞0）时，构造出如图2所示面积为100的大正方形，则该方程的正数解为（ ）
A．8B．6C．4D．3
10．（3分）根据下列条件，能画出唯一一个△ABC的是（ ）
A．AB＝4，BC＝6，∠A＝120°
B．AB＝1，BC＝2，AC＝3
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）用科学记数法表示数：0.000567＝ ．
12．（3分）方程2x-3=3x的解为 ．
13．（3分）已知M（a﹣2，b﹣1）关于x轴对称的点为N（4，2），则ab＝ ．
14．（3分）如图，把R1、R2、R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2+IR3．当R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5时，则U的值为 ．
15．（3分）已知AD是△ABC的高，AC＝BC，∠CAD＝50°，则∠B的度数为 ．
16．（3分）如图，∠BAC＝∠ABC＝∠ADC＝45°，∠ACD＝α（0°＜α＜90°），连接BD．给出下列四个结论：
①当α＝20°时，∠BCE＝70°；
②当∠DAC＝2∠ACD时，BD平分AC；
③点P为直线DE上一点，当PA+PB最小时，∠CAP＝α﹣45°；
④若CD＝9，△ACD的面积为18，则△BCD的面积为452；
其中正确的是 .（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）计算：3x•2x﹣x3y÷xy．
18．（4分）如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB＝DC，求证：∠A＝∠D．
19．（6分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，5），B（1，3），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）已知P为y轴负半轴上一点，若△PCC1的面积为12，则点P的坐标为 ．
20．（6分）已知A=(a-2ab-b2a)⋅aab-b2．
（1）化简A；
（2）若a＝2b，求A的值．
21．（8分）如图，AM平分∠BAC，BC边的垂直平分线l分别交AC，BC，AM于点E，F，G．
（1）尺规作图：作BC的垂直平分线l，并标出点E，F，G（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接BE，若∠AGE＝∠C，求证：AG垂直平分BE．
22．（10分）羊羊同学对教材中用图形的面积说明平方差公式和完全平方公式的内容很感兴趣．他继续钻研，开展数学活动．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l，过A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．设AD＝a，CD＝b，AC＝c，记四边形ADEB的面积为S．
（1）用含c的式子△ABC的面积： ；
（2）羊羊查阅相关资料，知道S=12(AD+BE)⋅DE.请用含a，b的式子表示S；
（3）羊羊又发现S还可以用三个三角形的面积相加来计算．按照这个思路，结合问题（2），你能得到a，b，c之间满足怎样的等量关系呢？请说明理由．
23．（10分）甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务．甲队计划前18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成；乙队计划一半的时间每天施工m千米，另一半的时间每天施工n千米．
（1）当n＝2m时，甲队恰好6天完成任务，求m的值；
（2）如果按照各自施工计划，甲队和乙队谁更早完成施工任务？请说明理由．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的动点（点D与点B，C不重合），连接AD，作△ABD关于AD对称的△AED，设∠ADB＝α．
（1）当DE平分∠ADC时，
①求α的值；
②求证：BD＝AD+CD；
（2）若点E与点C不重合，连接CE，当CE＝AD时，求α的值．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D和点E分别是AB边和CB边上的动点（点D不与A，B重合），AD＝2BE．连接DE，以DE为边向左上方作等边△DEF，连接FC，设BE＝a．
（1）用含有a的式子表示线段BD的长；
（2）记△CEF的面积为S1，△BDE的面积为S2，求S1S2的值；
（3）连接FB，当△FCB的周长最小时，求a的值．
2024-2025学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1．（3分）在以下四个图形中，轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
2．（3分）若分式x3x+5有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠0B．x＞-53
C．x≠-53D．x＞-53且x≠0
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得：3x+5≠0，
解得：x≠-53．
故选：C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是：分母不为零是解题的关键．
3．（3分）若n边形的内角和与它的外角和相等，则n的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先求出n边形的内角和（n﹣2）×180°，外角和是360°，再根据n边形的内角和与它的外角和相等得（n﹣2）×180°＝360°，由此解出n即可．
【解答】解：∵n边形的内角和（n﹣2）×180°，外角和是360°，
又∵n边形的内角和与它的外角和相等，
∴（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了n边形的内角和与外角和定理，解决问题的关键是熟练掌握n边形的内角和（n﹣2）×180°，外角和是360°．
4．（3分）等腰三角形有两条边长分别为3和7，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．13B．17C．13或17D．无法判断
【分析】分两种情况：当等腰三角形腰长为3，底边长为7时；当等腰三角形腰长为7，底边长为3时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形腰长为3，底边长为7时，
∵3+3＝6＜7，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形腰长为7，底边长为3时，
∴等腰三角形的周长＝7+7+3＝17；
综上所述：该等腰三角形的周长是17，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2•2a3＝6a6
B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．（6ab+a）÷a＝6b
D．（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：3a2•2a3＝6a5，故选项A错误，不符合题意；
（﹣2a）2＝4a2，故选项B错误，不符合题意；
（6ab+a）÷a＝6b+1，故选项C错误，不符合题意；
（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（3分）已知图中的两个三角形全等，则a+b﹣c是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【分析】根据“全等三角形的对应边相等”求解即可．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴a＝6，b＝4，c＝5，
∴a+b﹣c＝6+4﹣5＝5，
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
7．（3分）如图，△ABC中，AB+AC＝8，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧相交于点P，AP交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE＝4，那么△ABC的面积是（ ）
A．10B．16C．24D．32
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，由作图过程可知，射线AP为∠BAC的平分线，可得DF＝DE＝4．再根据△ABC的面积为S△ABD+S△ACD=12AB⋅DF+12AC⋅DE=2AB+2AC＝2（AB+AC）可得答案．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
由作图过程可知，射线AP为∠BAC的平分线，
∵DE⊥AC，
∴DF＝DE＝4．
∴△ABC的面积为S△ABD+S△ACD=12AB⋅DF+12AC⋅DE=2AB+2AC＝2（AB+AC）＝2×8＝16．
故选：B．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
8．（3分）已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【分析】将两式展开后再相减即可得到结果．
【解答】解：∵（x+2y）2＝10，
∴x2+4xy+4y2＝10①，
∵（x﹣2y）2＝18，
∴x2﹣4xy+4y2＝18②，
②﹣①得：﹣8xy＝8，
∴xy＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键．
9．（3分）形如x2+8x＝33的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积33+4×22＝49，则该方程的正数解为7﹣2×2＝3．羊羊同学按此方法解关于x的方程x2+mx＝64（m＞0）时，构造出如图2所示面积为100的大正方形，则该方程的正数解为（ ）
A．8B．6C．4D．3
【分析】根据阴影部分的面积+四个正方形的面积＝大正方形的面积，求出小正方形的边长为3，得（x+2×3）2＝100，解方程，即可解决问题．
【解答】解：∵x2+mx＝64，
∴阴影部分的面积为64，
∵大正方形的面积为100，
∴四个小正方形的面积＝大正方形的面积﹣阴影部分的面积＝100﹣64＝36，
∴小正方形的边长为364=3，
∴大正方形的面积＝（x+2×3）2＝100，
即（x+6）2＝100，
解得：x1＝4，x2＝﹣16（不符合题意，舍去），
∴x2+mx＝64（m＞0）的正数解为4．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及正方形的性质等知识，借助数形结合的思想得出方程（x+2×3）2＝100是解题的关键．
10．（3分）根据下列条件，能画出唯一一个△ABC的是（ ）
A．AB＝4，BC＝6，∠A＝120°
B．AB＝1，BC＝2，AC＝3
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．
【解答】解：A、AB＝4，BC＝6，∠A＝120°．能画出唯一一个△ABC，故本选项符合题意；
B、因为AB+BC＝1+2＝3＝AC，所以不能画出△ABC；故本选项不符合题意；
C、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意，
D、角角角，不能确定唯一三角形．本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）用科学记数法表示数：0.000567＝ 5.67×10﹣4 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000567＝5.67×10﹣4．
故答案为：5.67×10﹣4．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）方程2x-3=3x的解为 x＝9 ．
【分析】方程两边都乘x（x﹣3）得出2x＝3（x﹣3），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：2x-3=3x，
方程两边都乘x（x﹣3），得2x＝3（x﹣3），
解得：x＝9，
检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，
所以x＝9是原分式方程的解，
即原方程的解是x＝9，
故答案为：x＝9．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
13．（3分）已知M（a﹣2，b﹣1）关于x轴对称的点为N（4，2），则ab＝ 16 ．
【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此可得a，b的值，进而得出结论．
【解答】解：∵点M（a﹣2，b﹣1）与点N（4，2）关于x轴对称，
∴a-2=4b-1=-2，
解得：a=6b=-1，
∴ab＝6﹣1=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．（3分）如图，把R1、R2、R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2+IR3．当R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5时，则U的值为 220 ．
【分析】直接把已知数据代入进而求出答案．
【解答】解：由题意可得：U＝IR1+IR2+IR3＝I（R1+R2+R3），
当R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5时，
原式＝2.5×（19.7+32.4+35.9）＝220．
故答案为：220．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确代入相关数据是解题关键．
15．（3分）已知AD是△ABC的高，AC＝BC，∠CAD＝50°，则∠B的度数为 20°或70° ．
【分析】分两种情况：当高AD在等腰三角形外部时；当高AD在等腰三角形内部时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当高AD在等腰三角形外部时，如图：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CAD＝50°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝40°，
∵∠ACD是△ABC是的外角，
∴∠ACD＝∠CAB+∠B＝40°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠B＝20°；
当高AD在等腰三角形内部时，如图：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CAD＝50°，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝40°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠B=180°-∠C2=70°，
综上所述：∠B的度数为20°或70°，
故答案为：20°或70°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
16．（3分）如图，∠BAC＝∠ABC＝∠ADC＝45°，∠ACD＝α（0°＜α＜90°），连接BD．给出下列四个结论：
①当α＝20°时，∠BCE＝70°；
②当∠DAC＝2∠ACD时，BD平分AC；
③点P为直线DE上一点，当PA+PB最小时，∠CAP＝α﹣45°；
④若CD＝9，△ACD的面积为18，则△BCD的面积为452；
其中正确的是 ①②④ .（填写所有正确结论的序号）
【分析】①根据已知条件得到∠ACB＝90°，根据平角定义得到∠BCE＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝70°，故①正确；
②设AC，BD交于O，过A作AH⊥CD于H，得到∠DAC＝2∠ACD＝2α，求得∠CAH＝2α﹣45°，由∠ACH+∠CAH＝90°，得到2α﹣45+α＝90°，求得α＝45°，求得∠ADC＝∠DAC＝45°，根据全等三角形的性质得到AO＝CO，求得BD平分AC；故②正确；
③作点A关于DE的对称点F，连接FB交DE于P，此时PA+PB的值最小，如图，假设∠APD＝45°，得到∠CAP＝45°﹣α，故∠CAP不一定α﹣45°，故③错误；
④如图，过A作AH⊥CD于H，根据三角形的面积公式得到AH=2×189=4，求得AH＝DH＝4，得到CH＝CD﹣DH＝5，根据全等三角形的性质得到BM＝CH＝5，根据三角形的面积公式得到△BCD的面积为12CD•BM=12×9×5=452，故④正确．
【解答】解：①当α＝20°时，即∠ACD＝20°，
∵∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝70°，故①正确；
②设AC，BD交于O，过A作AH⊥CD于H，
∵∠ACD＝α，
∴∠DAC＝2∠ACD＝2α，
∵∠ADC＝45°，
∴∠DAH＝45°，
∴∠CAH＝2α﹣45°，
∵∠ACH+∠CAH＝90°，
∴2α﹣45+α＝90°，
∴α＝45°，
∴∠ADC＝∠DAC＝45°，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∴AD＝AC＝CB，
∵∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB（AAS，
∴AO＝CO，
∴BD平分AC；故②正确；
③作点A关于DE的对称点F，连接FB交DE于P，
此时PA+PB的值最小，
如图，假设∠APD＝45°，
∴∠CAP＝45°﹣α，故∠CAP不一定α﹣45°，故③错误；
④如图，过A作AH⊥CD于H，
∵CD＝9，△ACD的面积为18，
∴AH=2×189=4，
∵∠ADH＝45°，
∴AH＝DH＝4，
∴CH＝CD﹣DH＝5，
∵∠AHC＝∠ACB＝∠BMC＝90°，
∴∠ACH+∠BCM＝∠BCM+∠CBM＝90°，
∴∠ACH＝∠CBM，
∵AC＝BC，
∴△ACH≌△CBM（AAS），
∴BM＝CH＝5，
∴△BCD的面积为12CD•BM=12×9×5=452，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）计算：3x•2x﹣x3y÷xy．
【分析】先根据单项式乘单项式、单项式除以单项式的法则计算，再合并同类项即可．
【解答】解：3x•2x﹣x3y÷xy
＝6x2﹣x2
＝5x2．
【点评】本题考查了整式的除法，合并同类项，单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（4分）如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB＝DC，求证：∠A＝∠D．
【分析】只需证明△ACB与△DBC全等即可．
【解答】证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB，
∴△ACB与△DBC均为直角三角形，
在Rt△ACB与Rt△DBC中，
AB=DCCB=BC，
∴Rt△ACB≌Rt△DBC（HL），
∴∠A＝∠D，
【点评】本题考查全等全角三角形的判定与性质，是基础题．注意本题是对两个直角三角形全等的判定，熟悉“HL”定理是解答的关键．
19．（6分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，5），B（1，3），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）已知P为y轴负半轴上一点，若△PCC1的面积为12，则点P的坐标为 （0，﹣3） ．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）设点P的坐标为（0，m），m＜0，根据题意可列方程为12×6×(1-m)=12，求出m的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）设点P的坐标为（0，m），m＜0，
∵△PCC1的面积为12，
∴12×6×(1-m)=12，
解得m＝﹣3，
∴点P的坐标为（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（6分）已知A=(a-2ab-b2a)⋅aab-b2．
（1）化简A；
（2）若a＝2b，求A的值．
【分析】（1）根据分式的减法法则、乘法法则把A化简；
（2）把a＝2b代入化简后的式子计算，得到答案．
【解答】解：（1）A＝（a2a-2ab-b2a）•ab(a-b)
=(a-b)2a•ab(a-b)
=a-bb；
（2）当a＝2b时，原式=2b-bb=1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．（8分）如图，AM平分∠BAC，BC边的垂直平分线l分别交AC，BC，AM于点E，F，G．
（1）尺规作图：作BC的垂直平分线l，并标出点E，F，G（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接BE，若∠AGE＝∠C，求证：AG垂直平分BE．
【分析】（1）利用尺规作图作BC的垂直平分线l，分别交AC，BC，AM于点E，F，G即可；
（2）根据垂直平分线的性质和∠AGE＝∠C，证明AG⊥BE，再证明△ABD≌△AED，得BD＝ED，进而可得AG垂直平分BE．
【解答】（1）解：如图，BC的垂直平分线l，点E，F，G即为所求；
（2）证明：∵EF是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，∠GFM＝90°，
∴∠EBC＝∠C，
∵∠AGE＝∠C，
∴∠EBC＝∠AGE，
∵∠GMF＝∠BMD，
∴∠BDM＝∠GFM＝90°，
∴AG⊥BE，
∴∠BDA＝∠EDA＝90°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝ED，
∴AG垂直平分BE．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
22．（10分）羊羊同学对教材中用图形的面积说明平方差公式和完全平方公式的内容很感兴趣．他继续钻研，开展数学活动．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l，过A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．设AD＝a，CD＝b，AC＝c，记四边形ADEB的面积为S．
（1）用含c的式子△ABC的面积： S△ABC=12c2 ；
（2）羊羊查阅相关资料，知道S=12(AD+BE)⋅DE.请用含a，b的式子表示S；
（3）羊羊又发现S还可以用三个三角形的面积相加来计算．按照这个思路，结合问题（2），你能得到a，b，c之间满足怎样的等量关系呢？请说明理由．
【分析】（1）由∠ACB＝90°，AC＝BC＝c，得S△ABC=12AC•BC=12c2，于是得到问题的答案；
（2）由AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，得∠ADC＝∠CEB＝90°，则∠DAC＝∠ECB＝90°﹣∠ACD，可根据“AAS”证明△ADC≌△CEB，得AD＝CE＝a，CD＝BE＝b，所以S=12（AD+BE）•DE=12（a+b）（a+b）=12a2+12b2+ab，
（3）由S＝S△ADC+S△CEB+S△ABC，且S△ADC＝S△CEB=12ab，S△ABC=12c2，得12a2+12b2+ab=12ab+12ab+12c2，则a2+b2＝c2．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝c，
∴S△ABC=12AC•BC=12c2，
故答案为：S△ABC=12c2．
（2）∵AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB＝90°﹣∠ACD，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE＝a，CD＝BE＝b，
∵四边形ADEB的面积为S，
∴S=12（AD+BE）•DE=12（a+b）（a+b）=12a2+12b2+ab，
∴S=12a2+12b2+ab．
（3）a2+b2＝c2，
理由：∵S＝S△ADC+S△CEB+S△ABC，且S△ADC＝S△CEB=12ab，S△ABC=12c2，
∴12a2+12b2+ab=12ab+12ab+12c2，
∴a2+b2＝c2．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、乘法公式等知识，证明△ADC≌△CEB是解题的关键．
23．（10分）甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务．甲队计划前18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成；乙队计划一半的时间每天施工m千米，另一半的时间每天施工n千米．
（1）当n＝2m时，甲队恰好6天完成任务，求m的值；
（2）如果按照各自施工计划，甲队和乙队谁更早完成施工任务？请说明理由．
【分析】（1）根据当n＝2m时，甲队恰好6天完成任务，列出分式方程，解方程即可；
（2）设乙队完成施工任务需要的时间为x天，根据乙队计划一半的时间每天施工m千米，另一半的时间每天施工n千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意得：18m+18n=6，
∵n＝2m，
∴18m+182m=6，
解得：m＝4.5，
经检验，m＝4.5是原方程的解，且符合题意，
答：m的值为4.5；
（2）乙队更早完成施工任务，理由如下：
由题意可知，甲队完成施工任务需要的时间为（18m+18n）天，
设乙队完成施工任务需要的时间为x天，
由题意得：12x•m+12x•n＝36，
解得：x=72m+n，
∴（18m+18n）-72m+n=18(m+n)2-72mnmn(m+n)=18(m-n)2mn(m+n)，
∵m＞0，n＞0，（m﹣n）2≥0，mn（m+n）＞0，
∴18(m-n)2mn(m+n)≥0，
∴18m+18n≥72m+n，
∴乙队更早完成施工任务．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及分式的加减法等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的动点（点D与点B，C不重合），连接AD，作△ABD关于AD对称的△AED，设∠ADB＝α．
（1）当DE平分∠ADC时，
①求α的值；
②求证：BD＝AD+CD；
（2）若点E与点C不重合，连接CE，当CE＝AD时，求α的值．
【分析】（1）①由题易得∠ADB＝∠ADE＝α，再根据ED平分∠ADC得到∠ADE＝∠EDC＝α，进而利用平角性质求解；
②要证线段和差，优先考虑截长补短，过点A作 AF∥BC，证△AFE≌△ADC即可得证；
（2）分类讨论：当点E在BC上方时可证出AE∥BC，此时α＝67.5°，当点E在BC下方时可证出AE⊥BC，进而得到α＝112.5°．
【解答】解：（1）①∵△ADE与△ADB 关于AD对称，
∴∠ADB＝∠ADE＝α，
又∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC＝α，
∴3α＝180°，
解得α＝60°；
②如图，过点A作 AF∥BC，
则∠DFA＝∠FDC＝60°，
∴∠ACF＝∠AFD＝60°，
∴△ADF 为等边三角形，
∴AD＝DF＝AF，
∴∠AFE＝∠ADC＝120°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵△ADE 与△ADB 关于AD对称，
∴∠E＝∠B，
∴∠E＝∠C，
在△AFE 与△ADC 中，
∠ADC=∠AFE∠C=∠EAD=AF，
∴△AFE≌△ADC（AAS），
∴EF＝CD，
∴AD+CD＝DF+EF＝DE＝BD，
即BD＝AD+CD；
（2）①当点E在BC上方时，如图所示，设DE与AC交于点G，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ADB＝α，
∴∠BAD＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α，
∵△ADE 与△ABD 关于AD对称，
∴∠DAE＝∠BAD＝135°﹣a，∠ADE＝∠ADB＝α，
∴∠CAE＝2∠BAD﹣90°＝180°﹣2a，
∠EDC＝180°﹣2∠ADB＝180°﹣2a，
又∵AE＝AB＝AC，
∴∠ACE=180°-∠CAE2=α，
∴∠ADG＝∠ECG＝α，
在△ADG 与△ECG 中，
∠ADG=∠ECG∠AGD=∠EGCAD=CE，
∴△ADG≌△ECG（AAS），
∴GD＝GC，GA＝GE，
∴∠GDC＝∠GCD，∠GAE＝∠GEA，
∵∠AGE＝∠DGC，
∴∠GDC＝∠GCD＝GAE＝∠GEA，
∴AE∥BC，
∴180°﹣2α＝45°，
∴α＝67.5°；
②当点E在BC下方时，如图所示，设AE与BC交于点H，
同理可得∠DAE＝∠BAD＝135°﹣a，∠ADE＝∠ADB＝α，
∴∠CAE＝90°﹣2∠BAD＝2α﹣180°，
∠EDC＝2∠ADB﹣180°＝2a﹣180°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝180°﹣α＝∠ADC，
∴△ADH≌△CEH（AAS），
∴HD＝HE，HA＝HC，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，∠HAC＝∠HCA＝45°，
∴2a﹣180°＝45°，
∴α＝112.5°；
综述所述：当点E在BC上方时α＝67.5°；当点E在BC下方时α＝112.5°．
【点评】本题主要考查了对称的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D和点E分别是AB边和CB边上的动点（点D不与A，B重合），AD＝2BE．连接DE，以DE为边向左上方作等边△DEF，连接FC，设BE＝a．
（1）用含有a的式子表示线段BD的长；
（2）记△CEF的面积为S1，△BDE的面积为S2，求S1S2的值；
（3）连接FB，当△FCB的周长最小时，求a的值．
【分析】（1）可求得AB＝BC＝4，进一步得出结果；
（2）作EH⊥AB于H，作FQ⊥BC，交BC的延长线于点Q，可证明△DEH≌△EFQ，从而FQ＝EH，进一步得出结果；
（3）在BC的延长线上依次截取BG＝BD，GH＝BE＝a，连接FG，FH，AH，设FH和AC交于点F′，FH交AB于点T，可证明△EFG≌△SEB，从而∠FGE＝∠DBE＝60°，FG＝BE＝a，进而得出∠H＝∠GFH＝30°，AB＝BH，从而得出△ABH是等边三角形，从而HF是AB的垂直平分线，当点F在F′处时，CF+BF最小，进一步得出结果．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∵AD＝2BE＝2a，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣2a；
（2）如图1，
作EH⊥AB于H，作FQ⊥BC，交BC的延长线于点Q，
∴∠Q＝∠DHE＝90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，DE＝EF，
∴∠FEC+∠BED＝180°﹣∠DEF＝120°，
∵∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠FEC＝∠BDE，
∴△DEH≌△EFQ（AAS），
∴FQ＝EH，
∵CE＝BC＝2﹣a，BD＝4﹣2a，
∴BD＝2CE，
∴S1S2=12CE⋅FQ12BD⋅EH=CEBD=12；
（3）如图2，
△FCB的周长＝BC+CF+BF＝2+CF+BF，
在BC的延长线上依次截取BG＝BD，GH＝BE＝a，连接FG，FH，AH，设FH和AC交于点F′，FH交AB于点T，
∴∠H＝∠GFH，
由（2）知，
∠FEC＝∠BDE，DE＝EF，
∴△EFG≌△SEB（SAS），
∴∠FGE＝∠DBE＝60°，FG＝BE＝a，
∴∠H+∠GFH＝∠FGE＝60°，
∴∠H＝∠GFH＝30°，
∴∠H+∠ABC＝90°，
∵BH＝BE+EG+GH＝a+（4﹣2a）+（a+4）＝4，
∴AB＝BH，
∴△ABH是等边三角形，
∴HF是AB的垂直平分线，
∴当点F在F′处时，CF+BF最小，
∵AT=12AB=2，∠BAC＝30°，
∴AF=433，
∵AC=3BC＝23，
∴CF＝AC﹣AF=233，
由（2）知，
E′H＝CF，
∴E′H=233，
∴E′B=E′H32=2333243，
即a=32．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是作辅助线．构造全等三角形．题号
1
2
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6
7
8
9
10
答案
A
C
B
B
D
C
B
A
C
A