2021-2022学年广东省广州市越秀区八年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年广东省广州市越秀区八年级上学期期末数学试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题注意，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在以下四个节能环保标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cmD．5cm，5cm，11cm
3．（3分）若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（ ）边形．
A．6B．7C．8D．9
4．（3分）如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
5．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12
B．（﹣a﹣1b﹣3）﹣2＝﹣a2b6
C．6a6÷2a3＝3a2
D．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
6．（3分）若x2+x﹣12＝（x+p）（x+q），则p，q的值分别为（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝﹣3，q＝4C．p＝3，q＝﹣4D．p＝﹣3，q＝﹣4
7．（3分）若x﹣y＝2xy≠0，则分式1x−1y=（ ）
A．12B．−12C．2D．﹣2
8．（3分）小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4abD．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
9．（3分）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，B（0，1），C（0，﹣1），D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且∠BAC＝2∠BDO，DM⊥AC于M，BD交AC于点N．下列说法正确的是（ ）
①∠ABD＝∠ACD；②AD平分∠CAE；③AD＝ND；④AC−ABAM=2；
A．①③④B．①②④C．②③④D．②③④
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）新型冠状病毒直径平均为100纳米，也就是大约0.0000001米，该直径用科学记数法表示为 米．
12．（3分）若分式|y|−55−y的值等于0，则y＝ ．
13．（3分）分解因式：2abc+4a2b＝ ．
14．（3分）计算：(53)2022×(−0.6)2021= ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，已知AC＝3，BC＝4，AB＝5，则CD的长为 ．
16．（3分）如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝4，BE＝9，AB＝12，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是 ．
三、解答题（本题共有9小题，共72分）
17．（4分）解方程：3x−2−x2−x=−2．
18．（4分）先化简再求值：（1+b+b21−b）÷1+b1−b，其中b＝3．
19．（6分）如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：AB∥DF．
20．（6分）已知A=x2+4x+4x2−4−xx−2．
（1）化简A；
（2）当x满足不等式组x−1≥0x−3＜0，且x为整数时，求A的值．
21．（8分）如图，已知A（﹣1，4），B（﹣3，2），C（﹣2，1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称的图形△A1B1C1，并写出点B的对称点B1的坐标；
（2）点Q在坐标轴上，且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有 个．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，∠ABE＝45°．
（1）尺规作图，作∠BAC的平分线，交BE于H，交BC于D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：AH＝2BD．
23．（10分）某工厂对零件进行检测，引进了检测机器．已知一台检测机的工作效率相当于一名检测员的12倍．若用这台检测机检测900个零件要比10名检测员检测这些零件少3小时．
（1）求一台零件检测机每小时检测零件多少个？
（2）现有一项零件检测任务，要求不超过8小时检测完成2720个零件．该厂调配了2台检测机和20名检测员，工作3小时后又调配了一些检测机进行支援，则该厂至少再调配几台检测机才能完成任务？
24．（12分）如图，点P为△ABC的外角∠BCD的平分线上一点，PA＝PB，PE⊥BC于点E．
（1）求证：∠PAC＝∠PBC；
（2）若AC＝5，BC＝11，求S△PCE：S△PBE；
（3）如图2，若M，N分别是边AC，BC上的点，且∠MPN=12∠APB，求证：BN＝AM+MN．
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（b，0）且a、b满足a+2b=−2a−2b=6．
（1）求证：∠OAB＝∠OBA；
（2）若BC⊥AC，求∠ACO的度数；
（3）如图2，若D是AO的中点，DE∥BO，F在线段AB的延长线上，∠EOF＝45°，连接EF，试探究OE和EF的关系．
2021-2022学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）注意：每小题有四个选项，其中只有一项符合题意，选错、不选、多选或涂改不清的均不给分
1．（3分）在以下四个节能环保标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cmD．5cm，5cm，11cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7＝15，不能组成三角形；
C、13+12＞20，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．
判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．（3分）若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（ ）边形．
A．6B．7C．8D．9
【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．
【解答】解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，
∴这个多边形的内角和为720°+360°＝1080°，
设多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝1080°，
解得：n＝8，
即多边形是八边形，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于n的方程是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和＝（n﹣2）×180°，多边形的外角和等于360°．
4．（3分）如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC＝15°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝15°+15°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴AD=12AC=12×10＝5cm．
故选：C．
【点评】本题考查了等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
5．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12
B．（﹣a﹣1b﹣3）﹣2＝﹣a2b6
C．6a6÷2a3＝3a2
D．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
【分析】根据同底数幂的乘法可以判断A；根据积的乘方可以判断B；根据单项式除以单项式可以判断C；根据多项式乘多项式可以判断D．
【解答】解：a3•a4＝a7，故选项A错误，不符合题意；
（﹣a﹣1b﹣3）﹣2＝a2b6，故选项B错误，不符合题意；
6a6÷2a3＝3a3，故选项C错误，不符合题意；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（3分）若x2+x﹣12＝（x+p）（x+q），则p，q的值分别为（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝﹣3，q＝4C．p＝3，q＝﹣4D．p＝﹣3，q＝﹣4
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则解答即可．
【解答】解：∵x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）＝（x+p）（x+q），
∴p＝﹣3，q＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解，掌握十字相乘法因式分解是解此题的关键．
7．（3分）若x﹣y＝2xy≠0，则分式1x−1y=（ ）
A．12B．−12C．2D．﹣2
【分析】将原式通分，然后利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式=y−xxy，
∵x﹣y＝2xy≠0，
∴原式=−x−yxy=−2xyxy=−2，
故选：D．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握异分母分式加减法运算法则，利用整体思想代入求值是解题关键．
8．（3分）小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4abD．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】图②的面积可以整体表示为（a+b）2，也可将各部分求和表示为（a﹣b）2+4ab，由此可得此题结果．
【解答】解：∵用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积的面积各为：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，
∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故选：C．
【点评】此题考查对完全平方公式几何意义的理解，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA、GB＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∵FG是BC边的垂直平分线，
∴GB＝GC，
∵△BEG的周长为16，
∴GB+GE+EB＝16，
∴AE+GE+GC＝16，
∴AC+GE+GE＝16，
∵GE＝1，
∴AC＝16﹣2＝14，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，B（0，1），C（0，﹣1），D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且∠BAC＝2∠BDO，DM⊥AC于M，BD交AC于点N．下列说法正确的是（ ）
①∠ABD＝∠ACD；②AD平分∠CAE；③AD＝ND；④AC−ABAM=2；
A．①③④B．①②④C．②③④D．②③④
【分析】①根据点B和点C的坐标可得OB＝OC，从而可知OD是BC的垂直平分线，可得BD＝CD，再利用等腰三角形的三线合一性质证明∠BDC＝2∠BDO，易得∠BAC＝∠BDC，最后利用三角形内角和证明∠ABD＝∠ACD；
②要证明AD平分∠CAE，想到利用角平分线性质定理的逆定理，所以过D作DF⊥BE于F，只要证明DM＝DF即可，易证△BDF≌△CDM，根据全等三角形的性质得到DM＝DF；
③要使AD＝ND，就要使∠DAN＝∠AND，由②得∠DAE＝∠DAN，而∠DAE＝∠ABD+∠ADB，∠AND＝∠ABD+∠BAC，由①得∠BAC＝∠BDC，所以只要判断∠BDC与∠ADB是否相等即可；
④根据全等三角形的性质得到BF＝CM，易证△AMD≌△AFD，得到AF＝AM，由于BF＝AF+AB＝AM+AB，CM＝AC﹣AM，于是得到AM+AB＝AC﹣AM，求得AC﹣AB＝2AM，于是得到结论．
【解答】解：①∵B（0，1），C（0，﹣1），
∴BO＝CO＝1
∵OD⊥BC，
∴OD是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠BDC＝2∠BDO，
∵∠BAC＝2∠BDO
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠ANB＝∠CND，
∴∠ABD＝∠ACD，
故①正确，
②过D作DF⊥BE于F，如图：
∵BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，∠CMD＝∠BFD＝90°
∴△BDF≌△CDM（AAS），
∴DM＝DN，
∴AD是∠CAE的角平分线，
故②正确，
③∵∠AND＝∠ABD+∠BAC，∠BAC＝∠BDC，
∴∠AND＝∠ABD+∠BDC，
∵∠DAE＝∠ABD+∠ADB，∠DAE＝∠DAN，
∴∠DAN＝∠ABD+∠ADB，
∵∠ADB≠∠BDC，
∴∠AND≠∠DAN，
∴AD≠ND，
故③不正确；
④∵DM＝DF，AD＝AD，
∴Rt△AMD≌Rt△AFD（HL），
∴AM＝AF，
∵△BDF≌△CDM，
∴BF＝CM，
∵BF＝AF+AB＝AM+AB，CM＝AC﹣AM，
∴AM+AB＝AC﹣AM，
∴AC﹣AB＝2AM，
∴AC−ABAM=2，
故④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）新型冠状病毒直径平均为100纳米，也就是大约0.0000001米，该直径用科学记数法表示为 1×10﹣7 米．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000001＝1×10﹣7，
故答案为：1×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）若分式|y|−55−y的值等于0，则y＝ ﹣5 ．
【分析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．
【解答】解：若分式|y|−55−y的值等于0，
则|y|﹣5＝0，y＝±5．
又∵5﹣y≠0，y≠5，
∴y＝﹣5．
若分式|y|−55−y的值等于0，则y＝﹣5．
故答案为﹣5．
【点评】本题主要考查分式的值为0的条件和绝对值的知识点，此题很容易出错，不考虑分母为0的情况．
13．（3分）分解因式：2abc+4a2b＝ 2ab（c+2a） ．
【分析】通过提公因式法求解．
【解答】解：2abc+4a2b＝2ab（c+2a）．
故答案为：2ab（c+2a）．
【点评】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握提公因式法因式分解．
14．（3分）计算：(53)2022×(−0.6)2021= −53 ．
【分析】根据anbn＝（ab）n，进行计算即可．
【解答】解：(53)2022×(−0.6)2021
＝[53×(−0.6)]2021×53
＝（﹣1）2021×53
＝﹣1×53
=−53，
故答案为：−53．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，灵活运用公式来进行计算是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，已知AC＝3，BC＝4，AB＝5，则CD的长为 43 ．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∵S△ACB＝S△ABD+S△BCD，
∴12×3×4=12×4×CD+12×5×DE，
解得：CD=43，
故答案为：43．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．（3分）如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝4，BE＝9，AB＝12，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是 19 ．
【分析】如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．证明△CMN是等边三角形，再根据DE≤DM+MN+EN，当D，M，N，E共线时，DE的值最大．
【解答】解：如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．
∵AD＝4，BE＝9，AB＝12，点C为AB的中点，
∴AC＝CB＝6，DM＝AD＝4，CM＝CN＝6，EN＝BE＝9，
∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，
∵∠DCE＝120°，
∴∠ACD+∠BCE＝60°，
∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN，
∴∠ACM+∠BCN＝120°，
∴∠MCN＝60°，
∵CM＝CN＝6，
∴△CMN是等边三角形，
∴MN＝6，
∵DE≤DM+MN+EN，
∴DE≤4+6+9＝19，
∴当D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为19，
故答案为：19．
【点评】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本题共有9小题，共72分）
17．（4分）解方程：3x−2−x2−x=−2．
【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【解答】解：原方程化为：
3x−2+xx−2=−2，
两边同乘（x﹣2），得：
3+x＝﹣2（x﹣2），
去括号得：3+x＝﹣2x+4，
移项合并得：3x＝1，
解得：x=13，
经检验，x=13是原方程的解．
【点评】题考查了分式方程的解，掌握解分式方程的步骤，首先对原方程进行变形，把分母化为相同的是解题关键．
18．（4分）先化简再求值：（1+b+b21−b）÷1+b1−b，其中b＝3．
【分析】首先把括号里的通分，然后能分解因式的分解因式，进行约分，最后代值计算，注意把除法运算转化为乘法运算，然后代值计算．
【解答】解：原式=1−b2+b21−b×1−b1+b=11+b
当b＝3时，原式=14．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，式子化到最简是解题的关键．
19．（6分）如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：AB∥DF．
【分析】由SSS证明△ABC≌△DFE即可，由全等三角形的性质得出∠ABC＝∠DFE，证出AB∥DF．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
AB=DFAC=DEBC=EF，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
∴∠ABC＝∠DFE，
∴AB∥DF，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；证明三角形全等是解决问题的关键．
20．（6分）已知A=x2+4x+4x2−4−xx−2．
（1）化简A；
（2）当x满足不等式组x−1≥0x−3＜0，且x为整数时，求A的值．
【分析】（1）先将第一个分式分子、分母因式分解，再约分，继而计算减法即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，根据“大小小大中间找”得出不等式组的解集，结合不等式组整数解及分式有意义的条件确定出x的值，代入计算即可．
【解答】解：（1）A=(x+2)2(x+2)(x−2)−xx−2
=x+2x−2−xx−2
=2x−2；
（2）由x﹣1≥0，得：x≥1，
由x﹣3＜0，得：x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3，
∵x为整数，
∴x＝1或2，
∵x≠±2，
∴x＝1，
则原式=21−2=−2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则、解一元一次不等式的能力．
21．（8分）如图，已知A（﹣1，4），B（﹣3，2），C（﹣2，1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称的图形△A1B1C1，并写出点B的对称点B1的坐标；
（2）点Q在坐标轴上，且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有 8 个．
【分析】（1）根据关于y轴的对称的特点画出图形解答即可；
（2）在平面直角坐标系中，作线段AC的垂直平分线，与坐标轴有2个交点，分别以A，C为圆心，AC长为半径画弧，与坐标轴的交点有4个，即可得到Q点的数量．
【解答】解：（1）如图所示：
B1的坐标（3，2）；
（2）如图Q点有8个，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，根据等腰三角形的判定解答是解题关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，∠ABE＝45°．
（1）尺规作图，作∠BAC的平分线，交BE于H，交BC于D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：AH＝2BD．
【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的平分线；
（2）先根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，再证明EA＝EB，则可判断△AHE≌△BCE，所以AH＝BC，从而得到AH＝2BD．
【解答】（1）解：如图，AD为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵BE⊥AC，∠ABE＝45°．
∴∠BAE＝45°，
∴EA＝EB，
∵∠C+∠CBE＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CBE＝∠CAD，
在△AHE和△BCE中，
∠AEH=∠BEC∠EAH=∠EBCAE=BE，
∴△AHE≌△BCE（AAS），
∴AH＝BC，
∴AH＝2BD．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质．
23．（10分）某工厂对零件进行检测，引进了检测机器．已知一台检测机的工作效率相当于一名检测员的12倍．若用这台检测机检测900个零件要比10名检测员检测这些零件少3小时．
（1）求一台零件检测机每小时检测零件多少个？
（2）现有一项零件检测任务，要求不超过8小时检测完成2720个零件．该厂调配了2台检测机和20名检测员，工作3小时后又调配了一些检测机进行支援，则该厂至少再调配几台检测机才能完成任务？
【分析】（1）首先设一名检测员每小时检测零件x个，则一台零件检测机每小时检测零件12x个，根据等量关系：10名检测员检测900个零件所用的时间﹣检测机检测900个零件所用的时间＝3小时，列出分式方程，求解即可；
（2）设该厂再调配a台检测机才能完成任务，由不等关系：2台检测机和20名检测员工作8小时检测的零件数+a台检测机工作5小时检测的零件数≥2720个零件，列出不等式，解不等式取最小整数解即可．
【解答】解：（1）设一名检测员每小时检测零件x个，
由题意得：90010x−90012x=3，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是分式方程的解，且符合题意，
则12x＝12×5＝60，
答：一台零件检测机每小时检测零件60个；
（2）设该厂再调配a台检测机才能完成任务，
由题意得：（2×60+20×5）×8+60a×（8﹣3）≥2720，
解得：a≥3.2，
∵a为正整数，
∴a的最小值为4，
答：该厂至少再调配4台检测机才能完成任务．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24．（12分）如图，点P为△ABC的外角∠BCD的平分线上一点，PA＝PB，PE⊥BC于点E．
（1）求证：∠PAC＝∠PBC；
（2）若AC＝5，BC＝11，求S△PCE：S△PBE；
（3）如图2，若M，N分别是边AC，BC上的点，且∠MPN=12∠APB，求证：BN＝AM+MN．
【分析】（1）先利用角平分线定理判断出PE＝PF，进而判断出Rt△PAF≌Rt△PEB（HL），即可得出结论；
（2）先判断出△PCF≌△PCE，进而得出CF＝CE，而Rt△PAF≌Rt△PEB得出AF＝BE即可得出AC+CF＝BC﹣CE，进而求出CE＝CF＝3，即可求出结论；
（3）先判断出△PMA≌△PQB，进而得出∠APB＝∠MPQ，即可判断出△MPN≌△QPC（SAS），得出MN＝QN即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，过点P作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵PC平分∠DCB，
∴PE＝PF，
在Rt△PAF和Rt△PEB中，
PF=PEAP=PB，
∴Rt△PAF≌Rt△PEB（HL），
∴∠PAC＝∠PBC，
（2）解：如图2，过点P作PF⊥AC于F，
∵PE⊥BC，CP是∠BCD的平分线，
∴PE＝PF，∠PCF＝∠PCE，
∵PC＝PC，
∴△PCF≌△PCE（SAS），
∴CF＝CE，
由（1）知，Rt△PAF≌Rt△PEB，
∴AF＝BE，
∵AF＝AC+CF，BE＝BC﹣CE，
∴AC+CF＝BC﹣CE，
∴5+CF＝11﹣CE，
∴CE＝CF＝3，
∵△PFC≌△PEC，
∴S△PFC＝S△PEC，
∵Rt△PAF≌Rt△PEB，
∴S△PAF＝S△PEB，
∴S△PCE：S△PBE＝S△PFC：S△PFA=12CF×PF：12AC×PF＝CF：AC＝3：（3+5）＝3：8；
（3）证明：如图3，在BC上截取BQ＝AM，
在△PMA和△PQB中，
AP=PB∠PAM=∠PBQMA=BQ，
∴△PMA≌△PQB（SAS），
∴PM＝PQ，∠MPA＝QPB，
∴∠MPA+∠APQ＝∠QPB+∠APQ，
即：∠APB＝∠MPQ，
∵∠MPN=12∠APB，
∴∠MPN=12∠MPQ，
∴∠MPN＝∠QPN，
在△MPN和△QPN中，
PN=PN∠MPN=∠QPNMP=QP，
∴△MPN≌△QPN（SAS），
∴MN＝QN，
∴BN＝AM+MN．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平分线的定义，解（1）的关键是判断出PE＝PF，解（2）的关键是求出CE＝CF＝3，解（3）的关键是构造全等三角形判断出∠APB＝∠MPQ．
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（b，0）且a、b满足a+2b=−2a−2b=6．
（1）求证：∠OAB＝∠OBA；
（2）若BC⊥AC，求∠ACO的度数；
（3）如图2，若D是AO的中点，DE∥BO，F在线段AB的延长线上，∠EOF＝45°，连接EF，试探究OE和EF的关系．
【分析】（1）解方程组求出a、b即可解决问题；
（2）如图1中，过点O作OK⊥OC交AC于点K，设OB交AC于J．证明△AOK≌△BOC（ASA），则可得出结论．
（3）过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE交HG于I，利用已知条件证明△HFG≌△BFO（SAS），得到GH＝OB＝OA，再证明△EIG≌△EDO（AAS）得到EG＝EO，进而FE＝EO且FE⊥EO（三线合一）．
【解答】（1）证明：∵a、b满足a+2b=−2a−2b=6，
∴a=2b=−2，
∴A（0，2），B（﹣2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
（2）解：如图1中，过点O作OK⊥OC交AC于点K，设OB交AC于J．
∵AC⊥BC，
∴∠AOJ＝∠BCI＝90°，
∵∠AJO＝∠BJC，
∴∠CBO＝∠KAO，
∵∠AOB＝∠COK＝90°，
∴∠AOK＝∠BOC，
∵OA＝OB，
∴△AOK≌△BOC（ASA），
∴OK＝OC，
∴∠ACO＝∠OKC＝45°．
（3）过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE交HG于I，
∵∠EOF＝45°，∠HBF＝∠ABO＝45°，
∴△OFG、△HFB为等腰直角三角形，
∵∠HFG+∠GFB＝90°，∠BFO+∠GFB＝90°，
∴∠HFG＝∠BFO，
∵FG＝FO．FH＝FB，
∴△HFG≌△BFO（SAS），
∴GH＝OB＝OA，
又∵∠GHF＝∠OBF＝135°，
∴∠GHO＝90°，
∴HI＝OD＝IG，
∴△EIG≌△EDO（AAS），
∴EG＝EO，
∴FE＝EO，FE⊥EO．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解二元一次方程组等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
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