2021-2022学年广东省广州市海珠区八年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年广东省广州市海珠区八年级上学期期末数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）要使分式3x−1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x＞1C．x＜1D．x≠﹣1
2．（3分）用科学记数法表示的数﹣5.6×10﹣4写成小数是（ ）
A．﹣0.00056B．﹣0.0056C．﹣56000D．0.00056
3．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
4．（3分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1B．﹣7ab2c3＝﹣abc•7bc2
C．m（m+3）＝m2+3mD．2x2﹣5x＝x（2x﹣5）
5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，要得到结论△ABC≌△ADC，不能添加的条件是（ ）
A．BC＝DCB．∠ACB＝∠ACDC．AB＝ADD．∠B＝∠D
6．（3分）已知2x＝5，则2x+3的值是（ ）
A．8B．15C．40D．125
7．（3分）若mx+6y与x﹣3y的乘积中不含有xy项，则m的值为（ ）
A．0B．2C．3D．6
8．（3分）如图，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，若∠B＝α，∠C＝β，则∠ADC的度数为（ ）
A．12(β−α)B．180°−12α−12β
C．90°+12β−12αD．90°+12α−12β
9．（3分）如图，△ABC≌△ADE，点D落在BC上，且∠B＝60°，则∠EDC的度数等于（ ）
A．45°B．30°C．60°D．75°
10．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A．240°B．360°C．540°D．720°
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：（π﹣3.14）0＝ ．
12．（3分）已知点A关于x轴的对称点B的坐标为（1，﹣2），则点A的坐标为 ．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB的长为 ．
14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，则点D到线段AB的距离为 ．
15．（3分）边长分别为m和2m的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 ．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．（6分）计算：
（1）（25m2﹣15m3n）÷5m2；
（2）8a2•（a4﹣1）﹣（2a2）3．
18．（6分）已知：如图，AE∥FD，AE＝FD，EB＝CF．求证：△ACE≌△DBF．
19．（6分）先化简，再求值：aa+1+3a+1a2−1，其中a＝2021．
20．（6分）一批学生志愿者去距学校8km的老人院参加志愿服务活动，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知骑车学生的速度是汽车速度的一半，求骑车学生的速度．
21．（6分）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．
求证：∠APB+∠DCE＝180°．
22．（8分）如图，在边长为单位1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），点A和点B分别在网格的格点上．
（1）分解因式2a2﹣18；
（2）若2a2﹣18＝0，且点A（a，2）在第二象限，点B（a+5，﹣1）在第四象限，请求出点A和点B的坐标，并在所给的网格中画出平面直角坐标系；
（3）在（2）的条件下，已知点A'（a，﹣4）是点A关于直线l的对称点，点C在直线l上，且△ABC的面积为6，直接写出点C的坐标．
23．（10分）已知△ABC中，∠B=12∠C＝α．
（1）尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
①作∠EAC的平分线AD；
②在AD上作点P，使△ACP是以AC为底边的等腰三角形，并求出∠APC的度数（用含α的式子表示）；
（2）在（1）所作的AD上是否存在着另外的点P，使△ACP也为等腰三角形，若有，请直接用含α的式子表示∠APC的大小；若没有，请说明理由．
24．（12分）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式(x−a)(x−b)x的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−（a+b），所以关于x的方程x+abx=a+b的解为x1＝a，x2＝b．
（1）理解应用：方程x2+2x=3+23的解为：x1＝ ，x2＝ ；
（2）知识迁移：若关于x的方程x+3x=5的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；
（3）拓展提升：若关于x的方程4x−1=k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．
25．（12分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE=13∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
（1）直接写出图中除△ABC外的所有等腰三角形；
（2）求证：BD=12PC；
（3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当△DHG周长取最小值时，求∠HDG的度数．
2021-2022学年广东省广州市海珠区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3分）要使分式3x−1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x＞1C．x＜1D．x≠﹣1
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
2．（3分）用科学记数法表示的数﹣5.6×10﹣4写成小数是（ ）
A．﹣0.00056B．﹣0.0056C．﹣56000D．0.00056
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）．本题把数据﹣5.6×10﹣4中﹣5.6的小数点向左移动4位就可以得到．
【解答】解：把数据﹣5.6×10﹣4中﹣5.6的小数点向左移动4位就可以得到，为﹣0.00056．
故选：A．
【点评】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
3．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【分析】根据多边形每一个外角都是45°，利用外角和除以外角的度数可得多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数为360÷45＝8，
所以这个多边形是八边形，
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边的内角和外角，解题的关键是掌握多边形的内角与外角是邻补角的关系．
4．（3分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1B．﹣7ab2c3＝﹣abc•7bc2
C．m（m+3）＝m2+3mD．2x2﹣5x＝x（2x﹣5）
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义判断即可．
【解答】解：A．x2+2x+1＝（x+1）2，故A不符合题意；
B．﹣7ab2c3是单项式，不存在因式分解，故B不符合题意；
C．m（m+3）＝m2+3m是单项式乘多项式，故C不符合题意；
D．2x2﹣5x＝x（2x﹣5）是因式分解，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义，能够根据所给形式判断是否符合因式分解的变形是解题的关键．
5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，要得到结论△ABC≌△ADC，不能添加的条件是（ ）
A．BC＝DCB．∠ACB＝∠ACDC．AB＝ADD．∠B＝∠D
【分析】本题要判定△ABC≌△ADC，已知AC＝AC，∠1＝∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，AC＝AC，
A、添加SSA不能判定△ABC≌△ADE，故错误；符合题意；
B、添加∠ACB＝∠ACD，可根据AAS判定△ABC≌△ADC，故不符合题意；
C、添加AB＝AD，可根据SAS判定△ABC≌△ADC，故不符合题意；
D、添加∠B＝∠D，可根据AAS判定△ABC≌△ADC，故不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（3分）已知2x＝5，则2x+3的值是（ ）
A．8B．15C．40D．125
【分析】利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：∵2x＝5，
∴2x+3
＝2x×23
＝5×8
＝40．
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则并灵活运用．
7．（3分）若mx+6y与x﹣3y的乘积中不含有xy项，则m的值为（ ）
A．0B．2C．3D．6
【分析】根据题意把两个多项式相乘，再进行运算，其中不含xy项，则令xy项的系数为0，从而可求解．
【解答】解：由题意得：
（mx+6y）（x﹣3y）
＝mx2﹣3mxy+6xy﹣18y2
＝mx2+（﹣3m+6）xy﹣18y2，
∵不含有xy项，
∴﹣3m+6＝0，
解得：m＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是明确不含xy项，则其系数为0．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，若∠B＝α，∠C＝β，则∠ADC的度数为（ ）
A．12(β−α)B．180°−12α−12β
C．90°+12β−12αD．90°+12α−12β
【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和求得∠ADC．
【解答】解：∵∠B＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD=12∠BAC＝90°−12（α+β），
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝α+90°−12（α+β）＝90°+12α−12β，
故选：D．
【点评】此题考查了三角形内角和定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9．（3分）如图，△ABC≌△ADE，点D落在BC上，且∠B＝60°，则∠EDC的度数等于（ ）
A．45°B．30°C．60°D．75°
【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE＝60°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝60°，
∴∠EDC＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
10．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A．240°B．360°C．540°D．720°
【分析】根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．
【解答】解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，
在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，
∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故选：B．
【点评】此题考查了多边形的外角与内角、三角形的外角性质，熟记多边形的内角和公式及三角形的外角定理是解题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：（π﹣3.14）0＝ 1 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质：a0＝1（a≠0）得出答案．
【解答】解：（π﹣3.14）0＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
12．（3分）已知点A关于x轴的对称点B的坐标为（1，﹣2），则点A的坐标为 （1，2） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点A关于x轴的对称点B的坐标为（1，﹣2），
∴点A的坐标为：（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB的长为 9 ．
【分析】先根据D是BC的中点得出CD＝DB=12BC＝3，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD＝2CD＝6，进而求出AD+DB的长．
【解答】解：∵D是BC的中点，BC＝6，
∴CD＝DB=12BC＝3．
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝6，
∴AD+DB＝6+3＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．也考查了含30°角的直角三角形的性质，求出DB与AD是解题的关键．
14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，则点D到线段AB的距离为 2 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据题意求出CD，根据角平分线的性质求出DE，得到答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝6，BD＝2CD，
∴CD＝2，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，即点D到线段AB的距离为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．（3分）边长分别为m和2m的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 m2 ．
【分析】用两个正方形面积之和减去空白部分的三角形面积，列式并结合单项式乘多项式，去括号，合并同类项的运算法则进行化简．
【解答】解：阴影部分面积为：m2+（2m）2−12×2m（m+2m）−12×2m（2m﹣m）
＝m2+4m2﹣3m2﹣m2
＝m2，
故答案为：m2．
【点评】本题考查整式混合运算的应用，准确识图，掌握积的乘方运算法则（ab）n＝anbn以及整式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 2＜CD＜7 ．
【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出CD的取值范围．
【解答】解：已知等式整理得：
（a2﹣10a+25）+（b2﹣18b+81）＝0，
即（a﹣5）2+（b﹣9）2＝0，
∵（a﹣5）2≥0，（b﹣9）2≥0，
∴a﹣5＝0，b﹣9＝0，
解得：a＝5，b＝9，
∴BC＝5，AC＝9，
延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，
∵CD为AB边上的中线，
∴BD＝AD，
在△BCD和△AED中，
CD=ED∠CDB=∠EDABD=AD，
∴△BCD≌△AED（SAS），
∴AE＝BC＝a，
在△ACE中，AC﹣AE＜CE＜AC+AE，
∴AC﹣BC＜2CD＜AC+AE，即b﹣a＜2CD＜a+b，
∴b−a2＜CD＜a+b2，
则2＜CD＜7．
故答案为：2＜CD＜7．
【点评】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．（6分）计算：
（1）（25m2﹣15m3n）÷5m2；
（2）8a2•（a4﹣1）﹣（2a2）3．
【分析】（1）先利用多项式除以单项式法则展开，再计算单项式除以单项式即可；
（2）先利用单项式乘多项式法则和单项式乘方的运算法则计算，再计算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝25m2÷5m2﹣15m3n÷5m2
＝5﹣3mn；
（2）原式＝8a6﹣8a2﹣8a6
＝﹣8a2．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式除以单项式、单项式除以单项式、单项式乘多项式及单项式乘方的运算法则．
18．（6分）已知：如图，AE∥FD，AE＝FD，EB＝CF．求证：△ACE≌△DBF．
【分析】根据平行线的性质可得到∠E＝∠F，根据等式的性质由已知EB＝CF可得EC＝BF，从而可利用SAS来判定△ACE≌△DBF．
【解答】证明：∵AE∥DF，
∴∠E＝∠F．
∵EB＝CF，
∴EB+BC＝CF+BC．
即EC＝BF．
在△ACE和△DBF中，
AE=DF∠E=∠FEC=FB，
∴△ACE≌△DBF（SAS）．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题也考查了平行线的性质．
19．（6分）先化简，再求值：aa+1+3a+1a2−1，其中a＝2021．
【分析】先通分，再根据同分母的分式相加进行计算，化成最简分式后把a＝2021代入，即可求出答案．
【解答】解：aa+1+3a+1a2−1
=a(a−1)(a+1)(a−1)+3a+1(a+1)(a−1)
=a2−a+3a+1(a+1)(a−1)
=a2+2a+1(a+1)(a−1)
=(a+1)2(a+1)(a−1)
=a+1a−1，
当a＝2021时，原式=2021+12021−1=20222020=10111010．
【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20．（6分）一批学生志愿者去距学校8km的老人院参加志愿服务活动，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知骑车学生的速度是汽车速度的一半，求骑车学生的速度．
【分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，利用时间＝路程÷速度，结合骑车的同学比乘车的同学多用了15min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出骑车学生的速度．
【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，
依题意得：8x−82x=1560，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意．
答：骑车学生的速度为16km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．（6分）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．
求证：∠APB+∠DCE＝180°．
【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM＝CN，
在Rt△DCM与Rt△ECN中，
CM=CNCD=CE，
∴Rt△DCM≌Rt△ECN（HL），
∴∠DCM＝∠ECN，
∴∠MCN＝∠MCD+∠DCN＝∠ECN+∠DCN＝∠DCE，
∵∠PMC+∠PNC+∠APB+∠MCN＝90°+90°+∠APB+∠MCN＝360°，
∴∠APB+∠MCN＝180°，
∴∠APB+∠DCE＝180°．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键．
22．（8分）如图，在边长为单位1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），点A和点B分别在网格的格点上．
（1）分解因式2a2﹣18；
（2）若2a2﹣18＝0，且点A（a，2）在第二象限，点B（a+5，﹣1）在第四象限，请求出点A和点B的坐标，并在所给的网格中画出平面直角坐标系；
（3）在（2）的条件下，已知点A'（a，﹣4）是点A关于直线l的对称点，点C在直线l上，且△ABC的面积为6，直接写出点C的坐标．
【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式分解．
（2）先求a，再画直角坐标系．
（3）根据面积求点C的坐标．
【解答】解：（1）原式＝2（a2﹣32）
＝2（a+3）（a﹣3）．
（2）∵2a2﹣18＝0．
∴a2＝9．
∴a＝±3．
∵点A（a，2）在第二象限，点B（a+5，﹣1）在第四象限，
∴a＜0a+5＞0．
∴﹣5＜a＜0．
∴a＝﹣3．
∴A（﹣3，2），B（2，﹣1）．
直角坐标系如图所示：
（3）由（2）知：a＝﹣3．
∴A′（﹣3，﹣4）
∴直线l是线段AA′的垂直平分线
∴点B在直线l上，设C（x，﹣1），
则S△ABC=12BC•（yA﹣yC）＝6，
∴BC＝4．
∴x﹣2＝4或2﹣x＝4．
∴x＝6或x＝﹣2．
∴C（6，﹣1）或（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查因式分解和直角坐标系中点的坐标的计算，根据多项式特征选择正确的分解方法，结合象限求出a值是求解本题的关键．
23．（10分）已知△ABC中，∠B=12∠C＝α．
（1）尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
①作∠EAC的平分线AD；
②在AD上作点P，使△ACP是以AC为底边的等腰三角形，并求出∠APC的度数（用含α的式子表示）；
（2）在（1）所作的AD上是否存在着另外的点P，使△ACP也为等腰三角形，若有，请直接用含α的式子表示∠APC的大小；若没有，请说明理由．
【分析】（1）①利用尺规作出图形即可；
②作线段AC的垂直平分线，交AD于点P，连接PC，△APC即为所求；
（2）分两种情形：AP＝AC和CA＝CP分别求解即可．
【解答】解：（1）①如图，射线AD即为所求；
②如图，△ACP即为所求；
∵∠B=12∠C＝α，
∴∠C＝2α，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝3α，
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAC=12∠EAC=32α，
∴∠PAC＝∠PCA=32α，
∴∠APC＝180°﹣3α；
（2）存在．当AP＝AC时，∠APC＝∠ACP=12（180°−32α）＝90°−34α．
当CP＝AC时，∠APC＝∠CAP=32α，
综上所述，∠APC的值90°−34α或32α．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
24．（12分）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式(x−a)(x−b)x的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−（a+b），所以关于x的方程x+abx=a+b的解为x1＝a，x2＝b．
（1）理解应用：方程x2+2x=3+23的解为：x1＝ 3 ，x2＝ 23 ；
（2）知识迁移：若关于x的方程x+3x=5的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；
（3）拓展提升：若关于x的方程4x−1=k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．
【分析】（1）根据题意可得x＝3或x=23；
（2）由题意可得a+b＝5，ab＝3，再由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19；
（3）方程变形为x﹣1+4x−1=k﹣1，则方程的解为x﹣1＝t或x﹣1＝t2+1，则有t（t2+1）＝4，t+t2+1＝k﹣1，整理得k＝t+t2+2，t3+t＝4，再将所求代数式化为k2﹣4k+2t3＝t（t3+t）+4t3﹣4＝4（t3+t）﹣4＝12．
【解答】解：（1）∵x+abx=a+b的解为x1＝a，x2＝b，
∴x2+2x=x+2x=3+23的解为x＝3或x=23，
故答案为：3，23；
（2）∵x+3x=5，
∴a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19；
（3）4x−1=k﹣x可化为x﹣1+4x−1=k﹣1，
∵方程4x−1=k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，
则有x﹣1＝t或x﹣1＝t2+1，
∴t（t2+1）＝4，t+t2+1＝k﹣1，
∴k＝t+t2+2，t3+t＝4，
k2﹣4k+2t3
＝k（k﹣4）+2t3
＝（t+t2+2）（t+t2﹣2）+2t3
＝t4+4t3+t2﹣4
＝t（t3+t）+4t3﹣4
＝4t+4t3﹣4
＝4（t3+t）﹣4
＝4×4﹣4
＝12．
【点评】本题考查分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．
25．（12分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE=13∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
（1）直接写出图中除△ABC外的所有等腰三角形；
（2）求证：BD=12PC；
（3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当△DHG周长取最小值时，求∠HDG的度数．
【分析】（1）△ADC，△CPE都是等腰三角形．分别证明∠A＝∠ACD＝45°，∠CPE＝∠CEP＝67.5°，可得结论；
（2）如图1中，在线段DA上取一点H，使得DH＝DB，连接CH．利用全等三角形的性质证明BH＝EC，可得结论；
（3）如图2中，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的值最小，证明∠M+∠F＝67.5°，可得结论．
【解答】（1）解：△ADC，△CPE都是等腰三角形．
理由：∵AB＝AC，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣45°）＝67.5°，
∵∠ABE=13∠ABC，
∴∠ABE＝22.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝45°，
∴∠A＝∠ACD＝45°，
∴DA＝DC，
∴△ADC时等腰三角形，
∵∠CPE＝∠BPD＝90°﹣∠ABE＝67.5°，
∴∠CEP＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CPE＝∠CEP＝67.5°，
∴CP＝CE，
∴△CPE时等腰三角形．
（2）证明：如图1中，在线段DA上取一点H，使得DH＝DB，连接CH．
∵CD⊥BH，DB＝DH，
∴CB＝CH，
∴∠CBH＝∠CHB＝67.5°，
∵∠BCE＝∠CEB＝67.5°，
∴∠CBH＝∠CHB＝∠BCE＝∠BEC＝67.5°，
∵BC＝CB，
∴△BCH≌△CBE（AAS），
∴BH＝EC，
∴BD=12EC=12PC．
（3）解：如图2中，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，
∵DM⊥CB，
∴∠CDM＝90°﹣∠BCD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵DA＝DC，DF⊥AC，
∴∠CDF=12∠CDA＝45°，
∴∠MDF＝45°+67.5°＝112.5°，
∴∠M+∠F＝180°﹣112.5°＝67.5°，
∵GD＝GM，HF＝HD，
∴∠M＝∠GDM，∠F＝∠HDF，
∵∠DGH＝∠M+∠GDM＝2∠M，∠DHG＝∠F+∠HDF＝2∠F，
∴∠DGH+∠DHG＝2（∠M+∠F）＝135°，
∴∠GDH＝180°﹣（∠DGH+∠DHG）＝45°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．
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