江苏省无锡市东林中学2025-2026学年上学期九年级数学1月月考试卷-自定义类型

这是一份江苏省无锡市东林中学2025-2026学年上学期九年级数学1月月考试卷-自定义类型，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（ ）
A. 2B. ﹣2C. 2或﹣2D.
2.下列一元二次方程中，有实数根的是（）
A. x2﹣x+2＝0B. x2+x﹣1＝0C. x2﹣2x+3＝0D. x2+4＝0
3.若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（ ）
A. 30°B. 50°C. 40°D. 70°
4.已知m，n是一元二次方程2x2-x-7=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（ ）
A. 7B. 4C. -2D. -7
5.如图，已知是⊙的内接三角形，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，csA＝，则BC的长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 9
7.在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手（每两人只握一次），大家一共握了21次手，设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意得方程（ ）
A. x（x+1）=42B. x（x-1）=42C. x（x-1）=21D. x（x+1）=42
8.对于二次函数y＝－4（x＋6）2－5的图象，下列说法正确的是 （ ）
A. 图象与y轴交点的坐标是（0，－5）；B. 对称轴是直线x＝6
C. 顶点坐标为（－6，5）；D. 当x＜－6时，y随x的增大而增大
9.如图1，在菱形ABCD中，∠A=120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（-1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，-1），E（5，5）.若抛物线y=a（x-2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，共27分。
11.若，则 ．
12.若圆O的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（－4，3），则点P与⊙O的位置关系是 ．
13.圆内接四边形的内角，则 度．
14.如图，⊙O的弦AB＝8，直径CD⊥AB于M，OM:MD＝3:2，则⊙O的半径为 ．
15.若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积为 ．
16.如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝30°，则这个多边形的边数是 ；若这个多边形的边长为2，则多边形的面积是 ．
17.如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ．
18.如图，正方形的边长为2，为边上一动点，连接，，以为边向右侧作正方形．
(1) 若，则正方形的面积为 ．
(2) 连接，，则面积的最小值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共8分。
19.计算：
(1)
(2)
20.解方程：
(1)
(2) （x+3)(x－1)＝5
四、解答题：本题共8小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题4分)
已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
(1) 证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
(2) m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
22.(本小题4分)
如图，中，，是的中点，于.
(1) 求证：；
(2) 当时，求的度数.
23.(本小题6分)
为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息．
【数据收集】
八年级：9，7，11，8，7，5，6，8，6，13；
九年级学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下：
【数据整理、分析】
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 填空： ， ；
(2) 杨洋对李刚说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们年级中的排名比你在你们年级的排名靠前．”观察上表可知，杨洋是 年级学生．（填“八”或“九”）
(3) 你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出两条理由．
24.(本小题4分)
随着国产AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界对人工智能的关注度持续飙升．为了让更多爱好者深入了解人工智能技术，某知名科技论坛精心策划了四场网络直播，分别以“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播．甲、乙两位同学准备各自随机选择一场直播深入学习，随后分享收获，两位同学选择四个主题的可能性均相同，且相互不影响．
(1) 甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是 ；
(2) 请用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的概率．
25.(本小题4分)
如图，是一个纸板，其中，，．
(1) 操作（1）：可以剪出一个直径在直角边上的最大半圆，请用无刻度直尺和圆规作出符合条件的半圆;
(2) 操作（2）：若将（1）中的半圆剪下，围成一个圆锥的侧面，剩下部分能再剪出一个完整的圆作为圆锥的底面吗？若能，求出底面半径；若不能，请说明理由．
26.(本小题4分)
如图，是的直径，弦垂直半径，为垂足，，连接，，过点作，交的延长线于点．
(1) 求的半径；
(2) 求证：是的切线；
(3) 若弦与直径相交于点，当时，求图中阴影部分的面积．
27.(本小题4分)
甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费；
在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题：
(1) 分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？
(2) 甲公司最多比乙公司利润多多少元？
(3) 甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．
28.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，将沿所在直线翻折，得到，连接．
(1) 点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(2) 若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．
(3) 点、是（2）中抛物线上的两点，试比较y1与y2的大小．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】点P在圆上
13.【答案】90
14.【答案】5
15.【答案】
16.【答案】六

17.【答案】
18.【答案】【小题1】
5
【小题2】

19.【答案】【小题1】
解：原式；
【小题2】
解：原式．

20.【答案】【小题1】

，

【小题2】
（x+3)(x－1)＝5

21.【答案】【小题1】
证明：．
∵不论m为何值，，即．
∴不论m为何值，方程总有实数根．
【小题2】
解关于x的一元二次方程，得
，
∴，．
∵方程的两个根都是正整数，
∴是正整数，
∴或．
又∵方程的两个根不相等，
∴，
∴．

22.【答案】【小题1】
在和中，∵，，
∴∽，∴，∴；
【小题2】
∵是中点，∴，∵，∴.
∵，∴∽，∴.
∵，∴.

23.【答案】【小题1】
7.5
9
【小题2】
八
【小题3】
解：九年级的学生体育锻炼情况总体更好．理由如下（答案不唯一）：
①中位数来看，九年级（小时）高于八年级（小时），表明九年级一半以上的学生达到较高锻炼时长；
②从方差来看，九年级方差（）小于八年级（），说明九年级数据更集中，波动更小．

24.【答案】【小题1】
【小题2】
解：列表如下：
如上表，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种，
（甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”）．

25.【答案】【小题1】
图中以点为圆心的半圆是所求作的图形．

【小题2】
如图所示，

在中，，，
，
设圆锥底面半径为，
半圆的弧长为，
圆锥底面半径
设的半径为，
在中，，，
，得；
不能剪出圆锥的底面．

26.【答案】【小题1】
解：连结，如图:
∵垂直，，
∴，，
∴，
∴，，
由勾股定理得；即圆的半径为．
【小题2】
∵，
∴，，
∴，即，
∴是的切线；
【小题3】
再连结，
当时，，
∴，
．

27.【答案】【小题1】
解：设每个公司租出的汽车为辆，
由题意可得：，
而，
两公司的月利润相等可得：，
解得：或舍，
当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等；
【小题2】
解：设两公司的月利润分别为，，月利润差为，
则，
，
当甲公司的利润大于乙公司时，，
，
∴当时，函数有最大值18050，
∴甲公司最多比乙公司利润多18050元；
【小题3】
解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为，
对称轴为直线，
只能取整数，且当两公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，
∴，
解得：．

28.【答案】【小题1】
【小题2】
∵，
∴对称轴为直线，
设D的坐标为，
∵O和D关于直线对称，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴，
设点，
∴，
解得：，
∴，
∴代入中，
解得：，
∴；
【小题3】
由（2）得，对称轴为，
∵、，
∴，
∴当时，即时，，
当时，，
∴；
当时，，
∴．
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
8
a
8
九年级
8
b
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元．
甲乙
A
B
C
D
A
B
C
D