重庆市2026届高三数学上学期周考试题含解析

这是一份重庆市2026届高三数学上学期周考试题含解析，共19页。
注意事项：
1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm 黑色签字笔答题；
3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答
题无效；
4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由交集运算即可求解.
【详解】因为 ，
故 ，
故选：D
2. 已知 ，则 （ ）
A. -1 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由共轭复数的定义求解.
【详解】由题意 则 .
故选：B
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3. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解分式不等式求 的解，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系.
【详解】由 或 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
4. 已知抛物线 的焦点为 为 上一点，且 的横坐标为 2，则 （ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由焦半径公式计算即可．
【详解】由抛物线方程知 ，
由题意 ，
故选：A．
5. 已知圆锥底面半径为 ，母线长为 ，若球的半径与圆锥的高相等，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出圆锥的高，再利用球的表面积公式求解即可.
【详解】因为圆锥的底面半径 ，母线 ，所以圆锥的高 ，
因为球的半径与圆锥的高相等，所以球的半径 ，
所以该球的表面积 ，
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故选：A
6. 曲线 在其与 轴 交点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求 在其与 轴的交点为 ，再根据导数的几何意义求切线方程.
【详解】令 ，解得 ，
故曲线 在其与 轴的交点为 ，
函数 的导数为 ，
所以函数在 处的导数即为切线斜率： ，
根据点斜式写切线方程为： ，即 ，
故选：A.
7. 若函数 的图象向右平移 个单位可得到函数 的图
象，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移得到 ，根据已知建立等式 ，
根据 解出 的值.
【详解】由 的图象向右平移 个单位，可得函数
的图象，
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因 ，
依题意可得 ，
解得 ，
因 ，故 .
故选：C.
8. 已知函数 ，若存在 ，使得 成立，则 的取值范围（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可将 可化为 ，又函数 为减函数，则
，分离参数得 ，求解即可.
【详解】因为函数 ，
可得函数 为减函数，
又当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以 可化为 ，
则 ，即 ，
若存在 ，则 ，
解得 或 ，
所以 的取值范围为 .
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故选：C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 设 为正数，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式的性质，基本不等式，函数单调性依次分析选项即可.
详解】对于 A，取 ， ，则 ， ，则 ，故 A 错误；
对于 B，由于 ，所以 ，由于 ，当且仅当 时取等号；
所以 ，则 ；故 B 正确；
对于 C，由于 ，则 ，
由于 在 上单调递增，所以 ；故 C 正确；
对于 D，令 ，则 ，
所以 在 上单调递减；由于 ，
所以 ，即 ，则 ，故 D 错误；
故选：BC
10. 如图，在多面体 中，四边形 是矩形， ， 平面 ， 为
的中点， ，则（ ）
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A.
B. 平面
C. 平面 平面
D. 四棱锥 与 的体积之比为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法依次讨论 ABC 选项；直接计算对应四棱锥的体积判
断 D 选项.
【详解】解：因为 平面 ，四边形 是矩形，
所以 两两垂直，故如图建立空间直角坐标系，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面
设 ，
则
对于 A， ， ，故 ，即
所以 ，即 A 选项正确；
对于 B， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以 平面 不成立，故 B 选项错误；
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对于 C， ， ，
设平面 法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，即
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以平面 平面 ，故 C 选项正确.
对于 D， 平面 ， 平面 得 ，
由四边形 是矩形得 ，又 ，故 平面 ，
由 ，四边形 是矩形得 ，由于 为 的中点，
所以四棱锥 的体积为： ；
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面
因为 平面 ，
四棱锥 的体积为： ，
所以四棱锥 与 的体积之比为 ，故 D 选项正确；
故选：ACD
11. 如图，双曲线的光学性质: 是双曲线的左、右焦点，从 发出的光线 m 射在双曲线右支上一点 P，
经点 P 反射后，反射光线的反向延长线过 ；当 P 异于双曲线顶点时，双曲线在点 P 处的切线 平分
.若双曲线 C 的方程为 ，则下列结论正确的是（ ）
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A. 若射线 n 所在直线的斜率为 k，则
B. 当 时，
C. 当 时，
D. 若点 T 的坐标为 ，直线 与 C 相切，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，由题意直线 与双曲线有两个交点，结合渐近线斜率即可判断；对于 B，结合双曲线定
义勾股定理进行验算即可判断；对于 C，由双曲线定义、余弦定理以及三角形面积公式即可判断；对于 D，
由双曲线定义结合角平分线定理即可验证.
【详解】因为双曲线 C 的方程为 ，所以 ，渐近线方程为 .
对于 A，因为从 发出的光线 m 射在双曲线右支上一点 P，经点 P 反射后，反射光线的反向延长线过 .
所以直线 与双曲线有两个交点，所以 ，故 A 正确；
对于 B，由双曲线的定义，结合图形，可得 ，又 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，故 B 正确；
对于 C，设 ，在 中，由余弦定理得
，
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又 ， ，
所以 ，
，故 C 错误；
对于 D，因为 平分 ，由角平分线定理知， ，
所以 ，又 ，所以 ，解得 ，故 D 正
确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：充分利用双曲线定义以及解三角形知识、灵活转换利用已知条件，并通过数学结合思
想是顺利解题的关键.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 记 为等差数列 的前 项和.若 ，则
【答案】100
【解析】
【分析】由条件结合等差数列的前 项和公式可得 ，再用等差数列的定义求公差 ，最后用
等差数列的前 项和公式求 即可.
【详解】因为 为等差数列 的前 项和，设等差数列 的公差为 .
所以 ，故
又 ，故 ，
所以 .
故答案为：100.
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13. 的展开式中 的系数为__________（用数字作答）.
【答案】
【解析】
【分析】由二项展开式通项公式即可求解.
【详解】 的通项公式为 ，
令 ，则 ，
则 系数为 ，
故答案为：
14. 已知 且 ，函数 在区间 的最小值为 3，则 在区间
的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得 ，利用对称性和单调性可得 在区间 的最大值.
【详解】由 ，则
，
所以 ，
当 时， ，所以 ，
由于当 时， ，所以当 时，
；
故答案为：
四、解答题：本题共 5 题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
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15. 基孔肯雅热（chikungunya fever）是由基孔肯雅病毒引起，主要通过伊蚊叮咬而传播，以发热、皮疹及
关节疼痛为主要特征的急性传染病.为更好地预防基孔肯雅热，某校举办了相关知识竞赛，满分为 100 分，
所有参赛学生的成绩都不低于 50 分.现从中随机抽取了 50 名学生的成绩，按照 ， ，
， ， 分成 5 组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的 的值，并估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用
该组区间的中点值作代表）；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于 70 分的学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，
求这 2 人来自不同的组的概率.
【答案】（1） ，平均数 （分），中位数 （分）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为 1 求 ，根据平均数和中位数的估算方法求解可得；
（2）求出各层人数，使用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.
【小问 1 详解】
由图可得： ，解得 ，
所抽取 50 名学生成绩平均数为：
（分），
由于前两组的频率之和为 ，前三组的频率之和为 ，
所以，中位数 ，由题意可得 ，
解得 （分）.
【小问 2 详解】
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由（1）可知，后三组中的人数分别为 15，10，5，
故这三组中所抽取的人数分别为 3，2，1，
记成绩在 这组的 3 名学生分别为 ， ， ，成绩在 这组的 2 名学生分别为 ， ，成绩
在 这组的 1 名学生为 ，
则从中任抽取 2 人的所有可能结果为
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 ，共 15 种.
其中来自相同组的有 、 、 、 共 4 种，于是来自不同组的有 11 种.
故这 2 人来自不同组的概率为 .
16. 如图，在平面四边形 中， .
（1）若 ，求 ；
（2）求 .
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）在 中先由三角函数定义求出 ，再在 中由余弦定理可得；
（2）在 中，由正弦定理可得 ，在 中由三角函数的定义求出 ，最后计
算可得.
【小问 1 详解】
若 ， ，则 ，
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所以在 中， ，整理可得 ，
解得 （舍）或 3，
所以 .
【小问 2 详解】
中，由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 为等腰三角形，
所以 ，
所以 .
17. 如图，正四棱柱 ，底面边长 ，侧棱 ，点 P 在线段 BD 上运动．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）若 ，求直线 和平面 ABCD 的所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）直接用空间向量判断线面关系可证；
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（2）建立合适的空间直角坐标系，求出 和相关平面法向量，最利用线面角的空间向量求法即可得到答
案.
【小问 1 详解】
以 为原点，以射线 为 轴､ 轴､ 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．如图：
设 ，直线 的一个方向向量为
，
又 ，设 是平面 的一个法向量，
则 ，得 ，令 ，则 .
于是平面 的一个法向量 ，
于是 ，所以 ，又直线 平面 ，
所以直线 平面 ．
【小问 2 详解】
设 为所求角，由（1）可知， ， ，
解得 （负值舍去），
平面 的一个法向量 ， ，
， ，
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于是 .
18. 已知椭圆 的左顶点为 ，离心率为 为坐标原点，且 .
（1）求 的方程；
（2）设 为线段 （不含端点）上一点，过 且斜率为 1 的直线交 于 两点， 在第三象限，设
为线段 的中点.
（i）证明： 为定值；
（ii）若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）（i） ;
（ii） .
【解析】
【分析】（1）由长半轴 及离心率 可计算得 ，进而得到椭圆方程；
（2）（i）运用点差法可以得到弦所在直线的斜率与弦中点与坐标原点连线所在直线的斜率之积为定值，进
而发现弦的中点在定直线上，再运用正弦定理得到两边之比不变；
（ii）已知 的大小，角的一边 的斜率，可运用斜率夹角公式得到另一条边 的斜率，再将直线
与 联立得到点 坐标，代入椭圆方程确定参数，再联立弦所在直线与椭圆方程，根据韦达定理，
求出点 纵坐标，即可得到三角形面积.
【小问 1 详解】
由题可知， ,因此 ,因此椭圆 .
【小问 2 详解】
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（i）设 ,则过点 且斜率为 1 直线可设为 ,设 ,且
.
点 都在椭圆上，因此有 ,两式相减，得 ,
两边同除 ,得：
,因此 ,
即点 在定直线 上，因此 的大小为定值，且 .
在 中，由正弦定理可知 ,变形可得
故 为定值 .
（ii）
由 利用斜率夹角公式：设 的斜率为 , 的斜率 ,则
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,因 在第三象限， ,解得 ,即 ,故 .
又因为 ,联立得 将其代入椭圆方程 ,得： ,解得 ,
因为 故 .
联立直线 与椭圆方程 ,得
由韦达定理可知， ,因此 .
故 的面积为 .
19. 已知函数 .
（1）若 ，求函数 在点 处的切线方程；
（2）设函数
(ⅰ)求函数 的单调区间；
(ⅱ)若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）(ⅰ)答案见解析；(ⅱ) .
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点 处的切线方程.
（2）(ⅰ)求导，分类讨论可得函数的单调区间；
(ⅱ)问题转化为 与 有两个交点.设 ， ，分析函数的单调性和极值，
作出函数的大致图象，数形结合，可求 的取值范围.
【小问 1 详解】
当 时， ，
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由 ，可得 .
所以函数 在点 处的切线方程为： ，即 .
【小问 2 详解】
， .
(ⅰ)因为 ， .
当 即 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 即 时，由 ；由 .
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
(ⅱ)由 ， 可得 ， .
设 ， ，则 .
由 ；由 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
且当 时， ； ；当 时， ,
当 时， ;当 时， .
作出函数 的大致图象如下：
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要使 有两个零点，需使 与 有两个交点，由图知 ，解得 .
所以当 时，函数 有两个零点.
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