浙江省嘉兴市2025_2026学年高一数学上学期10月阶段性测试试卷含解析

这是一份浙江省嘉兴市2025_2026学年高一数学上学期10月阶段性测试试卷含解析，共16页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分， 已知函数 则函数定义域为， 已知 ，则下列正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作
答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效.
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数 定义域可化简集合 B，然后由交集定义可得答案.
【详解】 .
则 .
故选：B
2. 命题 ， 的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】命题“ ， ”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“ ， ”的否定是： ， .
故选：B
3. 已知 ， 一元二次方程 有一个正根，一个负根，则 p 是 q 的（ ）．
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A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】因为一元二次方程 有一个正根，一个负根，
所以 ，
因此由 一定能推出 ，由 不一定能推出 ，
所以 p 是 q 的充分不必要条件，
故选：A
4. 已知 x，y 为正实数，则 的最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】将原式变形 ，换元设 ，然后利用基本不等式可求得结果.
【详解】由题得 ，设 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
所以 的最小值为 6．
故选：C．
5. 已知函数 则函数定义域为（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】根据根式、分式的性质列不等式求函数的定义域.
【详解】由解析式知 ，则 或 ，
所以函数的定义域为 .
故选：C
6. 已知函数 是定义在 上的偶函数，满足 在 上单调递增，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由偶函数及其单调性确定 的取值，再解一元二次不等式，然后可得.
【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数，满足函数 在 上单调递增，且 ，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
所以当 ；
当 ；当 ；当
时， 成立.
故选：D.
7. 当 时，关于 x 的不等式 有解的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】先求出当 时，关于 x 不等式 有解的充要条件，再根据充分不必要
条件与充要条件的关系得出答案.
【详解】当 时，关于 x 的不等式 有解，
即 在 上有解.令 ， ，
所以 ，则 ，
代入 得 ，
当且仅当 时取等号，此时 ， 的最小值为 6.
故当 时，关于 x 的不等式 有解的充要条件是 ，
所以满足题意的充分不必要条件是 的真子集，选项中只有 C 符合
故选：C
8. 方程 有唯一解，则实数 k 的范围是 ( )
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数与方程的思想，将问题转化成直线与半圆有一个公共点的问题，借助于图象和计算即可
求得参数范围.
【详解】由题意知，直线 与半圆 只有一个公共点．
作出两函数的图象，由图可知，考虑三种临界情况：①直线与半圆相切；②直线经过两点；③直线经过点
.
对于①，可由圆心 到直线 的距离 ，解得 ，由图可得 ，即
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；
对于②，将点 代入 ，解得 ；
对于③，将点 代入 ，解得 .
依题意，方程 有唯一解等价于 或 .
故选：D.
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
9. 已知 ，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的性质可判断 ACD，举反例排除 B，从而得解.
【详解】对于 ACD，因为 ，
所以 ， ， ，故 ACD 正确；
对于 B，取 ，则 ，故 B 错误.
故选：ACD.
10. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 若 ，则
B. ，当 时，
C. 不等式 成立的一个充分不必要条件是 或
D. 函数 的最小值为 3
【答案】ACD
【解析】
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【分析】分别对每个选项进行分析判断，根据不等式的性质、充分不必要条件的定义以及函数最值的求解
方法来确定每个命题的真假.
【详解】对 A，由 知 ，结合 得 ，A 选项正确；
对 B，因为 ，由 ，故 ， ，B 选项错误；
对 C，不等式 的解集为 ，条件 是其真子集，C 选项正确；
对 D，由题可得 ，由 ，得 ，根据均值不等式， ，当
且仅当 即 时取等号，所以 ，最小值为 ，D 选项正确.
故选：ACD.
11. 设非空集合 满足：当 x∈S 时，有 x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ）
A. 若 m=1，则 B. 若 ，则 ≤n≤1
C. 若 ，则 D. 若 n=1，则
【答案】BC
【解析】
【分析】先由非空集合 满足：当 x∈S 时，有 x2∈S，判断出 或 ， ，
对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可
【详解】∵非空集合 满足：当 x∈S 时，有 x2∈S.
∴当 m∈S 时，有 m2∈S，即 ，解得： 或 ；
同理：当 n∈S 时，有 n2∈S，即 ，解得： .
对于 A: m=1,必有 m2=1∈S，故必有 解得： ，所以 ，故 A 错误；
对于 B: ,必有 m2= ∈S，故必有 ，解得： ，故 B 正确；
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对于 C: 若 ，有 ，解得： ，故 C 正确；
对于 D: 若 n=1，有 ，解得： 或 ，故 D 不正确.
故选：BC
【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 若 ，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】 根据元素与集合的关系求出 的值，并根据集合中元素的互异性检验.
【详解】因为 ，所以 ，或 .
当 时， ， ，所以不合题意；
当 时， .
当 时，集合 ，符合题意， 不合题意.
故答案为: .
13. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可.
【详解】函数 的定义域为 ，
则 ，则 或
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则函数 的定义域为 .
故答案为：
14. 已知 ， ， ，则 的最小值为__________.
【答案】 或
【解析】
【分析】由条件和基本不等式直接可得.
【详解】由 ， ， ，得 .
，
当且仅当 ，即 ，由 ，得 时不等式等号成立.
所以当 时， 有最小值
故答案为： .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分）
15. 已知集合 ， ．
（1）当 时，求 ， ；
（2）若 ，求 a 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） 或
【解析】
【分析】（1）利用交集和并集的定义即可求解；
（2）结合补集运算以及子集的定义，利用数轴讨论即可得解.
【小问 1 详解】
当 时，
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∴ ， .
【小问 2 详解】
∵ 或 ，又 ，
∴ 或
解得 或 .
16. 设函数 ，其中 .
（1）若命题“ ， ”为假命题，求实数 的取值范围；
（2）判断 在区间 上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.
【答案】（1）
（2） 在区间 上单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可推出“ ， ”为真命题，结合判别式列不等式，即可求得答
案；
（2）由题意可得 的表达式，判断其单调性，利用函数单调性的定义，即可证明结论.
【小问 1 详解】
因为命题“ ， ”为假命题，
所以“ ， ”为真命题，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
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【小问 2 详解】
在区间 上单调递减.证明如下：
，且 ，
则
，
因为 ，且 ，
所以 ， ， ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 在区间 上单调递减.
17. 利用一堵长 8m，高 3m 的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽
度固定为 3m．已知仓库三个侧面的建造成本为 900 元/ ，仓库底面的建造成本为 600 元/ ．整个仓库
的建造成本预算为 32400 元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为 a，b（单位：m）．
（1）求 a 与 b 满足的关系式；
（2）求仓库占地（即底面）面积 S 的最小值；
（3）求仓库的储物量（即容积 V）的最大值．
【答案】（1） ，其中 ， ．
（2）
（3）
【解析】
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【分析】（1）根据题设有 ，化简整理可得关系式；
（2）根据（1）可得 ，结合对应函数的单调性求最小值；
（3）解法一：应用基本不等式有 ，解一元二次不等式求得 ，结合
求最大值；
解法二：根据已知得 ，再应用基本不等式求最大值.
【小问 1 详解】
由题设 ，则 且 ；
【小问 2 详解】
由 ，得 ，
易知 S 是关于 b 的减函数，所以当 b 取最大值 3m 时，S 取最小值 ．
故仓库占地面积 最小值为 ，此时 ．
【小问 3 详解】
解法一：由 ，得 ．
因为 （当且仅当 时取等号）．
所以 ，故 ，解得 ，
故 （当且仅当 时取等号）．
所以仓库容积 的最大值为 ，此时 ．
解法二：由 ，得 ．
故 ．
因为 （当且仅当 时取等号）．
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所以 （当且仅当 时取等号）．
故仓库容积 的最大值为 ，此时 ．
18. 已知函数 （ ）.
（1）若不等式 恒成立，求 m 的取值范围；
（2）解不等式 .
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由不等式 恒成立，转化为 恒成立，分类讨论，结合二次
函数的性质列出不等式组，即可求解；
（2）由不等式 ，得到 ， 结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可
求解；
【小问 1 详解】
当 时， ，不满足 恒成立，舍去；
当 时，由二次函数的性质可得 ，
解得 ，
所以 m 的取值范围为 .
小问 2 详解】
由不等式 ，可得 ，
即 ，
若 时，不等式即为 ，解得 ，不等式的解集为 ；
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若 时，不等式可化为 ，
①当 时，不等式等价于 ，解得 或 ，
不等式的解集为 ；
②当 时，不等式等价于 ，
当 时，即 时，解得 ，不等式的解集为 ；
当 时，即 时，解得 ，不等式的解集为 ；
当 时，即 时，解得 ，不等式的解集为 ，
综上可得：当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
19. 定义 ．
（1）用解析式表示 ，并写出 的定义域：
（2）证明： ；
（3）设 ．若对任意 ，都存在
，使得 ，求实数 的取值范围．
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【答案】（1） ，定义域为 ；
（2）证明见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）按 的大小分类，得到 的解析式；
（2）按 的大小分类证明；
（3）令 ， ，由第（2）小问知：
，然后把题意转化 都大于等于 2，对任意
恒成立，可得答案.
【小问 1 详解】
设 ， .
令 得： ，
，
，解得 或 ，
由于 是开口向上的二次函数（二次项系数为正），
当 或 时， ，故 ；
当 时， ，故 .
因此， ，定义域为 .
【小问 2 详解】
证明：情况一：当 时，
等式右边 ；
情况二：当 时， ，
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等式右边 .
综上，等式成立.
【小问 3 详解】
依题意知： 在 上的值域是 在 上的值域的子集，
由于 在 上单调递增，值域为 .
因此，只需满足对任意 ，有 .
，
，
，
令 ， ，
，
由（2）知： ，
要使 对任意 恒成立，
又 对任意 恒成立，
所以只需 对任意 恒成立，
易知：当 时，不成立；
当 时， ，
故 .
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