浙江省嘉兴市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试题含解析

这是一份浙江省嘉兴市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试题含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由交集运算的定义可知.
【详解】由交集运算可知，.
故选：D
2. 已知命题，则是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由命题的否定的定义即可得解.
【详解】已知命题，则是.
故选：B.
3. 若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可.
【详解】依题意知：，，
因为是的必要不充分条件，
所以⫋，所以，解得.
故选：C
4. 设，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】原式，
由于，则，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，
故当时，原式最大值为1，
故选：B.
5. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由，得，所以，解得，或，所以函数的定义域为．
故选：C．
6. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，解一元二次不等式及绝对值不等式即可求解.
【详解】，即，即，
可得，解得.
故选：.
7. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用分离参数法变形为，然后利用基本不等式求得函数的最值，即可求解.
【详解】由题可得，
又因为，当且仅当，即时取等号，
又因为不等式在上有解，
所以，故A正确．
故选：A.
8. 已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出图形，得到，，，进一步将所求转换为二次函数的值域即可.
【详解】如图所示，
，
设，，
则，，是方程，即的两个正根，所以，
令，解得或，
所以，由题意，
所以的取值范围是.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式性质即可对A判断求解；当时，即可对B判断求解；利用不等式性质即可对C，D判断求解.
【详解】对于A：由，则，所以，故A正确；
对于B：当时，，故B错误；
对于C：由，则，故C正确；
对于D：由，可得，
且由已知得，得到，故D正确；
故选：ACD.
10. 已知满足，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】由，解不等式可判断，由，解不等式可判断；，利用换元法及基本不等式求解可判断；，利用换元法及基本不等式求解可判断.
详解】对于：，移项可得，
所以，即，即，
解得，又因为，所以，故错误；
对于：，
即，解得或（舍），故正确；
对于：，
令，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，故错误；
对于：，
令，则，，
所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.故正确.
故选：.
11. 设为非空集合，定义集合的运算，则以下正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则}
C. 若，非空集合满足，则
D. 若非空集合满足，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对于AB，由不等式的性质即可判断；对于C，由集合相等的概念即可判断；对于D，令即可判断.
【详解】对于A，若，，则，
所以，，故A正确；
对于B，若，，则，
所以，所以，故B错误；
对于C，设，，则，
所以只能，解得，所以，故C正确；
对于D，若， 则对任意非空集合，总有，所以不一定有，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，且，则实数的值为______________．
【答案】3
【解析】
【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案.
【详解】因为，所以分为以下两种情况：
①或，当时，集合满足题意；
当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去；
②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去；
综上所述，.
故答案为：3.
13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出不等式组求解即可.
【详解】已知函数的定义域为，则要使得函数有意义，
则当且仅当，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14. 已知实数满足且，则的最小值为_____________________．
【答案】
【解析】
【分析】令，将条件转化为关于的式子，再利用基本不等式求解即可.
【详解】令，则，
因，则，
因，则，
则
，
等号成立时，即，
则的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集的定义求解即可；
（2）讨论B是空集与B不是空集两种情况即可.
【小问1详解】
当时，集合，
根据并集的定义，可得.
【小问2详解】
当时，，解得，此时满足；
当时，，同时因为，所以，
解得，
综上，的取值范围是.
16. 已知集合，集合，命题，命题，．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据为真命题列不等式，由此求得的取值范围.
（2）求得均为假命题时的取值范围，进而求得命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围.
【小问1详解】
若为真命题，则，所以，所以.
【小问2详解】
当为假命题时，即“”为真命题，
所以，
当时，，等号成立当且仅当，
所以的取值范围为，
由（1）知命题为假命题时，的取值范围为.
所以当均为假命题时的取值范围为，
所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或.
17. 如图，某厂商计划设计一个正方形地砖，图案的花纹由两个完全相同的矩形和构成，且矩形的面积为．灰色部分（图中四个矩形）的造价为100元；中心部分（图中黑色部分）的造价为140元：白色部分（图中八个三角形）的造价为40元．设的长度为（单位：）．试求：
（1）地砖的面积（单位：），并计算的最小值；
（2）当为何值的时候，单块地砖的造价最小，并求的最小值．
【答案】（1）2
（2），元
【解析】
【分析】（1）求出的表达式，再利用基本不等式求出最值即可；
（2）先求出各个区域面积，再求出M的表达式，利用基本不等式求出最值即可.
【小问1详解】
在等腰直角三角形中，，同理，
由矩形的面积为可得，
等腰直角三角形中，，
则，
则，，
由基本不等式，当且仅当时等号成立，
所以时，.
小问2详解】
由题意，黑色部分面积为，灰色部分面积为1，
则白色部分面积为，
，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
所以当时，元.
18. 设．
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围：
（2）若，设，比较与的大小，并说明理由：
（3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根号里面大于等于0，由二次函数开口向上，求解即可；
（2）作差法比较大小即可；
（3）分离参数，恒成立问题转化为最值问题，换元后结合基本不等式来求解即可.
【小问1详解】
要使在R上有意义，则，解得，
故实数的取值范围是.
【小问2详解】
当时，，
当时，，所以；
当且时，，所以，即；
所以，当时，；当且0时，.
【小问3详解】
，
移项得，
因为，所以，两边同时除以得，
令 ，则，则恒成立，
根据基本不等式（当且仅当，即时取等号），
所以.
19. 定义．
（1）用解析式表示，并写出的定义域：
（2）证明：；
（3）设．若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1），定义域为；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）按的大小分类，得到的解析式；
（2）按的大小分类证明；
（3）令，，由第（2）小问知：，然后把题意转化为都大于等于2，对任意 恒成立，可得答案.
【小问1详解】
设 ，.
令得：，
，
，解得 或 ，
由于 是开口向上二次函数（二次项系数为正），
当 或 时，，故 ；
当 时，，故 .
因此，，定义域为 .
【小问2详解】
证明：情况一：当时，
等式右边；
情况二：当时，，
等式右边.
综上，等式成立.
【小问3详解】
依题意知：在上的值域是在上的值域的子集，
由于 在 上单调递增，值域为 .
因此，只需满足对任意 ，有 .
，
，
，
令，，
，
由（2）知：，
要使对任意 恒成立，
又对任意 恒成立，
所以只需对任意 恒成立，
易知：当时，不成立；
当时，，
故.