吉林省白山市2026届高三上学期一模考试数学试卷含解析（word版）

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命题人：金鹏娟 审核人：郑寒 祝本风 王力斌
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡上交．
4．本卷主要命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数导数及其应用，三角函数，平面向量与复数，数列，解三角形，立体几何，解析几何．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用具体函数的定义域的求法把集合具体化，再根据集合的运算法则可得答案.
【详解】要使 有意义，只需，
即 ，所以 ；
又因为 ，
所以.
故选：C
2. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将垂直转化为数量积为零计算即可.
【详解】，，
，
故选：D
3. 直线与直线之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】将变形为，
故两直线的距离为，
故选：B
4. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先确定的取值范围，再将转化为同指数的幂函数形式，结合幂函数与指数函数的单调性，比较、的大小，进而确定三者的大小关系.
【详解】由，得，即.
由，因幂函数在时单调递增，故，即.
又单调递增，，故，结合，得.
故选：A
5. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，，结合基本不等式可得，化简可得，转化为求关于的二次函数在区间上的最小值即可.
【详解】不妨设，，则，，
所以，当且仅当时取等号，
即，当且仅当时取等号，
所以
，（）
所以当时，取得最小值，
故选：D．
6. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A. 12B. 10C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的性质可得，即可结合对数的运算性质求解．
【详解】由是等比数列可得，
因为，所以可得，
所以
故，
故选：B
7. 已知锐角满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式先得再根据平方和关系得，即可得解.
【详解】由，
可得为锐角，
可得.
故选：C.
8. 已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论.
【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为，
由椭圆的定义可得，，
所以的周长为，
又，所以，当且仅当在线段上时取等号，
所以当直线过点时，的周长最大，
又直线的斜率为，所以直线的方程为，
联立，消可得，所以或，
所以，
所以当的周长最大时，，
故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A. z的虚部为
B. 复数在复平面中对应的点在第三象限
C.
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算公式，逐项分析判断，即可求解.
【详解】由复数z满足，可得，
A，复数的虚部为，正确；
B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确；
C，由复数模的计算公式，可得，错误；
D，因为复数和都是虚数，不能比较大小，错误.
故选：AB
10. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（ ）
A. 横坐标变成原来的（纵坐标不变）
B. 横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变）
C. 向上平移1个单位长度
D. 向左平移1个单位长度
【答案】AC
【解析】
【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将化为，结合函数图象的变换即可进行判断.
【详解】因为，
即,将函数图象上所有点横坐标变成原来的（纵坐标不变），可得到的图象；
又因为，
所以还可以将函数图象上所有点向上平移1个单位长度，可得到的图象．
故选：AC．
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数的最小值为
B. 当时，函数的极大值点为
C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增
D. 若恒成立，则实数的取值范围为
【答案】AD
【解析】
【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB，由在上恒成立即可判断C，分离参数，构造函数求得其最小值，即可判断D.
【详解】因为函数，则，其中，
当时，则，令，可得，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，有极小值，即最小值，故A正确；
当时，则，令，可得，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，函数有极小值，则极小值点，故B错误；
假设存在实数使得函数在定义域上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，因为的值域为，
所以函数无最小值，
故不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故C错误；
若恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，令，则，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，有极小值，即最小值，所以，故D正确；
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线和抛物线的几何性质，结合题意，得到方程，求得的值，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则，
又由抛物线的准线的方程为，
因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，
所以，解得，所以抛物线的标准方程为.
故答案为：.
13. 已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由其相邻对称轴之间的距离为，确定函数的周期，结合周期与的关系求，结合对称轴求.
【详解】由题意可知，，所以，
所以，所以，
又函数的图象关于对称，
又，且，
所以.
故答案为：.
14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四校锥的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作辅助线，根据线面垂直的性质定理得到线线垂直，再根据边长之间的关系以及余弦定理求得，再根据棱锥的体积公式可求得结果.
【详解】连接，如图所示：
因为，所以直线与所成角为（或其补角），
因为平面，所以，
又底面为矩形，所以，
因为，平面，平面，而平面，
所以，所以均为直角三角形，
设，则，即，
因为点E为的中点，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以四棱锥的体积.
故答案为：.
【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、异面直线所成的角、锥体的体积公式，关键点点睛：
（1）直线垂直平面，则这条直线垂直平面内任何一条直线；
（2）锥体体积底面积高；
（3）异面直线所成的角取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式；
（2）由（1）可推得，进而利用裂项相消法求即可.
【小问1详解】
设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，则，
所以，
得.
16. 在中，A、B、C分别为边a、b、c所对角，且满足．
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用特殊角的余弦值及角的范围可得；
（2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式计算即可得.
【小问1详解】
因为，所以，
即，所以，
又，所以，所以，即，
所以；
【小问2详解】
在中，由，，及得，
，即，解得或（舍去），
所以的面积为.
17. 如图，已知在正四棱柱中，四边形的边长均为，且分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证.
（2）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解.
【小问1详解】
在正四棱柱中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
由，得，所以.
【小问2详解】
设平面的法向量为，而，
则，取，得，又，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）方法1：根据焦距和点在双曲线上列方程组求解即可； 方法2：利用双曲线定义求得，再利用及求解即可；
（2）设过的直线为，由得点和点到直线的距离相等，利用点到直线距离公式列式求解即可.
【小问1详解】
方法1：根据题意，得，解得，所以双曲线C的标准方程为；
方法2：根据题意知，
，则，
双曲线C的标准方程为；
【小问2详解】
由题知直线斜率不为0，设过的直线为，
因为，所以，
即点和点到直线的距离相等，
则有，解得（舍），
则直线MN的方程为.

19. 已知函数，为的导函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：；
（3）若，求的取值范围.
【答案】（1）在单调递减； （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导函数符号判断单调性；
（2）构造函数，证明，再证明；
（3）令，结合（1）中结论，讨论满足不等式的的取值范围.
【小问1详解】
由题，，
令，
则对，，
所以在单调递减，即在单调递减.
【小问2详解】
令，
则对，，
所以在单调递减，
所以，即，
因为，所以，
即得证
【小问3详解】
令，则，
若，则.
因为，由（1）在单调递减，
可知在单调递减，所以，
若，因为，时，，
所以，.
所以当时，，单调递增，
所以，矛盾；
若，则由在单调递减，可得，
所以在单调递减，，满足条件.
综上，的取值范围是.