湖北省宜昌市2026届高三上学期元月调研数学试卷含参考答案（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知 为虚数单位,则
A. -1 B. 1 C. -i D. i
【答案】A
2.若集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
3.某气象爱好者为了解本地冬季的气温变化规律，特记录了本地过去 10 天的最低气温的数据(单位:℃)，结果如下: 7, 7, 5, 2, 3, 6, 6, 7, 4, 3，则这 10 天的最低气温的
A. 极差为 4 B. 中位数为 6 C. 平均数为 5 D. 方差为 3
【答案】C
4.设 ,则 是 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
5.已知 为第二象限角,则
A. -2B. C. D. 2
【答案】D
6.若两个整数 除以同一个正整数 所得的余数相同,则称 对模 同余,记作 ,如: . 现将满足 的正整数 按从小到大的顺序排列得到数列 ,则
A. B. C. D.
【答案】C
7.如图、在三棱锥 中， 为 的中点， 为 的中点，过点 作平面 ,与射线 、 、 的交点分别为 ， ， . 若 ， ， ，则 的最小值为
A. 2B. 4C. 6D. 9
【答案】B
8.若方程 的三个根 成等比数列,则公比为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方程 等价于 ,作出图象,

则 ,又 成等比数列,则设 ,所以 , ,代入 (*) 式得 ,整理得 ,解得 或 (舍).
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水面可能呈现出的几何形状为
A. 圆面 B. 矩形面 C. 椭圆面 D. 三角形面
【答案】ABC
10.已知函数 ,且满足 ,则
A.
B. 在区间 上单调递增
C.
D. 将 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象,那么
【答案】ACD
11.某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为 ，且投篮结果互不影响，如果出现连续 次命中，那么停止投篮、游戏结束. 则
A. 当 时,投篮 2 次游戏结束的概率为
B. 当 时,投篮 3 次游戏结束的概率大于投篮 4 次游戏结束的概率
C. 当 时,游戏结束时投篮总次数的数学期望为
D. 设游戏结束时投篮总次数的数学期望为 ，则
【答案】ABD
【解析】恰好投篮 2 次后游戏结束的概率为 ，则 A 正确；
恰好投篮 3 次后游戏结束的概率为 ,恰好投篮 4 次后游戏结束的概率为 ,则 B 不正确;
设投篮总次数的数学期望 ,则 ,得 ,则 正确;
当 时, ,整理得 ,则 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.设 为单位向量，且 ，则 ________.
【答案】1
13.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,若抛物线 与椭圆 共焦点,点 为椭圆 与抛物线 的一个公共点,且在直角 中, ,则椭圆 的离心率为_______.
【答案】
14.在直角 中, 为斜边 上一点,将 沿 折叠到 , 使得二面角 为 ，且 ，则 ________.
【答案】
【解析】设 ，则 ，过 作 为垂足，过 作 ， 为垂足. 在 中有 ，在 中有 ,则 .
又
,则 ,所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求证:数列 为等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最小整数 .
【解析】(1)当 时， .1
当 时， ，又 ，两式相减得 ，
即 ,因为 ,所以 ,则 ,
所以数列 是首项为 3,公比为 3 的等比数列.
(2)由(1)知 ，则 ，
所以 ,
整理得 ,解得 ,
所以满足条件的最小整数 .
16.如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ，平面 平面 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ， ，四棱锥 的体积为 ，求点 到平面 的距离.
【解析】( 1 )证明:因为底面 为正方形，所以 ，
又 ,且 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 .
连接 ,则 ,因为平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,则 ,
又因为 ,所以 平面 .
(2)由题意 ，得 ，
以 点为坐标原点,以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,则
,由 ,得 ,
所以 .
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
令 ,可得 ,
则点 到平面 的距离为 .
17.在锐角 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围；
(3)设 是 的重心,求 的最小值.
【解析】(1)因为 ,由正弦定理得 ,
则 ,即 ,由余弦定理得 .
又 ,所以 .
(2)因为三角形为锐角三角形，所以 ，得 .
由正弦定理得 ,
因为 ,所以 ,则 .10 ,
(3)设 的中点为 ，则 .
当且仅当 时等号成立,所以 的最小值为 .
18.已知双曲线 的焦距为 ,右顶点 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设 是 轴上的两个动点，以线段 为直径的圆 过双曲线 的焦点，直线 与双曲线 的另一个交点分别为 .
(i) 证明:直线 过定点;
(ii)判断直线 与圆 的位置关系,并说明理由.
【解析】( 1 )由题意: ，则 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
(2)(i)设点 ， 的坐标分别为 ， ，由题意得: ，
又设直线 的斜率为 ,所以 .
当直线 的斜率不存在时,设 ,联立双曲线 方程得点 的坐标为 ,则 ,得 或 2 (舍).
当直线 的斜率存在时,设 ,联立 ,
消 得: ,所以 .
设 ,由韦达定理得: ,
所以 ,
代入韦达定理得: ，所以 或 (舍)，
则 ,综上直线 过定点 .
(ii) 因为 ,所以 ,
设 ,则 ,所以
,即 .
故 到直线 的距离 .
又圆 的半径 .
显然 ,所以直线 与圆 相离 .
19.已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 存在两个极值点 ，且 .
(i) 求实数 的取值范围;
(ii) 已知函数 有三个零点,分别记为 ,证明: .
【解析】(1)当 时, ,则 ,所以 , 故函数 在点 处切线方程为 .4
(2)(i) ,令 ,由题意 存在两个极值点 , 等价于 存在两个变号零点 ..5
因为 ,则当 时, 单调递增,此时 最多一个零点, 不合题意; .6
当 时,令 ,得 ,当 时, 单调递增, 当 时, 单调递减,由题意得 , 解得 . .8
当 时,因为 ,所以存在唯一 ,使得 . 又易证 ,则 ,所以当 时, ,则当 时 ,所以 ,
所以存在唯一 ,使得 ,综上所述: .10 (ii) 显然 ,又 , 且 ,则 , 所以 ,则要证 ,只需证 .12 因为 存在两个变号零点 ,所以 , 即 ,令 ,则 ,又 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,显然有 , .14 构造函数 ,因为 , 所以 在 上单调递增,又 ,所以 ,即 ,所以 ,又因为 ,且 在 上单调递减,则 ,所以 ,又因为 在 上单调递增,所以 ,故 .