2026届陕西省西安市长安区高三上学期一模数学试卷（学生版）

这是一份2026届陕西省西安市长安区高三上学期一模数学试卷（学生版），共5页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数的虚部为（ ）
A. 2B. C. 0D.
2. 从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：95，90，71，76，85，88，72，91，92，65（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是（ ）
A. 90B. 91C. 90.5D. 91.5
3. 集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 记为等差数列的前n项和.已知，，则（ ）
A. 8B. 10C. 13D. 15
6. 若，则（ ）
A. 1B. C. D.
7. 已知平面向量，，，满足，，，则（ ）
A. B. 或C. 5D. 5或
8. 已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A. 1B. 0C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知棱长为2的正方体中，分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 棱锥的体积为
D. 与平面所成角的正切值为
10. 下列说法正确的为（ ）
A.
B. 已知，，且，则
C. 函数为偶函数，则
D. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是
11. 已知函数，有两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，B.
C. 若，则D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处的切线方程为__________.
13. 直线： 与直线：交于点，则的取值范围为_____________.
14. 如图，已知是圆锥的轴截面，，分别为，的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的取值范围是____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有.
（1）求角A；
（2）若D为BC中点，且，求面积的最大值.
16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，M为中点，过点A作的垂线交于点N，交于点E.
（1）证明：平面；
（2）若，，求平面与平面所成角的余弦值.
17. 2025年12月1日全面实施电动车新国标的相关规定，全面禁售旧国标车，聚焦车辆安全性能升级.据调查拥有电动车的家庭中，的家庭只拥有电动车，的家庭既有电动车也有其他交通工具.对于每个家庭，若只拥有电动车则记1分，若同时拥有其他交通工具则记2分.假设各家庭是否拥有其他交通工具相互独立，且视调查频率为概率.
（1）从被调查家庭中随机抽取3户，记这3户的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
（2）从被调查家庭中随机抽取n（）户，记这n户的合计得分恰为的概率为，求.
18. 已知椭圆（）的离心率为，过椭圆C上一点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于异于点的两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线必过定点，并求出该定点坐标；
（3）过点作，点为垂足，判断点是否在某个定圆上，并说明理由；若存在，求出该圆方程.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，，求实数a的取值范围；
（3）设，证明：.