辽宁省沈阳市2026届高三上学期一模数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合，，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，，又则，因为，所以.
2.若复数是纯虚数，则实数
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，则，有.
3.不等式的解集
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由不等式，可得，
即，即，且，解得，
所以不等式的解集为.
4.样本数据的第70百分位数次为
A. 7B. 9C. 9.5D. 10
【答案】D
【解析】数据的第70百分位数为10.
5.抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于双曲线：因为，，所以，所以.
所以双曲线的右焦点坐标为：.
对于抛物线，因为焦点为，即.
所以其准线方程为：.
6.若函数是且的反函数，则函数图象必过定点
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数是且的反函数，所以且，
令，因为，
所以函数图象必过定点.
7.已知在圆M：内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆的标准方程：5由题意可得：最长弦为直径： 最短的弦是
则四边形ABCD的面积为.
8.如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由给定定义得，对左右两侧同时求导，
可得，将点代入，得，
解得，故切线斜率为，得到切线方程为，
化简得方程为，故B正确.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是
A. 若，则函数的最小值为3
B. 若，则的最小值为
C. 函数的最小值为
D. 若，且，则
【答案】BCD
【解析】对于A，∵，∴，
∴，
当且仅当，即时，取得最大值，故A错误；
对于B，，
当且仅当， 时，取到最小值为，故B正确；
对于C，
.
当且仅当时，取等号，故C正确；
对于D，当，且时，，∴，
当且仅当，取最大值，故D正确.
10.已知事件，满足，，则下列结论正确的是
A. 若，则
B. 若与互斥，则
C. 若，则与相互独立
D. 若与相互独立，则
【答案】BC
【解析】对于A，由，得，A错误；
对于B，由A与B互斥，得，B正确；
对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确；
对于D，由A与B相互独立，得，相互独立，则，D错误.
11.已知数列的前n项和为，若，，则
A. B. 数列为等比数列
C. D.
【答案】BCD
【解析】数列中，，，则，，
整理得，而，因此数列是首项、公比均为的等比数列，B正确；
，解得，
对于A，，A错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，
，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在中，角的对边分别为，若且，则________.
【答案】4
【解析】三角形内角和，
，
，
，故，
C是三角形内角，，故，则，
，
，
根据正弦定理得，
，
.
13.已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为_______.
【答案】 15
【解析】因为二项式的展开式中所有项的系数和为64，
所以，或舍去，
二项式的通项公式为，
令，
所以展开式中的常数项为 .
14.已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为________.
【答案】
【解析】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，
设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，，
不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，，
则，，，
故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以，
在中，，为棱台的高，也是球的直径，
所以半径为，所以球的体积为，
棱台体积为，
所以球与棱台的体积比为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列是公比大于0的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和 .
【解析】(1)因为数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，
所以，解得，所以；
数列是公比大于0的等比数列，设公比为，则，
因为，，所以，解得或（舍），
所以 .
(2) 由（1）知，
则，可得，
两式相减可得
，
所以 .
16.且
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域；
（3）说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程.
【解析】(1)根据题意知
，
根据正弦函数的周期公式，
所以最小正周期为 .
(2)根据“左加右减”的原则，可得，
已知，则，
当时，取最大值，最大值为，
当时，取最小值，最小值为，
所以当时，函数的值域为 .
(3)把的图象上所有点向右平移个单位得到的图象；
再把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象，
再把的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变得到.
17.如图，四棱锥的底面是菱形，平面，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）在棱上是否存在一点，使得二面角正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
【解析】
(1) 如图，连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点．连接OE，
因为是的中点，所以 ，
又平面，平面，
所以平面.
(2)，且三棱锥与三棱锥底面积相同，
三棱锥的高是三棱锥的高的二倍，
.
(3)存在点F，使得二面角的正弦值为．
因为底面是菱形，底面，与平面，
所以，，，
故以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
则，，，，，，
故，，，
设，，
则，．
设平面的法向量为，
则，，
则，令，则，故，
设平面BDF的法向量为，
则，即，
则，令得，故，
因为二面角的正弦值为，
所以二面角余弦值的绝对值为，
令，
化简得，解得或．
因为，所以或.
18.已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点.
（ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由.
（ⅱ）求面积的最大值.
【解析】 (1) 因为椭圆的离心率，且过点，
可得且，解得，
所以椭圆的标准方程为.
(2)（ⅰ）由（1）知，椭圆，可得，
设直线的方程为，的方程为，且，，
联立方程组，整理得，
所以，，
因为为的中点，所以，，
即，同理可得，
直线MN的方程为，即，
所以直线MN过的定点为.
（ⅱ）由MN过的定点为，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的面积最大值为.
s
19.已知随机变量的取值为非负整数，其分布列为：
其中，且.由生成的函数为.
（1）若生成的函数为，设事件：当为奇数时，求的值；
（2）现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球（球的颜色不同，其他完全相同）.若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为，设随机变量生成的函数为，其中分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率.
请判断与的大小关系；
（3）从方程的自然数中等可能地随机选取一组解，用表示一组解中最小的数，此时由生成的函数记为，令，求的极小值点.
【解析】 (1) 由变量生成的函数为，
可得，
所以，
所以当为奇数时，可得.
(2)证明：由分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率，
故，即，所以，
所以生成的函数为，
可得，则，
所以，
因为，
所以，故，
因为，
所以，
所以.
(3)由方程的自然数中等可能地随机选取一组解，
可得有序三元组的总数的组合数为种，
由随机变量，所以随机变量的可能取值为，
当时，即数组中，有1个0或2个0，可得；
当时，即数组中，有1个1或2个1，可得；
当时，即数组中，有1个2或2个2，可得；
当时，即数组中，三个数都3，可得，
则变量的分布列为
所以，可得，
则，令，即，解得，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，当是函数的极小值点 .0
1
2
0
1
2
3