2025-2026学年高三上学期辽宁省沈阳一模数学试卷及答案

这是一份2025-2026学年高三上学期辽宁省沈阳一模数学试卷及答案，共10页。试卷主要包含了 考试结束后，考生将答题卡交回，5D， 已知事件A， B满足P=0等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定的区域内。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效。
3. 考试结束后，考生将答题卡交回。
第I卷（选择题共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合U={x|10 且 a≠1)的反函数，则函数y=f(2x−1)+3图象必过定点（ ）
A. 12,4B. 1,4
C. 12,3D. 1,3
7. 已知在圆x2+y2−4x+2y=0内，过点E(1, 0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A. 35B. 65
C. 215D. 415
8. 如果方程F(x, y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程F(x, y)=0中，把y看成x的函数y=y(x)，则方程可看成关于x的恒等式F(x, y(x))=0，在等式两边同时对x求导，然后解出y'(x)即可。例如，求由方程x2+y2=1所确定的隐函数的导数y'，将方程x2+y2=1的两边同时对x求导，则2x+2y·y'=0（y=y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得y'=−xy(y≠0)，那么曲线xy+lny=2在点(2, 1)处的切线方程为（ ）
A. x−3y+1=0B. x+3y−5=0
C. 3x−y−5=0D. 2x+3y−7=0
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若x0， y>0，且x+2y=2，则xy的最大值为12
10. 已知事件A， B满足P(A)=0.5， P(B)=0.2，则下列结论正确的是（ ）
A. 若B⊆A，则P(AB)=0.5
B. 若A与B互斥，则P(A+B)=0.7
C. 若P(AB)=0.1，则A与B相互独立
D. 若A与B相互独立，则P(AB¯)=0.9
11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2， an+1−2an+anan+1=0，则下列结论正确的是（ ）
A. a3=97
B. 数列1−1an为等比数列
C. an+1232−1210
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinBcsC且c=23，A=π6，则c+asinC+sinA= ¯。
13. 已知a>0，二项式(x+ax2)6的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为 ¯。
14. 已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为1:2，则球O与该正四棱台的体积之比为 ¯。
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本题满分13分）已知数列{an}是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列{bn}是公比大于0的等比数列b1=3，b3−b2=18。
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）记cn=anbn（n∈N，n≥1），求数列{cn}的前n项和Sn。
16.（本题满分15分）a=(23csx,−1)，b=(sinx,cs2x)且f(x)=a·b
（1）求函数y=f(x)的最小正周期；
（2）将函数y=f(x)图象上所有的点向左平移π6个单位后得到函数y=g(x)的图象，当x∈[0,π2]时，求函数y=g(x)的值域；
（3）说明函数y=sinx的图象经过怎样的变换能得到函数y=f(x)的图象，写出一个变换过程。
17.（本题满分15分）如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD=CD=BD=2，E为PC的中点。
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）求三棱锥P−BDE的体积；
（3）在棱AP上是否存在一点F，使得二面角F−BD−E正弦值为32114？若存在，求出AF的长；若不存在，请说明理由。
18.（本题满分17分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，离心率e=22，且过点(1,22)
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l1、l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1、l2分别与椭圆交于点C、D和E、F．若M、N分别是线段CD和EF的中点；
（i）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由．
（ii）求∆OMN面积的最大值．
19.（本题满分17分）已知随机变量ξ的取值为非负整数，其分布列为：
其中pi∈[0,1]，且∑i=0npi=1．由ξ生成的函数为f(x)=∑i=0npixi，D(ξ)=∑i=0n(i−E(ξ))2·pi．
（1）若ξ生成的函数为f(x)=110+15x+25x3+310x5，设事件A：当ξ为奇数时，求P(A)的值；
（2）现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球（球的颜色不同，其他完全相同）．若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为17．设随机变量ξ生成的函数为f(x)=∑i=03pixi，其中pi(i=1,2,3)分别对应取到红球、蓝球、绿球的概率．
请判断D(ξ)与f''(1)+f'(1)−[f'(1)]2的大小关系．（f''(x)为f(x)的二阶导数）
（3）已知方程x+y+z=9（x，y，z∈N），用ξ表示一组解中最小的数，此时由ξ生成的函数记为t(x)，令g(x)=t'(x)，求g(x)的极小值点．
2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）
数 学
参考答案及评分标准
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.BCD 10.BC 11.BCD
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.4 13.15 14.π7
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解：（1）数列{an}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，
∴8a1+28d=8a1+56=64，解得a1=1，2分
∴an=2n-1；4分
数列{bn}是公比q大于0的等比数列，b1=3，b3−b2=18，
∴3q2-3q=18，解得q=3，6分
∴bn=3n8分
（2）由（1）得an=2n−1，bn=3n，则cn=anbn=(2n−1)·13n，
∴Sn=1·13+3·132+…+(2n-3)·13n-1+(2n-1)·13n①，9分
13Sn=1·132+3·133+…+(2n-3)·13n+(2n-1)·13n+1②，10分
∴由① - ②得23Sn=1·13+2132+…+13n-1+13n-(2n-1)·13n+1，11分
=13+2·9·191-13n-11-13-(2n-1)·13n+1，12分
∴Sn=1-(n+1)·13n．13分
16.解：（1）f(x)=23csxsinx-cs2x=3sin2x-cs2x=2sin2x-π6，3分
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π．5分
（2）由题意可得，g(x)=fx+π6=2sin2x+π6-π6=2sin2x+π6，6分
已知x∈0,π2，则2x∈0,π，那么2x+π6∈π6,7π6．7分
当2x+π6=π2，即x=π6时，sin2x+π6取得最大值1，此时g(x)取得最大值2×1=2．8分
当2x+π6=7π6，即x=π2时，sin2x+π6取得最小值−12，此时g(x)取得最小值2×−12=−1．分
所以，当x∈0,π2时，函数g(x)的值域为[-1,2]．10分
→[再向右平移π12个单位长度]y=sin2x-π614分
→横坐标不变纵坐标变为原来的2倍y=2sin2x-π615分
答案2：y=sinx→[向右平移π6个单位长度]y=sinx-π612分
→纵坐标不变横坐标变为原来的12倍y=sin2x-π614分
→横坐标不变纵坐标变为原来的2倍y=2sin2x-π615分
17.解：
（1）如图，连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点．连接OE，
因为E是PC的中点，所以OE//PA.
又OF⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA//平面BDE。3分
（2）VP−BDE=VB−PDE=12VB−PDC=12VP−BCD=12×13SABCD·PD
=16×34×4×2=336分
（3）存在点F，使得二面角F−BD−E的正弦值为32114。
因为底面ABCD是菱形，PD⊥底面ABCD，AC，BD⊂平面ABCD，
所以AC⊥BD，PD⊥AC，PD⊥BD，故以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz。8分
则A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(−3,0,0)，D(0,−1,0)，P(0,−1,2)，E(−32,−12,1)，故DB→=(0,2,0)，EB→=(32,32,−1)，AP→=(−3,−1,2)。
设AF→=λAP→=(−3λ,−λ,2λ)，λ∈[0,1]，
则F(−3λ+3,−λ,2λ)，BF→=(−3λ+3,−λ−1,2λ)。
设平面BDE的法向量为m→=(x1,y1,z1)，
则{m→⋅DB→=0m→⋅EB→=0，即{2y1=032x1+32y1−z1=0
则y1=0，令x1=3，则z1=32，故m→=(3,0,32)。11分
设平面BDF的法向量为n→=(x2,y2,z2)，
则{n→⋅DB→=0n→⋅BF→=0，即{2y2=0(−3λ+3)x2+(−λ−1)y2+2λz2=0
则y2=0，令x2=23λ得z2=3λ−3，故n→=(23λ,0,3λ−3)。
因为二面角F−BD−E的正弦值为32114，
所以二面角F−BD−E的余弦值的绝对值为714
令|cs⟨m→，n→⟩|=|m→·n→|m→||n→||=|6λ+32λ(λ−1)(3)2+(32)2·(23λ)2+(3λ−3)2|=714，
化简得63λ2-54λ+11=0，解得λ=13或λ=1121，经检验都符合λ∈[0,1]14分
因为AP=22+22=22，所以AF=223，或AF=22221。15分
18. 解：因为椭圆 x2a2+y2b2=1 的离心率 e=22 ，且过点 1,22 ，
可得
ca=221a2+12b2=1
且 c2=a2−b2 ，解得 a2=2,b2=1 ，
所以椭圆的标准方程为 x22+y2=1
（2）（i）由（1）知，椭圆 x22+y2=1 ，可得 F2(1,0) ，
设直线 l1 的方程为 y=k(x−1), l2 的方程为 y=−12k(x−1) ，且 Cx1,y1,Dx2,y2 ，
联立方程组 x22+y2=1y=k(x−1) ，整理得 1+2k2x2−4k2x+2k2−2=0 ，
所以 x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2−21+2k2 ，
因为 M 为 CD 的中点，所以 xM=x1+x22 众 k2 号 1+2k2:yM=k（ xM 数）学 k1+2k2 ，
即 M2k21+2k2,−k1+2k2 ，
同理可得 N11+2k2,k1+2k2 ，
直线 MN 的方程为 y−k1+2k2=2k1−2k2x−11+2k2 ，即 y=2k1−2k2x−12 ，
所以直线 MN 过的定点为 12,0 ____
注意：此题也可参考下面做法评分：
设 l1:x=my+1,l2:x=−2my+1 且 Cx1,y1 Dx2,y2
联立方程组 x22+y2=1x=my+1 消去 × 得
m2+2y2+2my−1=0
由韦达定理得 y1+y2=−2mm2+2y1y2=−1m2+2
∵M 为 CD 中点
∴M2m2+2,−mm2+2
同理 Nm2m2+2,mm2+2
直线 MN 的方程为 y+mm2+2=2mm2−2x−2m2+2
令 y=0 得 x=m2−22m2+2+2m2+2=12
故 MN 过定点 12,0
（ii）由 MN 过的定点为 P12,0 ，
所以 S△OMN=12|OP|yM−yN=142k1+2k2
=12×|k|1+2k2=12×11|k|+2|k|≤28
当且仅当 2|k|=1|k| 时，即 k=±22 时，等号成立，
所以 △OHN 的面积最大值为 28
19.解：（1）由 ξ 生成的函数为 f(x)=110+15x+25x3+310x5，
知 f(x)=110·x0+15·x1+0·x2+25·x3+0·x4+310·x5，
所以 P(ξ=1)=15，P(ξ=3)=25，P(ξ=5)=310，2分
设事件A:ξ为奇数时，P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)=910．3分
（2）相等：证明如下：pi(i=1,2,3)分别是取到红球、蓝球、绿球对应的概率，
故p1=17×1=17，p2=67×26=27，p3=67×46=47．5分
即p1+p2+p3=1，故p0=0，
所以ξ生成的函数为f(x)=17x+27x2+47x3，7分
故f'(x)=17+47x+127x2，f''(x)=47+247x8分
所以f''(1)+f'(1)-[f'(1)]2=287+177-1772=2649．9分
因为E(ξ)=p1+2p2+3p3，f'(x)=p1+2p2x+3p3x2，
所以E(ξ)=f'（1），故E(ξ)=f'(1)=17+47+127=177，10分
因为D(ξ)=∑i=03(i−E(ξ))2·pi，
所以D(ξ)=0-1772×0+1-1772×17+2-1772×27+3-1772×47=2649，11分
故D(ξ)=f''（1）+f'（1）−[f'（1）]2．
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，
则P(ξ=0)=C31C81+C32C112=2755，P(ξ=1)=C31C21+C32C112=1855，13分
P(ξ=2)=C31C21+C32C112=955，P(ξ=3)=1C112=155．14分
则ξ的分布列为
所以t(x)=2755+1855x+955x2+155x3，15分
故g(x)=t'(x)=1855+1855x+355x2，
故g'(x)=1855+655x，令g'(x)=0，解得x=-3，16分
故x−3时，g(x)单调递增，
故x=-3是g(x)的极小值点．17分
补充（3）详解如下：
已知x1+x2+x3=9有多少个非负整数解，所以x1+1+x2+1+x3+1=12．
相当于把12个相同元素排成一排，从中放入两个隔板分成3组，不能有0项，即C112
如：OO/OOO/OOOOOOO，相当于x1=1，x2=2，x3=6．
当ξ取0时，有1个0，即018，081，027，072，036，063，045，054，
先从3个位置选一个0，再从8种情况选1种，即C31C81
有2个0，009，900，090，即C32
P(ξ=0)=C31C81+C32C112=2755
当ξ取1，有1个1，即126，162，135，153，144，先从3个位置选一个1，再从5种情况选1种，即C31C51
有2个1，117，171，711，即C32
P(ξ=1)=C31C51+C32C112=1855
当ξ取2，有1个2，即234，243，342，324，423，432，先从3个位置选一个2，再从2种情况选1种，即C31C21
有2个2，225，252，522，即C32
当ξ取3，就333一种情况．
所以ξ的可能取值为0，1，2，3，具体答案同评分标准，下同．ξ
0
1
2
…
n
P
p0
p1
p2
…
pn
ξ
0
1
2
3
P
2755
1855
955
155