辽宁省沈阳市2025-2026学年高一上学期期末数学试卷含解析（word版）

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命题：沈阳市第五中学 裴延峰
东北育才学校 庞德艳
主审：沈阳市教育研究院 周善富
（本试卷分第I卷和第II卷两部分.满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再利用并集的运算法则求解．
【详解】，解得或，
，
，解得，
，
，故D正确．
故选：D．
2. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】依题意找到成立的等价条件，再由充要条件的定义即可判断.
【详解】因，
对于，，当且仅当时等号成立.
则由可得，由可得，故“”是“”的充要条件.
故选：C.
3. 已知，，则与方向相同的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解．
【详解】，
，
,
的单位向量为，故C正确．
故选：C．
4. 函数与的图象（ ）
A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称D. 关于直线y=x对称
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则，由与的图象关于原点对称即可得解.
【详解】解：令，则
与的图象关于原点对称，
与的图象关于原点对称.
故选：
【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.
5. 设P是所在平面内的一点，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
详解】移项得.故选B
6. 已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（ ）
A. 平均数为15，标准差为10B. 平均数为15，标准差为50
C. 平均数为17，标准差为10D. 平均数为17，标准差为50
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数和标准差的定义计算即可判断.
【详解】设的平均数为，标准差为，则，，
即，.
所以，，，的平均数为
；
，，，的方差为
，故其标准差为10.
故选：C.
7. 函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找到定点的坐标，通过点坐标求解幂函数的解析式，进而得到大致图象．
【详解】函数（且）中由得，
则函数过定点，
设，代入可得，解得，
故幂函数，则B选项图象符合.
故选：B.
8. 已知函数定义域为，若对于，且，有成立，且，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，原不等式可转化为，利用已知条件和函数单调性的定义判断的单调性，结合给出的特殊点求解即可.
【详解】因为对于，且，有成立，
不妨设，则，
不等式可转化为
令，任取且，
因为，即，
所以在上单调递减，
又因为，，
所以的解集为，
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若是一组基底，则也是一组基底
C. 若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线
D. 若，则存在唯一的实数，使得
【答案】BC
【解析】
【分析】根据平面向量共线的定义、基底的定义逐项判断即可.
【详解】因为，当时，不一定共线，所以A错误；
因为是一组基底，所以不共线，
假设共线，则存在实数使得，那么，
则共线，与已知条件矛盾，所以不共线，所以也是一组基底，B正确；
由可知向量共线，结合点B为公共点，故A、B、C三点共线，C正确；
因为，若且，则不存在实数使得，所以D错误.
故选：BC.
10. 为了了解某次数学测验学生的得分情况，数学老师从甲、乙两个班分别随机选取若干名学生成绩，整理后作出图表.甲班所选取同学成绩作出图（1），且图中；乙班所选取同学成绩作出图（2），且图中有一个数字污损不清.则下列说法正确的是（ ）

A.
B. 若图（2）中现有数据的平均数和污损前相等，则图（2）污损前数据的众数为76
C. 若直方图中每个数据都用该区间的中点值代替，则估计甲班同学成绩的平均数为76
D. 估计乙班同学成绩的75%分位数为85
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据频率分布直方图的性质，可判断A的正误；根据平均数的求法及众数的概念，可判断B的正误；根据频率分布直方图中平均数的求法，代数计算，可判断C的正误；根据百分位数的求法，可判断D的正误.
【详解】选项A：因为，所以设，则，
由题意得， 所以，解得，
所以，故A错误；
选项B：图（2）中现有数据为58,64,66,73,76,83,85,88,91，
平均数为，
因为现有数据的平均数和污损前相等，所以被污损数字为6，成绩为76，
则图（2）污损前数据的众数为76，故B正确；
选项C：甲班同学成绩平均数，故C正确；
选项D：设被污损成绩为a，则，
所以乙班同学的成绩为58,64,66,73,76,a,83,85,88,91，
则，所以乙班同学成绩的75%分位数为85，故D正确.
故选：BCD
11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递增
B. 设函数的所有零点之和为，则
C. 若，，且，则的取值范围为
D. 若，，且，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】分离常数，根据在上单调性，分析可得的单调性，即可判断A的正误；令，解得x值，分析即可判断B的正误；根据m的范围，可得的值域，即可得的值域，根据的解析式，可得n的范围，即可判断C的正误；分别求出和的表达式，化简计算，即可判断D的正误.
【详解】选项A：，
因为在上单调递减，则在上单调递减，
所以在上单调递增，故A正确；
选项B：令，解得，
解得，所以零点之和，故B正确；
选项C：由，得，
因为，所以，则，
所以，所以，
因为，所以，所以，故C错误；
选项D：因为，所以，
又，，
所以，即，故D正确；
故选：ABD
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知关于的不等式的解集是，则实数的值为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】将原不等式移项通分，转化为分式不等式，再等价为整式不等式（注意分母不为0），根据已知解集，确定分式分子的根​，令分子等于0，代入即可求得a.
【详解】原式移项通分，得：，即，
等价于且，由解集可知：是的根，得.
故答案为：3.
13. ，使成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分离参变量法，来求函数的最大值，即可得参数范围.
【详解】由于当时，不等式，
要，使成立，即满足
因为函数在上单调递增，所以，
即，
故答案为：
14. 已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，将化为，再利用基本不等式可求得的范围．
【详解】因为为正实数，所以，
因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立，
此时，又因为，所以在上有解，
所以由基本不等式可知时等号成立，
所以，故实数的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“” 的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合中不等式的解集，然后根据交集的定义求出结果即可.
（2）因为“”是“” 的充分不必要条件，所以是的真子集，然后列出不等式求解即可.
【小问1详解】
因为，所以集合，
集合，
所以.
【小问2详解】
因为“”是“” 的充分不必要条件，所以是的真子集.
对于不等式，令，其判别式.
当时，即时，不等式的解集，此时不满足是的真子集.
当时，即时，方程的两根为
，则不等式的解集.
因为，是的真子集，所以.
解得，所以实数的取值范围为.
16. 袋中有5个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球．
（1）求至少一个是白球的概率；
（2）设事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，判断A与B是否相互独立，并说明理由．
【答案】（1）
（2）A与B是相互独立的，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由对立事件概率公式、独立乘法公式即可求解；
（2）由古典概型概率计算公式和独立事件的定义求解即可.
【小问1详解】
由于有放回地依次随机摸出两个小球，所以每次摸球的结果互相独立，
故至少一个是白球的概率为；
【小问2详解】
因为事件A为“第一次是白球”，
事件B为“两个小球的编号之和为6”，即为
所以事件为“第一次编号为1且第二次编号为5”或者“第一次编号为2且第二次编号为4”，
所以，
注意到，
所以，
而，
从而，
所以A与B是相互独立的.
17. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）间的关系为，其中和都是正的常数，如果在前5h消除了10%的污染物.求：
（1）10h时还剩百分之多少的污染物？
（2）污染物减少50%需要花多少时间？（参考数据：，）
【答案】（1）81% （2）37.5(h)
【解析】
【分析】（1）当时，得，然后代入，化简即可.
（2）令，将和，两个式子化简然后取对数，两个式子把k消去，最后化简.
【小问1详解】
已知 ，时，。
代入得，化简得.
当 时，。
因此，10h时还剩81%的污染物。
【小问2详解】
污染物减少50%,即，
代入公式，化简得，即
由，两边取自然对数得，即。
将代入化简得，
即
利用换底公式，化简得
(h)
18. 如图，设点为的重心，连接并延长，交线段于点，过点的直线与线段和分别交于点和点.设，，，.
（1）用，表示，；
（2）求函数的解析式，并写出其定义域；
（3）判断并证明函数在其定义域上的单调性.
【答案】（1），
（2）；定义域为
（3）单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由三角形重心的定义得，结合图形利用向量的线性运算求解即可；
（2）由三点共线可得，消去解出的关系得到解析式，根据，在线段，上求得定义域即可；
（3）利用函数单调性定义判断即可.
【小问1详解】
因为点为的重心，
所以，
所以，
.
【小问2详解】
因为三点共线，所以，
即，
又因为不共线，所以，消去得，
因为点分别是线段和线段上的点，由题意易知，，即，，
由解得，又由解得，即得
故函数的解析式为 ，其定义域为.
【小问3详解】
由（2）得，，
在上单调递减，证明如下：
任取，且，
则，
因，则，，
，
所以在上单调递减.
19. 已知函数（且），若函数与函数互为反函数，且函数的图象经过点．
（1）求函数与的解析式；
（2）若，求x的取值范围；
（3）若，，使成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由与函数（且）互为反函数，再代入点的坐标求解可得a值，则解析式可求；
（2）将原不等式化为形式，利用指数函数与对数函数的单调性求解即可；
（3）将原问题转化为时，的最大值大于时的最大值，再分、、三种情况进行讨论即可求出k的取值范围.
【小问1详解】
∵函数与函数（且）互为反函数
∴．
又函数的图象经过点
∴，即．
∴，；
【小问2详解】
由不等式得：
∴
∴
∴．
故解集为；
【小问3详解】
因为，，
使成立，
所以时的最大值大于时的最大值．
又时，的值域为，时，的值域为
∴①当时，，，，，
则，解得：．
②当时，，，，，
则，此不等式组无解.
③当时，，，
，，
则，解得：
综上，k的取值范围为．