福建省宁德市三校2026届高三1月联考数学试卷含解析（word版）

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本试卷共4页，共150分，考试时长120分钟.
注意事项：答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 复数虚部为（ ）
A. 1B. －1C. iD. －i
2. 已知非零向量，则“与共线”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 若点不在圆内部，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，， 则
C. 若，， 则D. 若，， 则
5. 已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到
B. 函数在区间上单调递增
C 函数图象关于直线对称
D. 函数图象的对称中心为
7. 数列满足，则数列的前9项和为（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知△ABC的三个角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，，，设BC的中点为O，则下列说法正确的是（ ）
A. △AOC不可能是等腰三角形B. 的最小值为
C. △ABC面积的最大值为D. △ABC周长的最小值为4
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数恰有1个零点
B. 当时，函数恰有2个极值点
C. 当时，函数恰有2个零点
D. 当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 对于任意不等于1的正数，函数的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是_______.
13. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点､的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时4秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时t秒；已知与的离心率之比为，则___________.
14. 棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为______
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角所对的边分别为 已知.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）设，. 求和的值.
16. 已知正方体的棱长为2，P是空间中的一点.
（1）证明：直线平面；
（2）若点P在平面内，且满足平面平面，请判断点P的轨迹，并说明理由.
17. 已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列前项和.
18. 已知椭圆C：的离心率，点在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，
（i）若直线的斜率为1，求；
（ii）若点，判断与的大小，并证明你的结论.
19. 若函数的图象上至少有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的“自公切线”.设.
（1）判断函数是否存在“自公切线”，并说明理由；
（2）若时，函数的最大值为0，求的取值范围；
（3）当时，证明：函数存在至少三个切点的“自公切线”，并求出所有相应的切线方程.