2025-2026学年甘肃省兰州交大附中九年级（上）期末数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年甘肃省兰州交大附中九年级（上）期末数学试卷-自定义类型，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在数轴上，表示下列各数的点到原点距离最近的是（ ）
A. +1B. -2C. +3D. -4
2.中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧.下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6，则tanB等于（ ）
A. B. C. D.
5.图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位OA和座椅靠背OB的夹角∠AOB=105°，小桌板支撑杆OC与桌面CD的夹角∠OCD=125°，则座椅靠背OB与小桌板支撑杆C形成的夹角∠BOC的度数是（ ）
A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°
6.如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE=2，AB=8，则AC的长为（ ）
A. 8
B. 10
C. 4
D. 4
7.社团活动是丰富学生校园生活，发展学生个性的重要方式，深受学生喜爱.正面印有四个社团名称的宣传卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机一次抽取两张，卡片正面恰好为美术社和书法社的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.碳酸钠的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度为49g
B. 碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C. 当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大
D. 要使碳酸钠的溶解度大于43.6g,温度只能控制在40℃～80℃
9.我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱.问梨果各几何？”意思是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个，问梨果各买了多少个？如果设梨买x个，果买y个，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
10.“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具.一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b.中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度.如图2，从“矩”EFG的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得DE=1米，AD=4米，若“矩”的边EF=1米，FG=0.5米，则这根杆子的长AB为（ ）​
A. 4米B. 3米C. 2米D. 1米
11.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（ ）
A. abc＜0
B. 2a+b＜0
C. 2b-c＜0
D. a-b+c＜0
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.已知a6÷am=a2，m的值为______．
13.抛物线的顶点坐标是 .
14.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C=55°，则∠AOD的度数为______．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，点C为AB的中点，反比例函数y=的图象经过点C.若点B的坐标为（0，6），OC=5，则k= .
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.解方程：x2－4x－1＝0．
四、解答题：本题共10小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
化简：[（x+y）2-y（2x+y）-6x]÷2x.
18.(本小题5分)
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.
19.(本小题7分)
如图，反比例函数的图象与直线y=ax交于点D（1，4），点A是线段OD上的一个动点，过点A作y轴的垂线分别交反比例函数图象和y轴于点B和点C.
（1）求k和a的值；
（2）根据图象直接写出的自变量x的取值范围；
（3）当AB长为时，求点A的坐标.
20.(本小题7分)
今年央视春晚节目《秧BOT）别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界.科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量.
【数据收集与整理】
A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表：
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中a=______，b=______；
（2）请计算表中c的值；（需要写出计算过程）
（3）若该省共投放市场的A型号智能机器人有80台，B型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？
21.(本小题7分)
如图，点D为∠ABC的角平分线上一点，DE垂直BC于点E.点G在射线EC上，且DB=DG.
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作AB的垂线交AB于点F（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：BF=EG，请完成下面的证明过程.
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
在△BED和△BFD中，
，
∴△BED≌△BFD（AAS），
∴______，
∵DB=DG，DE⊥BC，
∴______，
∴BF=EG.
22.(本小题7分)
学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量某塔的高度，他们把“测量塔高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：
请根据表中的测量数据，求塔高AB.（精确到0.1米，参考数据sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，）
23.(本小题7分)
张丽是学校羽毛球社团的成员，某次在训练时使用自助发球机进行训练，如图所示，将发球机放置在点O处.羽毛球发射的初始位置的高OA=1.5m.若羽毛球从点A发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点O的水平距离为5m时达到最高点，在与点O的水平距离为11m时的高度为0.4m,落地点为B，以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
（1）求羽毛球飞行路线所在抛物线的函数表达式；
（2）若张丽的身高为1.6m,在距离羽毛球发球机9m的C处使用球拍接球（球拍接触到羽毛球的飞行路线即为接到球）时，球拍高出头顶0.6m,她能否接到羽毛球，请通过计算说明理由.
24.(本小题8分)
如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB=∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=4，DB=2，求AE的长．
25.(本小题9分)
综合与探究
【问题情境】
如图1，小美将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在射线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F.
【活动猜想】
（1）如图2，当点B′与点D重合时，请判断四边形BEDF的形状并证明；
【问题解决】
（2）如图3，在矩形纸片ABCD中，若边AB=8，，AC与BD交于点O.
①请判断A′B′与对角线AC的位置关系，并说明理由；
②当B′D=4时，请求出此时AE的长.
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形W和图形W外一点P，若在图形W上存在点M，N，使PM=2PN，则称点P是图形W的一个“2倍关联点”.例如：如图1，已知图形W：△ABC，A（0，2），B（-1，0），C（1，0）；点P（0，-1）到△ABC上的点的最小距离为PO=1，到△ABC上的点的最大距离为PA=3，则PA＞2PO.因此在△ABC上存在点M，N，使得PM=2PN，则点P是△ABC的一个“2倍关联点”.
（1）如图2，已知A（0，1），B（2，1）.
①判断点P1（2，-1）______线段AB的一个“2倍关联点”；（填“是”或“不是”）
②若点P2（1，m）是线段AB的“2倍关联点”，求m的最小值；
（2）如图3，⊙O的圆心为原点，半径为1，若在直线l：y=x+b上存在点Q是⊙O的“2倍关联点”，求b的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】C
12.【答案】4
13.【答案】（3，4）
14.【答案】70°
15.【答案】12
16.【答案】解：∵x2-4x-1=0，
∴x2-4x=1，
∴x2-4x+4=1+4，
∴（x-2）2=5，
∴x=2±，
∴x1=2+，x2=2-．
17.【答案】解：[（x+y）2-y（2x+y）-6x]÷2x
=（x2+2xy+y2-2xy-y2-6x）÷2x
=（x2-6x）÷2x
=x2÷2x-6x÷2x
=．
18.【答案】1＜x≤4，．
19.【答案】解：（1）∵反比例函数的图象与直线y=ax交于点D（1，4），
∴k=4，a=4，
（2）根据图像可知，的自变量x的取值范围为：0＜x＜1．
（3）由（1）可知，反比例函数解析式为y=，正比例函数解析式为：y=4x,
设A（m,4m）则B（m+，4m），
∵点B在反比例函数图象上，
∴4m（m+）=4，
解得m=或m=-2（舍去），
∴A（，2）．
20.【答案】20;15 20 3200万件
21.【答案】图形如图所示：
BE=BF;BE=EG
22.【答案】44.0米．
23.【答案】（1）y=-0.1x2+x+1.5 （2）不能，理由：
当x=9时，y=-0.1×92+9+1.5=2.4，
球拍的高度为1.6+0.6=2.2m，
∵2.2＜2.4，
∴不能接到羽毛球
24.【答案】（1）证明：连接OC，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠1=90°，
又∵∠DCB=∠CAD，
∵∠CAD=∠OCA，
∴∠OCA=∠DCB，
∴∠DCB+∠BCO=90°，
即∠DCO=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠DCO=90°，OC=OB，
∴OC2+CD2=OD2，
∴OB2+42=（OB+2）2，
∴OB=3，
∴AB=6，
∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，
∴AE是⊙O的切线，
∵CD是⊙O的切线；
∴AE=CE，
∵AD2+AE2=DE2，
∴（6+2）2+AE2=（4+AE）2，
解得AE=6．
25.【答案】四边形BEDF是菱形，证明见解析；
①A′B′∥AC，理由见解析；
②AE=或．
26.【答案】解：（1）①不是；
②如图2，过点P作P2C⊥AB于点C．
当P2A=2P2C时，点P2是线段AB的“2倍关联点”，此时m的值最小．
在Rt△ACP2中，∠P2AC=30°，
∴
∴，
又∵P2C=1-m,
∴，
解得：，
∴点m的最小值为；
（2）如图3，
y=x+b交y轴于（0，b），分两种情况：
①当直线l在⊙O的左上方时，记为直线l1，过圆心O作OQ1⊥l于点Q1，若Q1是直线l上⊙O的唯一“2倍关联点”，此时QM=2QN，
∵⊙O的半径为1，OQ1+1=2（OQ1-1），
∴OQ1=3，
∵直线y=x+b,
∴C（-b,0），D（0，b）．
∴OC=OD=b,
∴∠CDO=45°，
在Rt△ODQ1中，；
②当直线l在⊙O的右下方时，记为直线l2，过圆心O作OQ2⊥l2于点Q2．同①的方法求得．
综上，b的取值范围是-3＜b＜3． 分拣快递数量（万件）
16
17
20
22
23
机器人台数（台）
1
1
5
2
1
众数/万件
中位数/万件
平均数/万件
A型号
14和16
b
15
B型号
a
20
c
课题
测量某塔的高
测量说明
测量示意图
说明：CD是高为1.5米的测角仪，在点C处测得塔顶A的仰角∠ACM=∠1，点E处测得此时塔顶A的仰角∠AEM=∠2，（B、F、D三点在同一条直线上）
测量数据
∠1的度数
∠2的度数
CE的水平距离
40°
60°
26米