高中数学人教版第一册下册弧度制表格教案

这是一份高中数学人教版第一册下册弧度制表格教案，共3页。
课程基本信息
学科
数学
年级
高一
学期
秋季
课题
任意角（三角函数第1课时）
教科书
书 名：普通高中教科书数学必修第一册A版
出版社：人民教育出版社 .6月
教学目标
认识角的概念推广的必要性和必然性；会判断象限角；
会表示终边相同的角、象限角；会用集合表示各种终边在特殊位置的角。
教学内容
教学重点：将0到360范围内的角扩充到任意角；
教学难点：任意角概念的架构，用集合表示终边相同的角。
教学过程
创设情境，引出问题
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性。例如，地球自转引起的昼夜交替变化，公转引起的四季交替变化，潮汐变化，物体做匀速圆周运动时的位置变化等。你还能举出生活中周期现象的例子吗？
周期现象非常普遍，数学自然不能缺席。什么样的数学模型可以用来刻画这种变化规律呢？它具有哪些特性？
本课程要学习的三角函数就是用来刻画周期现象的重要数学模型。我们可以沿用研究函数的基本范式展开。
圆周运动是一种常见的周期性变化现象。⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点P的位置变化呢？
当角α确定时，终边OP的位置就确定了。这时，OP与圆O的交点P也就确定了。由此想到，可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化，可以选用角作为三角函数的自变量。因此，角的推广是三角函数研究的前奏。
归纳特征，建构概念
三角函数的研究要起步于角的概念推广，那么初中时是怎样定义角的呢？
一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。角的范围为0°～360°，有锐角、直角、钝角、平角、周角之分。生活中有很多场景，如“前空翻转体540度”、“后空翻转体720度”、被动轮随着主动轮的旋转而旋转等。要准确描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，所以需要对“角”重新定义加以扩容。
如何用数学符号语言将按顺时针、逆时针两种不同方向旋转的角加以区分呢？你以前有过类似的经验吗？实数有正负，类比实数，角的范围可以怎样扩充?
我们如法炮制，用正负数区分按逆时针、顺时针方向旋转的角。
规定：按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，未作任何旋转形成的角为零角。
角的推广有旋转量与旋转方向两个维度，一方面改造角的静态定义为动态定义（旋转角），形成量（数值大小）的突破；另一方面引进角的符号，区别旋转方向的差异给出正角、负角的概念。
类比实数，定义运算
能否类比实数运算定义角的相关运算？两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？
角的加法：设α，β是任意两个角。我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β。
相反角：类似于实数a的相反数是－a，我们引入任意角α的相反角的概念。我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。
角的减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α－β = α＋(－β)。这样，角的减法可以转化为角的加法。
角的概念推广后，解决“小角减大角”的矛盾冲突，发挥了任意角的代数优势。
引进坐标，刻画角度
任意角不仅有代数特征，还有明显的几何特征。我们通常在直角坐标系内讨论角。为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限。
口答：锐角是第____象限角，钝角是第____象限角，平角是____角，反之对吗？
练习：作出下列各角，并指出它们是第几象限角。
390°，210°，30°，－330°，45°
在学生完成作图后，继续追问：
（1）从形上看，和30°终边相同的角有哪些？
（2）从数上看，和30°终边相同的角间有怎样的数量关系？
（3）你能写出终边相同的角的表达式吗？
（4）公式中“k”的意义是什么？公式有什么作用？
一般的，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
S = { β | β = α + k ∙ 360°，k∈Z }
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
终边在y轴上的角的集合怎么表示？
终边在坐标轴上的角的集合怎么表示？
终边在第二象限上的角的集合怎么表示？
任意角的应用在于“数”与“形”的对应，于是有必要把角放在同一个参照系下进行讨论（以直角坐标系为基准，引入象限角的概念，重点考察角的终边位置）。这样，终边相同的角便是角的周期性变化规律的代数表示，用数量关系可表示为“终边相同的角相差360°的整倍数”。
学以致用，理解新知
例1 在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判断它是第几象限角.
解：－950°12′ = 129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.
例2 写出终边在直线y = x上的角的集合S. S中满足不等式－360° ≤ β < 720°的元素β有哪些？
解：S={β|β=45°+k∙180°, k∈Z}. 令k=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 则S中适合不等式－360° ≤ β < 720°的元素β有－315°, －135° , 45°, 225°, 405°, 585°.
总结归纳，感悟任意
知识内容：基于数学研究和现象解释的需要，类比实数将“角”扩容为“任意角”，涉及的重要概念包括任意角（正角，负角，零角）、象限角（终边所在的象限）、同终边角（构成集合｛β｜β＝α＋k·360°，k ∈Z｝）等。
思想方法：①数形结合，从静态定义到动态旋转，“形”的变化带来“数”的突破；②分类讨论，象限角的分类；③类比推理，从实数的正负到角的正负；④归纳提炼，在函数研究的一般过程中，明晰角的概念推广为三角函数研究的前奏。