人教A版 (2019)必修 第一册弧度制教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册弧度制教案，共8页。教案主要包含了探究一：生活情境引入等内容，欢迎下载使用。
课题
5.1.2 弧度制
教学目标
1. 知识能力目标
强调引入弧度制的必要性，引出弧度制，利用初中知识为桥梁学习 1 rad 的定义，得到弧度数的绝对值公式，理解弧度制与角度制的关系，实现弧度与角度的互化，掌握一些特殊角的弧度数，建立角的集合与实数集的对应关系，推导出弧度制下的扇形面积公式.
2. 素养目标
通过类比引入弧度制，在弧度概念的学习过程中，在弧度和角度的互化中，加强了学生对辩证统一的理解，提升了逻辑推理素养；针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形面积公式，提升数学运算素养；利用 Gegebra 制作动态图、使用科学计算器进行计算，让学生们感受学科与信息化融合的奇妙.
教学重点：
1.用初中已学弧长与半径关系解释 1rad 角的定义.
2.角度与弧度的互化.
教学难点：
1.弧度制引入的必要性及过程.
2.理解角的集合与实数集的一一对应关系.
教学过程
一．阐述背景，情境引入
教师引言：人类文明的每次突破性进步，归根到底都源于生产、生活的实际需要.而我们所学习的数学学科，是帮助人们解决问题的有效工具，在生活学习中我们经常会遇到一些值的度量.
师生交流：如长度，可以根据不同需要选择米、英尺、码等不同单位制，如质量也可以
选择千克、磅等不同单位制.上节课我们学习了任意角，以度为单位进行度量.介绍角度制的背景，ppt 展示.（古巴比伦人，以星座为参照物，近似观察出循环周期为 360 天，定义了圆周为 360。，把圆 360 等分，就是现在的度.）
初中定义三角函数放在直角三角形中，sin A= EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 7(对边),斜边) ，天才数学家欧拉发现，这个式子
输入的是一个角度，输出的是具体的实数，如果绘制函数图像，横轴是六十进制的角度，竖轴是十进制的实数，不能很好的实现统一，所以科学家们为此进行不断探索，也就是我们今天要学习的课题----弧度制.
【探究一：生活情境引入】
根据教育部办公厅《关于加强中小学劳动教育的指导意见》，培养学生动手实践能力，
提高学生生活自理能力.合肥七中在劳动教育方面因地制宜，开展校园种植实践活动，现我班分到一块扇形种植区域，为更好的规划和使用土地，现凭借仅有的卷尺为测量工具，可否得
到该扇形种植区域面积？
图 1 合肥七中种植园分布图
图 2 扇形种植区域
2
预设 1：不太可行，初中学过的扇形面积公式是S = ,需半径和圆心角n 才能求出.
预设 2：卷尺可以测量扇形弧长、半径，利用弧长公式l =得出圆心角n ，再代入面积公式求解.
【设计意图：从生活实际问题出发，引导学生思考在只有卷尺的条件下，如何测量圆心
p
角，因为“换算因子” 的存在,计算过程相对复杂,但整个计算过程蕴含着弧度制的本180
质，即用长度来测量角度.另外为后续建立弧度制后，扇形面积的简单计算方式做好对照基础.】
二．动手实践，理解概念
【探究二：测量扇形卡片的圆心角】
图 3 彩色扇形卡片
请同学们分成六个小组，以小组合作的形式，利用现有工具绳子、尺子， 测量彩色扇形卡片的圆心角，并将数据填入实验记录单的表格中.
组别
1
2
3
4
5
6
半径
弧长
圆心角
表 1 实验数据单
预设：每个小组记录的半径与弧长几乎是相等的或者完全相等，但应该也存在测量值不相同的小组，可以尝试重新测量.圆心角的计算略显复杂，基本也大致相同.
教师引导，写出初中所学弧长公式的变形n =180 . l
p r .
l问题 1：观察式子两边，n 与分别是什么，是否存在对应关系？
生：左边角度值，右边实数，建立了一一对应的正比例关系，进而启发学生用实数 l 来r
表示角.
l问题 2：在这个 的比值中应该如何规定 1 个单位的角呢？
生：当弧长和半径相等的时候为 1.
师：（板书给出定义）我们规定，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度
（radian）的角.弧度单位用符号 rad 表示,读作弧度.这种利用弧度度量角大小的方法称为弧度制.
ppt 展示弧度制研究背景.公元 6 世纪，印度人制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和
圆周，孕育着最早的弧度制概念.1748 年，数学家欧拉在他的名著《无穷小分析引论》中就提出把圆的半径作为弧长的度量单位，这一思想将线段与弧的度量统一起来， 大大简化了三角的运算.中学数学教师汤姆生首先使用了“弧度”一词，将“半径” (radius) 的前四个字
母与“角” (angle)的前两个字母合在一起，构成radian,并被人们广泛接受和引用.
l问题 3：直观感受一下，1 rad 的角到底有多大呢？1 rad 的角大概是多少度呢？
图 4 彩色扇形卡片重叠
预设：教师将扇形卡片重叠，会发现刚才实验的扇形的圆心角都是一样大的，根据小组的实验数据，半径和弧长几乎一样，根据弧度制下 1 rad 的角的定义，这个扇形的圆心角应该就是 1 rad.另外结合等边三角形三边相等，以直代曲，学生应该可以感受到 1 rad 的角大概是接近 60° .
l问题 4：
观察这一组扇形卡片，是不是半径或弧长越大，圆心角就越大？
生：不是.与两者的比值有关，这个比值随圆心角的确定而唯一确定.
师：在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为 α rad,那么a = .
在弧度制中角的正负依然由旋转方向决定，逆时针旋转为负，顺时针旋转为正，因此正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为 0.
展示 Gegebra 动画.
图 5 Gegebra 动画截图
【设计意图：培养学生的动手能力和协作意识，教师提前剪裁好 1 rad 角让学生们测量后求出圆心角，亲自测量发现弧长与半径几乎相等的特点，激发学生的探究欲，引出弧长公式的变形，为后续感受 1 rad 角及定义由来做铺垫，给出圆心角计算公式，利用Gegebra 动画直观感受弧度制下如何度量圆心角，实现了教学目标中的知识能力目标，提升了学生的逻辑推理素养.】
三．深化概念，实际应用
l问题 5：角度制、弧度制都是角的度量制，他们之间应该可以换算，探究换算公式，关键是要找到两种度量制的桥梁，请同学们思考这个桥梁是什么呢？
预设：学生讨论交流，教师总结.因为单位圆的周长是 2π ,所以周角的弧度数是 2π ,即360°=2π rad.接下来只需要单位化就可以得到换算公式.
D
1D D rad D 0.01745rad 1rad D D180 D D 57.3D D 57D18D
180 D D
书本【例4】：按照下列要求，把 67°309化成弧度：
①精确值； ②精确到 0.001 的近似值.
生：黑板板演计算.
师：第二问利用科学计算器演示最终结果.
书本【例 5】：将 3.14 rad 换算成角度（用度数表示，精确到0.001）师：第二问利用科学计算器演示最终结果.
变式:特殊角角度与弧度的互化.
表 2 弧度制角度制对应表
师总结：这样在弧度制下正角就对应正实数，负角就对应负实数，零角就对应零，现在我们就将角与实数一一对应起来了，这样的度量统一了三角函数自变量和函数值的单位，为接下来三角函数的学习带来了便捷.
图 6 对应图
书本【例 6】：利用弧度制证明下列关于扇形的公式.
（1）l =aR ; （2）S aR2 ; （3）S lR .
师生活动：教师引导学生思考并进行板演.
【设计意图：通过例题的设置加深学生对角度制与弧度制互化的理解，同时使用科学计算器进行计算，提高知识的应用性，也提升学生的数学运算素养，实现教学目标的素养目标.另外还展示了弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，实现了知识能力目标.】
四．情境再现，总结反思
1.回顾情境引入
p
课堂开始的扇形种植区域问题，角度制下的面积表达因为“换算因子” 的存在显得比180
较复杂，在应用弧度制进行转换后，面积的表达公式可以结合【例 6】给出的公式， 从形式上和内容上都比较简单.事实上角度制下的运算是六十进制，而弧度制下的运算是十进制.
2.课堂小结
（1）这节课学习了什么内容？
师生互动，学生归纳梳理，教师补充.
（2）今天我们学习了弧度制，能否说一下研究路径是什么？
预设：从情境引入 动手实验 统一概念 例题巩固 产生新知 情境回
顾； 知识上经历了度量需要 寻找关系 制定单位 定量表示 单位换算的
路径.
（3）在知识的生成过程中，我们使用了哪些数学思想方法？
预设：类比推理，转化化归，数形结合.
3.延伸拓展
角的度量制，除了角度制、弧度制外， 军事上还常用密位制，请同学们查阅相关资料，简单了解密位制的相关知识.