浙江省金华市部分示范高中2025-2026学年高二上学期1月素养检测数学试卷（Word版附解析）

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考生注意：
1．试卷分值：150 分，考试时间：120 分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项符合题目要求.
1. 已知数列 ， ， ，2， ，…则该数列的第 2025 项为（ ）
A. 45 B. C. 55 D.
2. 已知点 P 在抛物线 上，且点 P 与点 的距离和点 P 到直线 的距离相等，则
（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 过点 且与直线 垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 等差数列 的前 n 项和为 ，若 则 的值为（ ）
A. 30 B. 60 C. 45 D. 15
5. 直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，则实
数 值为（ ）
A. 1 B. 5 C. 或 5 D. 1 或
6. 已知双曲线 的右焦点为 ，过点 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 . 若
（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
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A. B. C. D.
7. 已知等比数列 ，则 （ ）
A. 3 B. ±3 C. D.
8. 若 是椭圆 的半焦距，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知圆 的半径为 2，则（ ）
A.
B. 点 在圆 C 的外部
C. 圆 与圆 外切
D. 当直线 平分圆 的周长时，
10. 已知数列 的通项公式为 ，则下列结论正确的是（ ）
A
B. 数列 是等差数列，且公差
C. 对于任意的正整数 ，均有 成立
D. 存在唯一的正整数 ，使数列 的前 项和 取得最小值
11. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛
物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛
物面，将所截得的抛物线 放在平面直角坐标系中，对称轴与 轴重合，顶点与原点重合.若抛物线 ：
的焦点为 F， 为坐标原点，一条平行于 x 轴的光线 从点 M 射入，经过 上的点 反射，
再经过 上另一点 反射后，沿直线 射出，则（ ）
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A. 的准线方程为
B
C. 若点 ，则
D. 设直线 与 准线的交点为 N，则点 N 不在直线 上
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知等差数列 各项均为正整数，且 ，则 的最小值是__________.
13. 已知圆 与 轴切于 点，与 轴切于 点，设劣弧 的中点为 ，则过点
的圆 的切线方程是________．
14. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ， ，且它们在第二象限的公共点
为点 ，点 与右焦点 的连线交 轴于点 ，且 平分 ，则双曲线 的离心率为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，满足 ，_____________．
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：
如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”）
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求 的前 n 项和 ．
16. 已知圆 的半径为 3，圆心 在射线 上，直线 被圆 截得的弦长为 .
（1）求圆 方程；
（2）过圆心的直线 与圆 交于 M、N 两点，且 的面积是 6（ 为坐标原点），求直线 的方程.
17. 在四棱锥 中，侧面 平面 ，四边形 为直角梯形， ，
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， ， 为等边三角形，点 ， 分别为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值；
（3）点 为线段 上的动点，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围．
18. 设正项数列 的前 项之和 ，数列 的前 项之积 ，且
．
（1）求证： 为等差数列，并分别求 ， 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，不等式 对任意正整数 恒成立，求正实数 的取
值范围．
19. 已知椭圆 过点 ，其中一个焦点在直线 上， 为
椭圆的上顶点，直线 与椭圆 相交于不同的两点 ， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ， 为坐标原点，求 的面积最大时实数 的值；
（3）若直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，直线 ， 与圆
分别交于点 ， .证明：直线 过定点，并求出定点坐标.
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