浙江省金华市部分示范高中2025~2026学年高二数学上学期1月素养检测试题含解析

这是一份浙江省金华市部分示范高中2025~2026学年高二数学上学期1月素养检测试题含解析，共21页。试卷主要包含了试卷分值等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．试卷分值：150 分，考试时间：120 分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项符合题目要求.
1. 已知数列 ， ， ，2， ，…则该数列的第 2025 项为（ ）
A. 45 B. C. 55 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由给定的前 5 项具有的共同性质写出通项公式，进而求出第 2025 项.
【详解】依题意，该数列的奇数项为负数、偶数项为正数，各项绝对值是项数的算术平方根，
因此该数列的第 项为 ，所以该数列的第 2025 项为 .
故选：B
2. 已知点 P 在抛物线 上，且点 P 与点 的距离和点 P 到直线 的距离相等，则
（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】数形结合，根据抛物线的定义，先确定 点横坐标，在根据抛物线定义求值.
【详解】如图：
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根据抛物线的定义，过 做 垂直抛物线的准线 ，垂足为 ，则 ，又 ，
所以 ，故 点横坐标为 ，所以 .
故选：C
3. 过点 且与直线 垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题知，所求直线的斜率为 ，进而根据点斜式求解即可.
【详解】解：因为直线 的斜率为 ，
所以，过点 且与直线 垂直的直线的斜率为 ，
所以，所求直线方程为 .
故选：A
4. 等差数列 的前 n 项和为 ，若 则 的值为（ ）
A. 30 B. 60 C. 45 D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】设基本量，再结合等差数列的性质与求和公式求解即可.
【详解】在等差数列 中，设首项为 ，公差为 ，
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因为 ，所以 ，
则 ，即 .
所以 .
故选：A
5. 直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，则实
数 的值为（ ）
A. 1 B. 5 C. 或 5 D. 1 或
【答案】D
【解析】
【分析】结合圆的方程求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 的距离，再结合题
意建立方程求出参数值即可.
【详解】如图，作出符合题意的图形，
由题意得圆 的圆心 ，半径 ，
由 ，得圆心 到直线 的距离为 ，
则 ，即 ，解得 或 ，故 D 正确.
故选：D
6. 已知双曲线 的右焦点为 ，过点 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 . 若
（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】求点 到双曲线的渐近线的距离，由条件列方程，化简可求离心率.
【详解】设双曲线 的半焦距为 ，则右焦点 的坐标为 ， ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
不妨设点 在渐近线 上，则 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：C.
7. 已知等比数列 ，则 （ ）
A. 3 B. ±3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算得解.
【详解】 等比数列 中， ，由 ，得 ，
而 ，因此 ，又 ，且 同号，则 ，
所以 .
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故选：C
8. 若 是椭圆 的半焦距，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆中 的关系，结合基本不等式先求 的取值范围，再求 的取值范围.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
且 .
故 .
故选：B
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知圆 的半径为 2，则（ ）
A.
B. 点 在圆 C 外部
C. 圆 与圆 外切
D. 当直线 平分圆 的周长时，
【答案】BC
【解析】
【分析】根据半径为 2 可判断 A；根据点与圆的位置关系可判断 B；根据圆与圆的位置关系可判断 C，根据
直线经过圆心可判断 D.
【详解】根据题意可得 ，所以 ，故 A 错误；
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圆 ，由 ，得点 在圆 的外部，故 B 正确；
圆 的圆心为 ，半径为 8，因为 ，
所以圆 与圆 ，外切，故 C 正确；
圆 的圆心坐标为 ，半径为 2，若直线 平分圆 的周长，
所以直线 过点 ，则 ，得 ，故 D 错误．
故选：BC
10. 已知数列 通项公式为 ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 数列 是等差数列，且公差
C. 对于任意的正整数 ，均有 成立
D. 存在唯一的正整数 ，使数列 的前 项和 取得最小值
【答案】AB
【解析】
【分析】先判断数列类型及公差，由等差数列的前 项和公式可以判断选项 A，利用等差中项性质可以验
证选项 C，通过二次函数性质分析前 项和最小值情况判断选项 D.
【详解】因为 ，所以 为常数，
又 ，故数列 是以 为首项，3 为公差的等差数列，所以选项 B 正确；
由等差中项 性质 故 C 错误；
又 ，所以 ，所以选项 A 正确；
对于选项 D，因为 ，令 ，二次函数的对称轴为 .
由二次函数的对称性知，当 或 时， 取到最小值，所以选项 D 错误．
故选：AB.
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11. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛
物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛
物面，将所截得的抛物线 放在平面直角坐标系中，对称轴与 轴重合，顶点与原点重合.若抛物线 ：
的焦点为 F， 为坐标原点，一条平行于 x 轴的光线 从点 M 射入，经过 上的点 反射，
再经过 上另一点 反射后，沿直线 射出，则（ ）
A. 的准线方程为
B.
C. 若点 ，则
D. 设直线 与 的准线的交点为 N，则点 N 不在直线 上
【答案】ABC
【解析】
【分析】由抛物线准线定义即可判断 A；设 ，与抛物线方程联立并结合韦达定理即可求解判
断 B；求出点 A、B，结合弦长公式即可求解判断 C；由直线 求出点 A 坐标，接着由 求出点 B
纵坐标即可判断 D.
【详解】对于 A，因为抛物线 ： ，所以抛物线 C 准线方程为 ，故 A 正确；
对于 B， ，故可设 ，联立 ，
， ，故 ，故 B 正确；
对于 C，若点 ，则 ，则 ，
故 ，故 C 正确；
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对于 D，由题可得 ，令 得 ，
所以 ，又由 B 可知 ，故点 N 在直线 上，故 D 错误；
故选：ABC
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知等差数列 的各项均为正整数，且 ，则 的最小值是__________.
【答案】7
【解析】
【分析】根据给定条件，判断数列 的单调性，再利用等差数列通项公式建立函数关系求解即得.
【详解】若等差数列 的各项均为正整数，则数列 是严格递增数列，于是公差 ，
因此 为正整数， 关于 单调递减，而 ，
则当 时， 取得最小值为 7.
故答案为：7
13. 已知圆 与 轴切于 点，与 轴切于 点，设劣弧 的中点为 ，则过点
的圆 的切线方程是________．
【答案】
【解析】
【分析】设切线方程为 ，利用直线与圆相切求 的值.
【详解】圆 与 轴切于 点，与 轴切于 点，圆心的坐标为 ，半径为 1，
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如图所示：设点 与圆 相切的直线方程为 ，
利用圆心 到直线 的距离 ，解得 或 ，
根据图象 不符合题意，故 ，故圆的切线方程为 ．
故答案为：
14. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ， ，且它们在第二象限的公共点
为点 ，点 与右焦点 的连线交 轴于点 ，且 平分 ，则双曲线 的离心率为________．
【答案】 ##2.5
【解析】
【 分 析 】 由 椭 圆 及 双 曲 线 的 定 义 可 得 ， ， 设 ， 从 而 可 得
，在 中，由余弦定理求得 ，在 中，由余弦的定义
可得 ，从而得 ，求出 的值，再由离心率公式求解即可.
【详解】由椭圆的定义知， ①， ，
由双曲线的定义知， ②，
由①②解得 ， ，
设 ，
因为点 与右焦点 的连线交 轴于点 ，
且 平分 ，
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所以 ，
在 中，由余弦定理知，
③，
设 ，
则 ，
由角平分线定理知， ，
即 ，
解得 ，
在 中， ④，
由③④得， ，
解得 或 （舍），
所以双曲线 的离心率为 ．
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，满足 ，_____________．
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：
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如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”）
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求 的前 n 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的基本量的运算可得 ，进而即得；
（2）利用分组求和法即得.
【小问 1 详解】
设等差数列 的首项为 ，公差为
若选择条件① ，则由 ，
得 ，解得 ，
；
若选择条件② ，则由 ，
得 ，解得 ，
；
若选择条件③ ，则由 ，
得 ，解得 ，
；
【小问 2 详解】
由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有 ，
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则 ，
的前 n 项和
16. 已知圆 的半径为 3，圆心 在射线 上，直线 被圆 截得的弦长为 .
（1）求圆 方程；
（2）过圆心的直线 与圆 交于 M、N 两点，且 的面积是 6（ 为坐标原点），求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）由题意设圆心 ，则圆的方程为 ，由垂径定理结合
弦长即可求解；
（2）分斜率存在与不存在两种情况结合三角形面积求解即可.
【小问 1 详解】
设圆心 ，则圆的方程为
，
或 舍去 ，
圆的方程为 .
【小问 2 详解】
由题意得 ，则点 到直线 的距离 ，
①当斜率不存在时，此时直线 l 方程为 ，
原点到直线的距离为 ，满足题意.
此时直线 方程为
②当斜率存在时，设直线 l 的方程为 ，
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原点 到直线 l 的距离 ，解得 ，
此时直线 方程 ，即 .
综上所述，直线 的方程为 或 .
17. 在四棱锥 中，侧面 平面 ，四边形 为直角梯形， ，
， ， 为等边三角形，点 ， 分别为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值；
（3）点 为线段 上的动点，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接 ，利用余弦定理可得 ，结合勾股定理可得 ，可得 ，由
面面垂直的性质可得 平面 ，进而可得 ，可证结论；
（2）取 的中点 ，连接 ，可证 ， ，以 为坐标原点， 所在直
线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得两平面的一个法向量，利用向量法可求得平面 与平面 所
成角的余弦值；
（3）设 ，设平面 与平面 所成的夹角为 ，
可得 ，利用换元法，结合二次函数的性质，可求直线 与平面 所成角的正弦值
的取值范围.
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【小问 1 详解】
连接 ，因为点 ， 分别为 的中点，所以 ，
因为四边形 为直角梯形， ， ， ，
所以 ， ，
在 中，由余弦定理可得
，
所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 为等边三角形，点 为 的中点，所以 ，
又因为侧面 平面 ，侧面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ；
【小问 2 详解】
取 的中点 ，连接 ，可得 ，
又 平面 ，又 平面 ，所以 ，
以 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
，令 ，则 ，
则平面 的一个法向量为 ，
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设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ；
【小问 3 详解】
设 ，则 ，
又 ，
又平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 所成的夹角为 ，
则 ，
令 ， ，
则 ，
令 ，可得 ，
所以 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ．
18. 设正项数列 的前 项之和 ，数列 的前 项之积 ，且
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．
（1）求证： 为等差数列，并分别求 ， 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，不等式 对任意正整数 恒成立，求正实数 的取
值范围．
【答案】（1）证明见解析， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的定义证得数列 是等差数列，求得 ，进而求得 ，利用 求
得 .
（2）利用裂项求和法求得 ，根据 的最小值列不等式，由此求得 的取值范围.
【小问 1 详解】
由题意知 ，且当 时， ，
所以由 得 ，
所以 ，由 得 ，即 ，
所以 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，
所以 ，即 ，所以 ；
当 时， ，
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当 时， 也符合上式，所以 ．
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
所以
，
所以
，
所以数列 是单调递增数列，所以 ，
因为不等式 对任意正整数 恒成立，
所以 ，即 ，又 ，
所以解得 ，所以 的取值范围为 .
【点睛】易错点睛：
小问 1：在证明 是等差数列时，必须清楚地理解递推关系如何构建，并确保每一步的推导是严谨的.尤其
是求得 后，要确保 与 的关系准确无误.
小问 2：求和时，特别是在裂项求和法中，要小心每一项的符号和相加的顺序，特别是涉及到 单调性和
不等式的推导时，不能忽略最小值的正确性.
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19. 已知椭圆 过点 ，其中一个焦点在直线 上， 为
椭圆的上顶点，直线 与椭圆 相交于不同的两点 ， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ， 为坐标原点，求 的面积最大时实数 的值；
（3）若直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，直线 ， 与圆
分别交于点 ， .证明：直线 过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由直线方程求得焦点坐标，根据已知点，可得答案；
（2）联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离以及弦长公式，根据三角形的面积公式，结
合基本不等式，可得答案；
（3）分直线的斜率存在与否两种情况，联立方程写出韦达定理，根据斜率建立方程，可得答案.
【小问 1 详解】
由焦点在直线 上，令 ，解得 ，
由过点 ，则 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为
【小问 2 详解】
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当 时，直线 ，设 ， ，
联立 ，消去 可得 ，
由 ，则 ，
可得 ， ，
点 到直线 的距离 ，
弦长 ，
则 的面积
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的值为 .
【小问 3 详解】
由（1）可知 ，所以圆 ，又 ，所以 ，
（i）若直线 垂直于 轴， ，设 的方程： ， ， ，
则 ，消去 可得 ，
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则 （*），且 ，
可得 ，解得 ，不满足（*），不合题意；
（ii）若直线 不垂直于 轴，
则设 的方程： ， ， ，
则 ，消去 可得 ，
由 ，则 ， ，
可得 .
因为 ，则 ，即 ，
,∴
所以直线 方程为： ，
所以直线 过定点 .
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