广东省2026年普通高中学业水平合格性考试数学（春季高考）试卷（Word版附解析）

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本试卷共4页，22题，满分150分．考试时间90分钟．
注意事项：
1.答卷前，考试务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在题卡相应位置上．将条形码粘贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数，则在复平面上所对应点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的几何意义易得．
【详解】因复数的实部为，虚部为，
故该复数在复平面内对应的点为.
故选：A.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解方程得到集合，由集合并集运算得到结果.
【详解】，，，又，．
故选：D.
3. 函数，的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的周期公式求解即可.
【详解】解：函数，的最小正周期为：.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.
4. 已知命题：“，”，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题.
【详解】因为命题，所以．
故选：A.
5. 下列函数为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】A：，定义域关于原点对称，且有，故为奇函数；
B：，定义域关于原点对称，且有，故为偶函数；
C：，定义域关于原点对称，但是，，故非奇非偶函数；
D选项，，定义域，不关于原点对称故为非奇非偶函数．
故选：A
6. 已知向量，且，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为，
则，解得．
故选：D.
7. 为了得到的图像，只需将的图像（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数平移变换求解即可.
【详解】解：因为
所以，为了得到的图像，只需将 的图像向左平移个单位长度．
故选：C．
8. 6户用电量：105、128、101、142、116、128（单位：），则平均数为（ ）
A. 128B. 122C. 120D. 101
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数的求法求得正确答案.
【详解】．
故选：C
9. 已知，若，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本不等式求最值即可.
【详解】因为，，所以，当且仅当，即，时等号成立.
故选：C.
10. 抛2枚硬币，事件A：第一枚正面朝上，事件B：第二枚硬币反面朝上，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. A、B互斥D. A、B相互对立
【答案】A
【解析】
【分析】分别求事件A与事件B结合互斥、对立事件判断BCD；结合古典概型判断A.
【详解】抛2枚硬币，总事件有：正正、正反、反正、反反，
则事件A：正正、正反；事件B：正反、反反；
可知事件A与事件B不相等，故B错误；
事件AB：正反，可知事件A、B不互斥，更不可能对立，故CD错误；
则，，故，故A正确；
故选：A.
11. 已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用面面垂直的判定定理和性质定理即可作出判断.
【详解】非充分性：不能推出，
必要性：，
则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
12. 已知函数，若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合二次函数的单调性，利用分段函数单调性法则列不等式组求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，所以，
解得．
故选：B
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）
13. 计算：______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据指数与对数的计算求解.
【详解】.
故答案为：5.
14. 已知角终边过点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求三角函数值.
【详解】已知角的终边过点．可得，，则．
故答案为：
15. 如图，在中，，用表示，则______．

【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为，由向量的三角形法则，得
．
故答案：
16. 不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解解一元二次不等式.
【详解】∵，∴，
∴
即不等式的解集为．
故答案为：.
17. 已知，求______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的诱导公式计算即可.
【详解】由三角函数的诱导公式可知，则．
故答案为：.
18. 已知圆台上底面积为，下底面积为，高为1，则圆台的侧面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆台的侧面积公式求值.
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为.
因为圆台上底面积为，则，
下底面积为，则，
高为1，则，
则圆台的侧面积为．
故答案为：
三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）判断并证明函数的单调性．
【答案】（1）；
（2）单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的被开方数大于等于0，列式求解；
（2）利用函数单调性的定义判断证明.
【小问1详解】
由，所以，解得，
所以函数定义域为.
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
的定义域为，
∴任取，
则
，
，，又有，
所以，即，
是上的单调递增.
20. 已知某高中高一年级150人，高二年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取5人参加该活动．
（1）高一应抽取多少人？
（2）从这5人中随机抽取2人作为本次活动的联络人，求高一、高二年级各有1人的概率．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）利用分层抽样的抽样比相同，即可计算出每一层抽的样本数；
（2）利用列举法来表示样本空间和事件A的情形，即可求出概率.
【小问1详解】
根据分层随机抽样方法，高一应抽取：（人）；
【小问2详解】
设事件A：高一、高二年级各有一人，设高一的三个人为：，高二两个人为：．
样本空间有：，，，，，，，，，，
所以总事件数为10种情况．
满足事件A的有：，，，，，，共6种情况，
所以．
21. 在中，角所对的边分别是，且．
（1）求边长的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理易得；
（2）由三角形内角和求得角，再由和角公式求出的值，最后由三角形面积公式计算即得.
【小问1详解】
由正弦定理得，，
则；
【小问2详解】
由（1）得，
由可得 ，
则，
故．
22. 在直三棱柱中，，，，，、、分别为、、的中点，是上任意一点．

（1）求证：平面．
（2）求三棱锥体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要证明线面平行，需要通过证明线线平行进而得出线面平行，即证明．
（2）先证明平面，然后求出的面积，进而根据三棱锥的体积公式求出结果即可.
【小问1详解】
证明：、分别为、的中点，
．
∵在直三棱柱中，
，．
平面，平面，平面．
【小问2详解】
，，，
、平面，平面，
平面．
，平面，平面．
，，，，．
，
．
平面，．．