数学九年级下册相似三角形的判定第2课时教学设计

这是一份数学九年级下册相似三角形的判定第2课时教学设计，共9页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
1.内容
本节课是人教版九年级下册数学第二十七章《相似》中的27.2.1相似三角形的判定的第2课时，核心内容包括具体包括“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”两个判定定理.
2.内容解析
从内容逻辑来看，这两个定理是在相似三角形定义及“两角分别相等的两个三角形相似”判定定理基础上的延伸，是对相似三角形判定方法的进一步丰富和完善.其中，“三边成比例的两个三角形相似”是从三角形三边关系角度构建的判定依据，“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”则是结合边的比例关系与角的相等关系形成的判定依据，二者共同为后续解决与相似三角形相关的计算、证明问题提供了重要的理论支撑，是相似三角形知识体系中不可或缺的核心内容.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”两个判定定理的理解与掌握，以及运用这两个定理判定三角形相似.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）通过测量、猜想、分析、证明、归纳的探究过程，理解并掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法.
（2）理解并掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 的判定定理.
（3）能运用这两个定理判定三角形相似.
2.目标解析
对于目标（1），通过测量三角形的边长、猜想三边比例关系与三角形相似的联系、分析猜想的合理性、严谨证明猜想及归纳结论的探究过程，学生能理解并掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法.
对于目标（2），通过类比全等三角形判定中“边角边”定理、分析边的比例关系与夹角相等的组合作用及结合实例感知定理内涵的过程，学生能理解并掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.
对于目标（3），通过对两个判定定理条件的辨析、梳理定理适用场景及运用定理解决三角形相似判定问题的过程，学生能运用这两个定理准确判定三角形相似.
三、教学问题诊断分析
学情方面，九年级学生已掌握相似三角形的定义、“两角分别相等的两个三角形相似”判定定理及全等三角形的判定方法，具备一定的观察、猜想、分析能力，但逻辑推理的严谨性仍有待提升.从教学内容来看，学生在学习过程中可能存在对“三边成比例”中比例关系的理解不透彻，容易混淆比例的对应关系；对于“两边成比例且夹角相等”，可能忽视“夹角”这一关键条件，误将“两边成比例且任意一角相等”当作判定依据；同时，在运用定理判定三角形相似时，学生可能难以快速准确地识别定理适用的场景，无法及时关联已知条件与定理条件.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：“三边成比例的两个三角形相似”判定定理的证明过程理解，以及准确把握“两边成比例且夹角相等”中“夹角”的关键作用，避免在判定中忽略“夹角”条件或混淆对应边、对应角的关系.
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.平行线分线段成比例的基本事实及推论分别是什么？
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
2．我们已经学习了哪些判定三角形相似的方法？
定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．
平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
【思考】类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
【设计意图】通过复习平行线分线段成比例的基本事实及推论，巩固相似三角形判定的知识基础，为后续三边判定方法的探究做好铺垫；回顾已学的相似三角形判定方法（定义法、平行法），搭建知识衔接桥梁；再以类比全等三角形 SSS 判定方法的思考设问，激发学生的探究兴趣，引导学生自然进入三边判定两个三角形相似的新知学习.
（二）新知讲解
知识点一 三边成比例的两个三角形相似
【探究】任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的 k 倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论.
【观看视频】通过度量可知，两个三角形的对应角相等；又因为两个三角形的边对应成比例，所以我们可以猜想：这两个三角形相似．
【猜想】三边成比例的两个三角形相似．
你能证明这个猜想吗？如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中，ABA’B’＝BCB’C’＝ACA’C’，求证△ABC∽△A′B′C′．
【证明】在线段 A′B′（或它的延长线）上截取 A′D＝AB， 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E．
∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′．∴A’DA’B’＝DEB’C’＝A’EA’C’．
又ABA’B’＝BCB’C’＝ACA’C’，A′D＝AB，
∴DEB’C’＝BCB’C’，A’EA’C’＝ACA’C’．
∴DE＝BC，A′E＝AC．
∴△A′DE≌△ABC，
∴△ABC∽△A′B′C′．
【归纳】由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
符号语言：
∵ABA’B’＝BCB’C’＝ACA’C’，
∴△ABC∽△A′B′C′.
知识点二 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【思考】类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
【探究】任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，ABA’B’＝ACA’C’=k，量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量这两个三角形另外两组角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？
通过度量、计算可知，BCB’C’＝k；∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以猜想：这两个三角形相似．
【猜想】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．你能证明这个猜想吗？
如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中，∠A＝∠A′，ABA’B’＝ACA’C’，求证△ABC∽△A′B′C′．
【证明】在线段 A′B′（或它的延长线）上截取 A′D＝AB， 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E．
∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′．∴A’DA’B’＝A’EA’C’．
又ABA’B’＝ACA’C’，A′D＝AB，
∴A′E＝AC．
又∠A′＝∠A，
∴△A′DE≌△ABC，
∴△ABC∽△A′B′C′．
【归纳】由此我们得到利用两边和夹角判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ABA’B’＝ACA’C’，∠A=∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
【思考】必须是夹角相等吗？
【探究】对于△ABC 和△A′B′C′，如果ABA’B’＝ACA’C’，∠B＝∠B′，这两个三角形一定相似吗？试着画画看.
不一定. 如图，△ABC 与△A′B′C′ 相似；但△ABC 与△A′B′C′′ 不相似．
因此，特别提醒：两个三角形两边对应成比例，相等的角一定要是两条对应边的夹角才能证明相似！
【设计意图】通过 “动手探究 — 视频辅助 — 猜想 — 证明” 的流程，引导学生自主探究三边成比例的两个三角形相似的判定定理，培养动手操作与逻辑推理能力；类比全等三角形 SAS 判定方法，自然过渡到两边成比例且夹角相等的相似判定探究，搭建知识迁移桥梁；通过 “夹角是否必需” 的反向探究与辨析，强化学生对定理条件的精准理解，确保新知讲解层层递进、重点突出.
（三）典型例题
一、利用三边判定三角形相似
例1 根据下列条件，判断△ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，
A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝24 cm．
解：相似，理由如下：
∵ABA’B’＝412＝13，BCB’C’＝618＝13，ACA’C’＝824＝13，
∴ABA’B’＝BCB’C’＝ACA’C’．
∴△ABC∽△A′B′C′．
【针对练习】1.依据下列各组条件，说明△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm,
A′B′=16cm，B′C′=12.8cm，A′C′=25.6cm.
解：△ABC和△A′B′C′相似；理由如下：
∵ ABA′B′=1016 = 58 ， BCB′C′=812.8 = 58 ， ACA′C′ = 1625.6 = 58 ，
∴ ABA′B′=BCB′C′=ACA′C′ ，
∴△ABC∽△A′B′C′．
2.如图，根据所给条件，判断△ADE和△ABC是否相似，并说明理由．
解：△ADE和△ABC相似，
理由是：∵AD＝2，BD＝4，AE＝2.5，CE＝5，
∴AB＝AD+BD＝6，AC＝AE+CE＝7.5，
∵BC＝9，DE＝3，
∴ADAB=AEAC=DEBC=13，
∴△ADE∽△ABC．
【小结】利用三边成比例判定三角形相似的步骤
① 排序：将两个三角形的边分别按从小到大的顺序排列；
② 计算：分别计算对应位置两边的比值；
③ 判断：观察所有对应边的比值是否相等，若相等，则两个三角形相似.
二、利用两边及其夹角判定三角形相似
例2 根据下列条件，判断△ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，
∠A′＝120°，A′B′＝3 cm ，A′C′＝6 cm．
解：相似，理由如下：
∵ABA’B’＝73，ACA′C′＝146＝73， ∴ABA’B’＝ACA′C′．
又∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′．
【针对练习】1.依据下列各组条件，说明△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
∠A=40°，AB=8cm，AC=15cm，
∠A′=40°，A′B′=16cm，A′C′=30cm；
解：△ABC和△A′B′C′相似；理由如下：
∵ ABA′B′ = 816 = 12 ， ACA′C′=1530 = 12 ，
∴ ABA′B′=ACA′C′ ，
又∵∠A=∠A′=40°，
∴△ABC∽△A′B′C′.
2.已知：如图，AD•AB=AE•AC，求证：△ADC∽△AEB．
证明：∵AD•AB＝AE•AC，
∴ADAE=ACAB，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△AEB．
【小结】1．找对应边的方法：
(1)最长边与最长边是对应边，最短边与最短边是对应边；
(2)相等的角所对的边是对应边；
(3)若△ABC∽△DEF，则相同位置上的字母一定是对应字母．
(注意“△ABC与△DEF相似”和“△ABC∽△DEF”两种说法的区别)
2．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”．
【设计意图】通过例 1 及针对练习，巩固三边成比例判定三角形相似的定理，总结判定步骤，提升学生规范解题能力；例 2 及针对练习聚焦两边成比例且夹角相等的判定方法，强化定理应用；结合小结梳理对应边找法、等积式与比例式转化技巧，实现从知识理解到实际运用的过渡，帮助学生形成系统的解题思路.
（四）当堂巩固
1.下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ B ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠FB．BCEF=ACDF且∠B＝∠D
C．ABDE=BCEF=ACDFD．ABDE=ACDF且∠A＝∠D
2.如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长如图上标注，则甲、乙中两个三角形相似的是____甲和乙
____ (填“甲”或“乙”或“甲和乙”)．
3.图中的两个三角形是否相似？为什么？

解：（1）∵1527=2036=2545=59，
∴两个三角形三组对应边的比相等，
∴两个三角形相似；
（2）∵ACEC=5436=32，BCCD=4530=32，
∴ACEC=BCCD，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ACB∽△ECD．
4.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4cm，5cm和6cm，另一个三角形框架的一边长为2cm，它的另外两条边长应当是多少？你有几种制作方案？
解：设另两边为a、b，分为三种情况：
当边长为4的和边长为2的是对应边时，根据相似三角形的性质得出42=5a=6b，
解得：a＝2.5，b＝3；
当边长为5的和边长为2的是对应边时，根据相似三角形的性质得出4a=52=6b，
解得：a=85，b=125；
当边长为6的和边长为2的是对应边时，根据相似三角形的性质得出4a=5b=62，
解得：a=43，b=53；
即它的另外两条边长应当是2.5，3或85，125或43，53．
【设计意图】聚焦本节课核心知识点，全面覆盖三角形相似的两种判定方法，既考查学生对定理条件的辨析能力，又强化知识的综合运用；分层设置题目难度，兼顾基础巩固与思维拓展，帮助学生及时检测当堂学习效果，查漏补缺，深化对相似三角形判定知识的理解与掌握.
（五）课堂总结
本节课你有哪些收获？还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力.使知识形成体系，并渗透数学思想方法.
五、教学反思