重庆市2025_2026学年高一数学上学期12月第二次定时作业试卷含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期12月第二次定时作业试卷含解析，共16页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项．
3．作答时务必将答案写在答题卡上，在试卷及草稿纸上无效．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．）
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D.
2. 幂函数的图象经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设出幂函数解析式，利用已知条件求出解析式，然后求解函数值即可．
【详解】解：设幂函数为，
∵幂函数的图象经过点，
∴，
解得，幂函数为，
则．
故选：B．
【点睛】本题考查幂函数的应用，是基础知识的考查．
3. 设，用表示不超过的最大整数，如，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】取，则，则，故“”推不出“”.
若，设，其中，，
此时，故成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
4. 对任意，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得在区间上单调递增，再利用幂函数及对数函数性质得到，从而可求解.
【详解】由题意知对任意，均有成立，
所以在区间上单调递增，
由幂函数的性质知其为增函数，因为，所以，
又因为，所以，则，即，故C正确.
故选：C
5. 函数（为自然常数）的大致图像是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的奇偶性可排除D；由，可排除B；当趋近正无穷时，趋近可排除C，即可得出答案.
【详解】因为的定义为，
所以，所以为奇函数，排除D，
又因为，所以排除B，
当趋近正无穷时，趋近，故C错误.
故选：A.
6. 已知，则有
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵0＜x＜y＜a＜1∴lgax＞lgaa=1，lgay＞lgaa=1
∴lga（xy）=lgax+lgay＞2
故选D．
7. 已知函数，若，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将转化为，分别求出和在的最值可得结果.
【详解】由，，可得，所以，
即，化简可得，
，，，即，
由于在上单调递增，所以当时，，
又，所以，当且仅当，即时取等号，
所以当时，.
综上，，即实数的取值范围是.
故选：C.
8. 若，，,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数与对数运算将题设方程转化并放缩后得到不等式，再进行指数同构和对数同构两法，利用构造函数的单调性去掉函数符号，化简即得答案.
【详解】法一：由可得，即，
因为，所以，从而，
令，上述不等式可写成，易知在R上单调递增，
则有，即，也即，所以.
法二：由可得，即，
因为，所以，从而，
则，令，
则不等式可写成，易知在上单调递增，
而，故得，所以.
故选：C.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知正数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据基本不等式及条件，可得，化简变形，可判断B、C的正误；结合对数的运算性质，可判断A的正误；根据“1”的代换法，化简计算，可判断D的正误.
【详解】选项A：由题意，所以，当且仅当时取等号，
所以，故A正确；
选项B：，故B错误；
选项C：，
所以，故C正确；
选项D：，
当且仅当，即时取等号，故D错误.
故选：AC
（原创）
10. “给出下列结论，其中正确的结论有（ ）
A. 函数的最小值为
B. 已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是
C. 函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复合函数值域的求法，结合指数函数的单调性，即可判断A的正误；根据复合函数单调性的求法，可判断B的正误；根据抽象函数定义域的求法，计算化简，可判断C的正误；根据复合函数值域的求法，结合二次函数的性质，分析求解，可判断D的正误.
【详解】选项A：令，因为，所以，
因为在上单调递减，所以当，有最小值
所以函数的最小值为，故A正确；
选项B：令，因为且，
所以为减函数，且在恒成立，
所以只需，解得，
因为函数在上是减函数，根据复合函数“同增异减”原则可得
为增函数，所以，
综上实数的取值范围是，故B正确；
选项C：因为函数的定义域为，
所以，解得，函数的定义域为，故C错误；
选项D：因为函数的值域为，设，
所以内层函数的值域需包含，
当时，，值域为，包含，符合题意；
当时，为开口向上的抛物线，
需判别式，解得；
当时，为开口向下的抛物线，值域无法包含，舍去；
综上，实数的取值范围是，故D正确.
故选：ABD
11. 设集合是实数集子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成立，那么称为集合的聚点，则下列集合中，1为该集合的聚点的有（ ）
A. B.
C. D. 整数集Z
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用集合聚点的新定义，集合的表示及元素的性质逐项判断.
【详解】解：对于A，因为集合中的元素是极限为的数列，所以对于任意，都存在，使得成立，所以为集合的聚点，故正确；
对于B，因为集合中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项与之间的距离均小于，所以对任意，都存在，使得的x，所以为集合的聚点，故正确；
对于C，对任意，都存在，使得成立，那所以为集合的聚点，故正确；
对于D，对任意，如，对任意整数，都有或成立，不可能有成立，所以不是集合整数集Z 的聚点，故错误；
故选：ABC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
（原创）
12. 关于的方程的解为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算性质，即可求得答案.
【详解】由题意，
所以.
故答案为：
13. 已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先由的正负分类讨论（可先由时函数的单调性判断），再时的函数为二次函数形式判断求解．
【详解】若，则，在上是减函数，不是最小值，不合题意；
若，则时，是增函数，因此时，，函数无最小值；
若，则时，是减函数，，
时，，因此在时是增函数，
由得，所以，
当时，，的最小值是，不是，不合题意，
综上，的取值范围是．
故答案为：
14. 若函数在区间上的最小值为常数，则其最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】令，即可证函数为奇函数，进而得，即，进而求解.
【详解】因为，
令，
则，因为，
所以函数为奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，
所以在上的最大值和最小值之和为0，
即，则，
因，故．
故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（原创）
15. 对下列两个式子进行求值．
（1）已知，求的值．
（2）若，用表示．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用完全平方公式，化简计算，即可得答案.
（2）根据对数的运算性质及换底公式，化简计算，即可得答案.
【小问1详解】
因为，所以，则，
又，且，
所以，所以.
【小问2详解】
因为，所以，则，
所以
.
（原创）
16. 已知函数为奇函数．
（1）求的值；
（2），求的值域；
（3）在上的最小值为1，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质即可求解；
（2）令，求出的范围，求出的值域，的值域即为的值域；
（3）令，由（2）可得，即的最小值为，分为，和三种情况分别讨论即可求出答案.
【小问1详解】
因为函数为奇函数，
所以对任意的恒成立，故，即，
所以的值为.
【小问2详解】
由（1）知，所以，
令，函数在上单调递增，则，
，
令，
所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，
所以的值域为.
【小问3详解】
令，
采用与（2）相同的换元方法可得，
当，即时，当时，取得最小值，
由题意得，解得，舍去，
当，即时，当时，取得最小值，
由题意得，解得或（舍去），
当，即时，当时，取得最小值，不符合题意，舍去.
综上，.
17. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
（2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【解析】
【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解.
【小问1详解】
因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
【小问2详解】
根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
（原创）
18. 已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，．
（1）求的值，并判断函数的奇偶性；
（2）用定义证明函数在上的单调性；
（3）定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数．
【答案】（1），非奇非偶函数；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）令可得的值，根据的定义域即可判断其奇偶性；（2）由当时，可联想到利用换元法求解；（3）根据（2）中的单调性，将已知不等式转化为自变量之间的不等关系，分析法证明.
【小问1详解】
因为，
令可得，解得.
因为是定义在上的函数，而不关于原点对称，
所以是非奇非偶函数.
【小问2详解】
对任意的，且，
令，则，
由知，
所以.
又当时，所以，即，所以，
所以函数在上单调递增.
【小问3详解】
因为，
所以要证，即证，
由（2）知函数在上单调递增，
所以即证，根据基本不等式知，该不等式恒成立，
所以函数是上的上凸函数．
19. 设函数，其中且且．
（1）当时，求的定义域；
（2）当时，证明：在定义域内单调递增；
（3）若存在，使得，证明：．
【答案】（1）
（2）证明过程见解析 （3）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）对数函数定义域问题，需要真数位置大于零.
（2）分别讨论底数和时的不同单调性，得到复合函数的单调性.
（3）存在问题转化为函数零点问题，需结合零点存在性定理解题.
小问1详解】
当时，，
要使函数有意义，只需，解得：
所以，的定义域为
【小问2详解】
当时，，定义域为.
令，则：
若，单调递增，故在定义域内单调递增；
若，单调递减，故在定义域内单调递减，
当时，是t的增函数，且是x的增函数，故是x的增函数；
当时，是t的减函数，且是x的减函数，故是x的增函数，
综上，在定义域内单调递增.
【小问3详解】
由得，故，.
①当时，在定义域内为增函数，
因为存在满足上式，所以，即，
故有，解得：，
在内单调递增，
.
②当时，在定义域内为减函数，
因为存在满足上式，所以，即，
故有，此时无解.
综上，