【数学】河北省沧州市2025-2026学年高二上学期1月调研考试试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1. 已知直线的倾斜角为，则直线的一个方向向量为（ ）
A. B.
C. D.
2. 若向量，，共面，则（ ）
A. 6B. C. 30D.
3. 已知椭圆的焦点在x轴上，直线被该椭圆截得的弦被点平分，则该椭圆的焦距为（ ）
A. B. 9C. D. 12
4. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. 1D.
5. 已知数列的前n项和公式为，则的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知圆和圆，则它们的位置关系是（ ）
A. 外离B. 相切
C. 内含D. 相交
7. 已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（ ）
A. P，A，B，C四点共面B. P，A，B，D四点共面
C. P，B，C，D四点共面D. P，A，C，D四点共面
8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
10. 设数列的前项n和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A. 为等比数列B.
C. 既有最大值也有最小值D.
11. 如图所示是一个以为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4，F为线段的中点，其中C、D、E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成上一个以S为顶点的圆锥的侧面，则关于此圆锥，下列说法不正确的是（ ）
A. 为正三角形B. 平面
C. 平面D. 点到平面的距离为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在空间向量中，能作为基底的一组向量是________：
①，，；
②，，；
③，，．
13. 已知等差数列前项和为，且，，若，则________.
14. 已知椭圆，过轴正半轴上一定点作直线，交椭圆于两点，当直线绕点旋转时，有（为常数），则定点的坐标为__________，__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆C经过三点，，．
（1）求圆C的方程；
（2）过点作圆C的切线，求切线方程的斜率．
16. 已知正项数列的前n项和为，且．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前n项和；
（3）若，求数列的前n项和．
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，，点E在线段PC上．

（1）若，PB上找一点F，使得平面，并说明理由；
（2）求点A到平面的距离；
（3）若直线AE与平面所成角的正弦值为，求的值．
18. 在平面直角坐标系中，已知点，动点到点和的距离之和为4．记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于两点．
①若点，直线过点且与直线垂直，求的周长；
②若，求面积的取值范围．
19. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与C交于不同两点，且满足为坐标原点，则：
①的面积是否为定值？
②椭圆C上是否存在点M（异于点），满足，如果存在，请判断的形状；如果不存在，请说明理由．