2023届河北省沧州市新华区高三上学期12月调研数学试题（解析版）

2023届河北省沧州市新华区高三上学期12月调研数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求集合M的补集，再取与集合N的交集即可.

【详解】由，可得

则

故选：D

2．复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先计算，再根据共轭复数的概念即可求解.

【详解】根据复数除法的运算法则可得 ，所以可得其共轭复数.

故选：D.

3．某校高三年级的名学生中，男生有名，女生有名．从中抽取一个容量为的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（    ）

A．、 B．、 C．、 D．、

【答案】C

【分析】利用分层抽样可计算得出样本中男生和女生的人数.

【详解】设样本中的男生和女生的人数分别为、，由分层抽样可得，解得.

故选：C.

4．六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有（    ）

A．15种 B．90种 C．540种 D．720种

【答案】B

【分析】利用乘法分步原理结合组合知识求解即可.

【详解】解：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有种方法，再从剩下的4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有种方法.由乘法分步原理得共有种方法.

故选：B

5．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（    ）

A．（－4，4） B．（－2，2）

C．（－∞，－4）U（4，＋∞） D．

【答案】D

【分析】由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径，应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.

【详解】由题设，圆心为，半径为2，

因为直线与圆没有公共点，

所以，可得或.

故选：D

6．第24届冬季奥运会举行期间，安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆，国家速滑馆，首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的方案种数为（    ）

A．18 B．16 C．14 D．12

【答案】C

【分析】根据分到首钢滑雪大跳台的人数分两类分别计算可得.

【详解】首钢滑雪大跳台只安排1人：先从丙、丁两人中选择1人安排到首钢滑雪大跳台有2种，再将剩余3人分成两组有种，最后将两组分到高山滑雪馆和国家速滑馆有种，所以甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台，且只安排1人的方案共有种；

首钢滑雪大跳台安排2人：丙、丁两人只能安排到首钢滑雪大跳台，然后将甲、乙安排到高山滑雪馆和国家速滑馆有种.

综上，满足条件的方案种数为种.

故选：C

7．满足，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】满足等价于在恒成立，构造函数，利用导数判断其单调性，进而即可判断结果.

【详解】满足，即，

令，，，，

当时，在恒成立，

在为增函数，则，即，符合题意，

当时，令，，当时，，

当时，，

所以在为增函数，在为减函数，，命题成立只需即可.

令，，当，，

即，即，命题不成立.

综上.

故选：D.

8．已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则数列是单调递减数列 B．若，则数列是单调递增数列

C．时， D．时，

【答案】C

【分析】将式子进行变形，构造等差数列，之后构造新函数，进而得到结果.

【详解】由得，

即，

所以数列是以4为公差的等差数列，

函数，

A项，，，在上是单调递增函数，即数列是单调递增数列，

B项，，在上是单调递减函数，即数列是单调递减数列，

C项，时，可知，，

，

D项，时，，由C知，，

故选：C.

二、多选题

9．若是所在的平面内的点，且下面给出的四个命题中，其中正确的是（    ）

A． B．

C．点､､…一定在一条直线上 D．､在向量方向上的投影一定相等

【答案】BCD

【分析】根据向量运算得到在边的高所在的直线上，B、C、D正确，再判断A错误，得到答案.

【详解】，则，即，

故在边的高所在的直线上，故选项B、C、D正确，

不一定为，A错误.

故选：BCD

10．若函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（    ）

A． B．

C．， D．

【答案】ACD

【分析】函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，

则判断存在两个函数值的乘积为即可.

【详解】当时，，当时，满足条件；

当时，恒成立，不满足条件；

当，时，，当，满足条件；

当时，，函数单调递增，且，，所以存在，，满足条件.

故选：ACD.

11．已知直线：与抛物线C：相交于A，B两点，点A在x轴上方，点是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】由题意可知，抛物线的准线为，利用抛物线的几何性质求出和抛物线的方程和焦点坐标，结合直线的方程可知，直线经过焦点，利用抛物线的定义表示出以为直径的圆的半径和圆心,由得到关于的方程，解方程求出，利用抛物线的定义求得焦半径计算可判断的对错.

【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确；

因为，所以抛物线的方程为：，其焦点为，

又直线 ，所以直线恒过抛物线的焦点，

设点，因为两点在抛物线上，

联立方程，两式相减可得，，

设的中点为，则，因为点在直线上，

解得可得，所以点是以为直径的圆的圆心，

由抛物线的定义知，圆的半径，

因为，所以，

解得，故选项B正确；

因为，,所以，故选项C正确；

过做轴，过做轴，抛断线的准线交轴与点，设,

，，

，，

又，，则，

则D错误.

故选：ABC

【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的性质、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握直线与抛物线的位置关系和抛物线的几何性质、圆的性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.

12．如图所示，在长方体中，，点是棱上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（    ）

A．三棱锥的体积恒为定值

B．存在唯一的点，使得截面的周长取得最小值

C．不存在点，使得平面

D．若点满足，则在棱上存在相应的点，使得平面

【答案】ABD

【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项；将侧面翻折到与底面同一平面，利用、、三点共线可判断B选项；利用线面垂直的判定定理可判断C选项；利用线面平行的判定定理可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，平面，平面，则点到平面的距离为定值，

又底面的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，

由等体积法可判断三棱锥的体积为定值，则选项A正确；

对于B选项，将侧面翻折到与底面同一平面，得矩形，

连接，与交于点，即为周长最小时的点，则选项B正确；

对于C选项，连接，在底面内过点作，交于点，

又由长方体可知平面，平面，，

因为，平面，平面，，

连接，因为且，则四边形为菱形，

所以，，因，则平面，选项C错误；

对于D选项，当时，设平面交棱于点，连接、，

因为平面平面，平面平面，

平面平面，，同理可证，

所以，四边形为平行四边形，则，

又因为，，所以，，

所以，，又因为，所以，，

过点在平面内作，交棱于点，

因为，，所以，四边形为平行四边形，所以，，

又过点在平面内作，交于点，连接，

再过点在平面内作，交于点，

因为，，所以，四边形也为平行四边形，

所以，且，则且，

连接，则四边形为平行四边形，所以，.

因平面，平面，所以，平面，选项D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若的展开式中的系数为224，则正实数的值为______．

【答案】2

【分析】根据二项式展开式的通项公式求得的系数和的系数，由此可得答案.

【详解】展开式中通项，所以时，得到的系数为，

时，得到的系数为，从而的展开式中的系数为，解得或，所以正实数的值为2．

故答案为：2.

【点睛】易错点点睛：(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 二项式通项公式： （）①它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；②其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；③注意．

14．2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种.（用数字作答）

【答案】36

【分析】先将4名同学按2,1,1分成3组，再将这3组分配到3个比赛场馆可得答案.

【详解】将4名同学按2,1,1分成3组有种方法.

再将这3组分配到3个比赛场馆，共有种

则所有分配方案共有种

故答案为：36

15．已知双曲线C：的左焦点为F，M是该双曲线一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若OMF的面积为4，则双曲线C的离心率为___．

【答案】

【分析】根据点到直线的距离公式求出，进而根据的面积并结合离心率的定义求得答案.

【详解】如图，根据双曲线的对称性，不妨设点M在第二象限，则对应的渐近线方程为，因为，所以.

由勾股定理，，而的面积为4，则，则离心率.

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交轴于两点，则_________，的取值范围是__________．

【答案】         

【分析】根据题意，分和，结合导数的几何意义得函数的图象在点和点的两条切线分别为和，再结合题意得，进而得第一个空的答案，再求坐标，结合距离公式求和化简整理得，最后求范围即可得答案.

【详解】解：当时，，故，

所以函数的图象在点处的切线斜率为，

切线方程为，

所以，

当时，，，

所以函数的图象在点处的切线斜率为，

切线方程为

所以，

因为函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，、

所以，即，

所以，

，

，

所以，

由于，所以，

所以，

因为，所以，所以

所以的取值范围是

故答案为：；.

五、解答题

17．已知等差数列的首项为2，且，，成等比数列.数列的前n项和为，且.

(1)求与的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的公差，由此求得.利用来求得.

（2）利用错位相减求和法求得.

【详解】（1）设的公差为d，因为，

所以，解得，

所以.

数列的前n项和为，且，①

当时，，②

①-②，得.

当时，，满足，所以.

（2）因为，

所以.③

，④

③-④，得，

所以.

18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.

（1）求角；

（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）分别选三个条件，都可用正弦定理解出；

（2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积.

【详解】（1）选①，由正弦定理得，

∵，∴，即，

∵，∴，

∴，∴.

选②，∵，，

由正弦定理可得，

∵，∴，

∵，∴.

选③，∵，

由已知结合正弦定理可得，

∴，∴，

∵，∴.

（2）∵，即，

∴，解得，当且仅当时取等号，

∴，周长的最小值为6，此时的面积.

【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，考查三角形面积公式，属于基础题.

19．长江是我国第一大河，永葆长江生机活力是事关中华民族伟大复兴和永续发展的千秋大计.2020年1月1日起实施的10年全年禁渔令，是我国保护长江的百年大计，是保护后代子孙生活环境的重大举措.某科研机构发现：在理想状态下，鱼群数量随时间的增长满足指数模型：，其中表示初始时刻的鱼群数量，表示鱼群的增长率.该科研机构在某个监测站从2021年1月到2021年7月每个月测一次数据，数据整理如下：

(1)根据上表与参考数据，建立理相状态下鱼群的数量关于时间的回归方程；

(2)科研机构认为在实际状态下鱼群的增长率与某个环境指标满足关系：（其中与每年禁渔的总时间（单位：月）有关，.）

（i）在2020年起实施全年禁渔令以后，若希望鱼群数量增加，如何控制环境指标的取值范围？

（ii）在2020年之前，长江每年的禁渔时长为3个月，请说明我国在2020年起实施全年禁渔令的科学性.

参考数据

其中参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

【答案】(1)

(2)（i）；（ii）答案见解析

【分析】（1）由，两边取自然对数得到，得出，结合公式求得的值，即可求解.

（2）（i）当实施禁渔令以后，要使得鱼群数量增加，得到，即可求解；

（ii）设函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】（1）解：由，两边同时取自然对数得，

设，可得，

因为，

所以，

又由，解得，

即关于的回归方程为.

（2）解：（i）当实施禁渔令以后，，要使得鱼群数量增加，

则，解得，

（ii）根据题意知，

设函数，则，

令，可得，

当时，；当时，，

所以当时，取得最大值.

此时说明鱼群数量随时间会逐渐减少，因此我国在2020年起实施全年禁渔令是科学的.

20．如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，．

(1)证明：．

(2)若平面平面ACE，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到、，即可得到平面，再根据，即可得证；

（2）由面面垂直的性质得到平面，建立如图所示空间直角坐标系，设，即可得到点，，的坐标，最后利用空间向量法求出二面角的余弦值；

【详解】（1）证明：连接DE．

因为，且D为AC的中点，所以．

因为，且D为AC的中点，所以．

因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面．

因为，所以平面BDE，所以．

（2）解：由（1）可知．

因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE两两垂直．

以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

设．则，，．从而，．

设平面BCE的法向量为，

则令，得．

平面ABC的一个法向量为．

设二面角为，由图可知为锐角，

则．

21．已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，且过点．

(1)求双曲线的方程；

(2)设为双曲线的左顶点，直线过坐标原点且斜率不为，与双曲线交于，两点，直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，与直线，分别交于（不在坐标轴上）两点，若直线，的斜率之积为定值，求点的坐标．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题意可得，，解方程求出的值即可求解；

（2），设，，，，直线，的斜率分别为，根据，，可得利用和所表示的点的坐标，同理可得利用和所表示的点的坐标，将整理为关于的方程，由对于任意的恒成立列出等价条件即可求解.

【详解】（1）由可得渐近线方程为：，

因为两条渐近线互相垂直，所以，可得，

又因为，解得：，

所以双曲线的方程为.

（2）设，，，，

由（1）知：，设直线，的斜率分别为，

因为三点共线，所以，即，

因为直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，

所以，即，所以，

由可得，所以，

同理可得，

因为直线，的斜率之积为定值，设定值为，

则，

整理可得：，其中，

因为上式对任意的都成立，所以，可得，，

所以点的坐标为.

【点睛】思路点睛：破解此类解析几何题的关键：一是“图形”引路，一般需画出草图，把已知条件翻译到图形中；二是“转化”搭桥，即利用斜率，联立方程等，将问题代数化，一般运算量较大.

22．已知函数.

(1)当时，求函数在上的最值；

(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围.

【答案】(1)最小值，最大值

(2)或

【分析】（1）利用导数判断函数在上单调性，进而求得函数在上的最值；

（2）分类讨论去掉函数解析式中的绝对值符号，利用导数表示在上单调递减，进而求得实数的取值范围.

【详解】（1）时，，则

在上单调递增，又，则.

∴在上单调递增，

∴，.

（2），

记，，则，

则在上单调递增，又，.

①当即时，，

由在上单调递减，

可知在上恒成立，

则，又由（1）知，

故实数的取值范围为.

②当即时，，

由在上单调递减，

可知在上恒成立，

则，又由（1）知，

则，又，故实数的取值范围为.

③当即时，有，.

则存在唯一实数，使得，

当时，与在上单减矛盾，此时不符合题意要求.

综上可知，的取值范围为或.