四川省绵阳市2026届高三数学上学期一诊模拟卷四含解析

这是一份四川省绵阳市2026届高三数学上学期一诊模拟卷四含解析，共19页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 已知 ，则 的值为， 在下列四个命题中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解一元二次不等式求出集合 A,再根据绝对值不等式应用交集定义计算即可.
【详解】集合 ，
，则 .
故选：B.
2. 记 为正数，设甲： ；乙： ，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数单调性化简命题甲，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由 ，得 ，解得 ，即甲： ，
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显然集合 真包含于集合 ，
所以甲是乙的充分不必要条件.
故选：A
3. 设数列 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 15 B. 16 C. 31 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利于通项公式展开联立两个等式，求出等比数列的公比和首项，再利于等比数列的求和公式可求
得的结果.
【详解】因为数列 是各项均为正数的等比数列，且 ，
故 ，联立可得 ，化简可得 ，
解得 或 ，
当 时， ,不符合题意，舍去；
当 时， ，
.
故选： .
4. 已知关于 的不等式 的整数解恰有 4 个，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先对不等式 变形为 ，再根据不等式
）的整数解恰有 4 个，对 进行限制即可得出答案.
【 详 解 】 由 ， 得 ， 因 为 不 等 式
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） 的 整 数 解 恰 有 4 个 ， 则 或 ， 所 以
或 ．
故选： ．
5. 已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系以及完全平方公式化简即可求解.
【详解】已知 ，两边平方可得 ，
即 ；
因为 ，
所以 ，解得 .
则 .
故选：C.
6. 定义在 上的偶函数 满足 ，且 时， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得到函数的一个周期为 4，再根据偶函数可得 ，利用对数的性质
即可得答案．
【详解】定义在上的函数满足 ，所以函数 的周期为 4，
因为 是定义在 上的偶函数，∴ ，
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所以 .
因为 ，
所以
所以
所以 .
故选： .
7. 已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数单调性、二次函数单调性列式求解.
【详解】由函数 在 上单调递增，得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
8. 已知函数 ，若 恒成立，则 的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，可得 与 周期相同，即 ，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为函数 恒成立，所以 与 同号或为 ，
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则 与 周期相同，即 ，可得 ，
则 ，
所以 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 .
故选：B
二、多选题：（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 在下列四个命题中，正确的是（ ）
A. 命题“ ，使得 ”的否定是“ ，都有 ”
B. 当 时， 的最小值是 5
C. 已知集合 ，若 ，则 m 的值为
D. “ ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据命题的否定即可求解 A，根据基本不等式即可求解 B，根据元素与集合的关系即可求解 C，根
据充分必要条件的定义即可求解 D.
【详解】对于 A, “ ，使得 ”的否定是“ ，都有 ”,A 正确，
对于 B,当 时， ，则 ，当且仅当
，即 时取到等号，故 B 正确，
对于 C,若 ，解得 ，则集合 ，符合题意，若 ，此
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时 无解，因此若 ，则 m 值为 ，故 C 正确，
对于 D, 由 可得到 ，当 时， 或 ，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，D
错误，
故选：ABC
10. 记 为数列 的前 项和， ，则（ ）
A. B.
C. 数列 为等比数列 D. 数列 的前 项和为 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用给定的递推公式求出 判断 A；求出数列 的通项公式，并结合错位相减法，再逐一判断
选项 BCD.
【详解】对于 A，数列 中， ，则 ，解得 ，A 正确；
当 时， ，则 ，即 ，
数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列， ，
对于 B， ，B 错误；
对于 C， ，则 ，因此数列 为等比数列，C 正确；
对于 D， ， ， ，
两式相减得 ，
因此 ，D 正确.
故选：ACD
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11. 函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 当 时， 在 处的切线的斜率为 1
B. 当 时， 在 上单调递增
C. 对任意 ， 在 上均存在零点
D. 存在 ， 在 上有唯一零点
【答案】AD
【解析】
【分析】对于 A：利用导数的几何意义计算即可判断；对于 B：求出 ，作图象数形结合
判断其正负，即可判断函数的单调性；对于 C、D：令 ，则 构造函数令
，利用导数求得其极值，从而说明当 时， ，
即可判断.
【详解】对 A：当 时， ，
，故 在 处的切线的斜率为 1，故 A 正确；
对 B：当 时， ，
作出函数 在 上的图象如图示，
可以看到 在 有两交点，
即 有两个零点 ，不妨假设 ，
当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，
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当 时， ， 递增，
故当 时， 在 上不是单调递增函数，故 B 错误；
对 C： ， ，
令 ，则 ，
令 ， ，
令 ，得 ，
故当 时， ， 递减，
当 时， ， 递增，
所以当 时， 取到极小值，
即当 时， 取到极小值，
又 ，即 ，
又因为在 上， 递减，故 ，
当 时， 取到极大值，
即当 时， 取到极大值，
又 ，即 ，故 ，
当 时， ，
所以当 ，即 时， 在 上无零点，故 C 错误；
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对 D：当 ，即 时， 与 的图象只有一个交点，
即存在 ， 在 上有唯一零点，故 D 正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数 ，利用导数判断函数单调性，确定极值，从而
帮助解决问题.
三、填空题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 函数 的极大值点为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的定义计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
所以在 处取得极大值，即函数 的极大值点为 1.
故答案为：1
13. 已知函数 的图象如图所示， 是直线 与曲线 的两个交点，
其横坐标分别为 ，且 ，则 ______．
【答案】
【解析】
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【分析】根据图象确定 ，根据 得到 ，然后根据 得到 ，最
后求函数值即可.
【详解】由图象得 ，设 ，
因为 ，所以 ，
令 ，即 ，
结合图象可得 ， ，则 ，
又 ，所以 ， ，
将 代入 中得 ，
由图可知， ，
解得 ，
所以 .
故答案为： .
14. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列 满足
， 给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是__________．
①存在正整数 ，使得 成等差数列；
②存在正整数 ，使得 成等比数列；
③存在常数 ，使得对任意正整数 ，都有 成等差数列；
④存在正整数 ，且 ，使得 ．
【答案】①③④
【解析】
【分析】由 成等差数列可判断①，由数列任意连续三项为（奇数，奇数，偶数）或（奇
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数，偶数，奇数），结合 是否成立判断②；再由递推公式可得 ，即
可判断③，写出前 16 项判断是否存在整数 ，且 ，使得
可判断④.
【详解】由题意可知 ，显然 成等差数列，即①正确；
由题可知 在 上依次为（奇数，奇数，偶数）或（奇数，偶数，奇数），
所以不可能满足 ，故不存在正整数 ，使得 成等比数列.因此②错误；
易知 ，
故满足 ，因此有 成等差数列，
即存在常数 ，使得对任意正整数 ，都有 成等差数列.所以③正确；
由递推公式计算可得数列前 16 项分别为 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,
其中 ，
所以存 正整数 ，且 ，使得 ，即④正确.
故答案为：①③④
四、解答题：（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知 ， ， ， ．求：
（1） 的值；
（2） 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 的值，进而根据 ，利
用两角差的正弦函数公式求出 的值，再根据余弦的二倍角公式即可求出 的值；
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（2）先根据诱导公式二求出 的值，利用同角三角函数基本关系式可求 的值，进
而根据 ，利用两角差的正弦函数公式求出 的值．
【小问 1 详解】
因 ，则 ，
又 ，则 ，
则 ，
所以 ．
【小问 2 详解】
由 ，则 ，
又 ，则 ，则 ，
所以
．
16. 已知数列 的前 n 项和为 ，满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，且数列 的前 n 项和为 ，求证： ．
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【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由数列的递推公式利用累乘法求解；
（2）由（1）求出 ，再由裂项法求和即可证明．
【小问 1 详解】
由 ，则 （n≥2），
两式左右分别相减得 ，即 ．
得 ，
则 ， ，…， ， ，
将以上 个式子相乘得 ．
上式对 仍成立，所以 ．
【小问 2 详解】
，
∴ ．
故命题得证．
17. 函数 ，若 在 处取得最值.
（1）求 的最小值；
（2）当 取最小值时，将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 ，在 内求使得不
等式 成立的 的取值范围.
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【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和差的正弦公式化简函数 ，然后利用对称轴列方程，结合 即可求解.
（2）先利用图象平移法则求得 ，然后将不等式化为 ，结合
，利用正弦函数图象与性质解不等式即可.
【小问 1 详解】
.
因为 在 处取得最值，所以 是函数的一条对称轴，即 .
所以 ， 因为 ，所以 的最小值为 2.
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
则函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 ，
不等式 ，即为 ，
所以 ，
当 ，又 ，所以 ，
当 ，又 ，所以 ，
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综上所述： 的取值范围为 .
18. 已知函数 ．
（1）求 在 上的最值；
（2）求 单调递减区间；
（3）若 ，对 成立，求 a 的取值范围．
【答案】（1）最大值为 43，最小值为 3
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数正负确定单调性，利用单调性确定最值即可；
（2）利用导数直接求单调区间即可；
（3）先由双变量问题转化为最值问题，再对变量 分情况讨论，利用参变分离，结合对勾函数单调性确定
最值，得到参数范围即可．
【小问 1 详解】
， ，
令 ，解得 或 ，
所以当 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减；
时，， ， 单调递增；
所以 ，
又 ，
所以 在 上的最大值为 43，最小值为 3．
【小问 2 详解】
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函数 定义域为 ，
，
令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 ．
【小问 3 详解】
因为 ，
所以 ，
由（1）知 时， ，
即 时， ，
即 ，
当 时，令 ，
则 ，即 恒成立，
又 在 上单调递减，
所以 ；
当 时， 恒成立，此时 ，
当 时，令 ，
则 ，即 恒成立，
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又 ，当且仅当 时取等，
所以 ；
又 ，综上， ．
19. 已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）设 ，若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可求解；
（3）由 参变分离得 恒成立，设 ，
，则 ，令 ，利用导数证明 即可求出 .
【小问 1 详解】
，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
函数 在 处的切线方程为 ；
【小问 2 详解】
函数 的定义域为 ， ，
①当 时， 恒成立，令 ，则 ，
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若 ，则 ；若 ，则 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增；
②当 时， ，
令 ，则 或 ，
（ⅰ）当 ，即 时，
若 ，则 或 ；若 ，则 ，
所以 和 上单调递增，在 上单调递减；
（ⅱ）当 ，即 时， 恒成立， 在 上递增；
（ⅲ）当 ，即 时，
若 ，则 或 ，若 ，则 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 单调递减，在 单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
【小问 3 详解】
的定义域为 ，
由 得 恒成立，即 恒成立，
设 ， ，则 ，
因为 ，同构可得 ，
令 ，因为 ，所以 ，
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下面证 ．
设 ， ，于是 ，
令 ，则 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立．
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 .
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