四川省绵阳市2026届高三数学上学期一诊模拟卷二含解析

这是一份四川省绵阳市2026届高三数学上学期一诊模拟卷二含解析，共17页。试卷主要包含了 考试结束后，将答题卡交回， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
完成时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3. 考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据常见数集，结合交集运算，可得答案.
【详解】因为集合 是所有非正整数组成的集合，所以 ．
故选：D.
2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 上是单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义以及指数函数与对数函数的单调性，可得答案.
【详解】对于 A，由函数 可得定义域为 ，将 代入函数 ，可得
，所以函数 为奇函数，故 A 错误；
对于 B，由函数 的定义域为 ，将 代入函数 ，可得 ，所以函数
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为偶函数，
当 时，函数解析式为 ，易知该函数是增函数，故 B 正确；
对于 C，由函数 的定义域为 ，将 代入函数 ，可得 ，所以函数
为偶函数，
当 时，函数解析式为 ，易知该函数是减函数，故 C 错误；
对于 D，由函数 的定义域为 ，将 代入函数 ，可得 ，所以函数 为
奇函数，故 D 错误；
故选：B.
3. 已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦函数性质和对数函数单调性即可比较大小.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ．
故选：C．
4. 设 ，则 的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用充分性和必要性的定义逐项判断即可.
【详解】对于 A，当 时，满足 ，但是不符合 ，故 不是 的一个充分条
件，故 A 错误；
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对于 B， ，即 ，即 ，所以 是 的必要不充分条件，故 B
错误；
对于 C， ，即 ，故 是 的充要条件，故 C 错误；
对于 D， ，即 ， ，故 是 的一个充分不必要条件，故 D
正确.
故选：D
5. 习近平总书记多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗目
标；事关中华民族永续发展的大事.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和
社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为 ，排放前每过滤
一次，该污染物的含量都会减少 ，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过 ，
若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）
（参考数据： ， ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知关系可构造不等式 ，利用指数与对数互化可得 ，结合
换底公式和对数运算法则可求得 的最小值.
【详解】设排放前需要过滤 次，则 ， ，
，
又 ， ，即排放前需要过滤的次数至少为 次.
故选：C
6. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后与函数 的图象重
合，则 的最小值为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用图象平移法则，得到向左平移 个单位长度后的函数为 ，再结合条
件得到 ，即可求解.
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
得到 ，
由题有 ，即 ，取 ，得到 ，
故选：A.
7. 已知等差数列 的前 项和 满足： ，则数列 的最小项是第（ ）项.
A. 2026 B. 2027 C. 4048 D. 4049
【答案】A
【解析】
【分析】由题设可得 ， ， ，等差数列 为递增数列，进而得到
， ，进而结合单调性分析求解即可.
【详解】由 ，
则 ， ， ，
因此等差数列 为递增数列，
而 ，
，
则 时， ， ，即 ；
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当 时， ，要使 最小，则 ，
此时 ，数列 为递增数列，
则随着 的增大， 增大， 减小， 增大，但 ， ，则 增大，
因此，当 时， 最小.
故选：A.
8. 定义在 上函数满足 ，且当 时， .则使得 在
上恒成立的 的最小值是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，在区间 上， ，作函数
的图象，如图所示，然后结合图像可求出 的最小值
【详解】根据题设可知，当 时， ，故 ，
同理可得：在区间 上， ，
所以当 时， .
作函数 的图象，如图所示.
在 上，由 ，得 .
由图象可知当 时， .
故选：D.
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【点睛】此题考查函数在给定区间上恒成立问题，考查数形结合思想，属于中档题
二、多选题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 的最小值为 2
C. D. 的最小值为 2
【答案】AD
【解析】
【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可.
【详解】对于 A，若 ，则 ，A 正确;
对于 B， 或 ，因为 不知道和 的大小关系，B 错误；
对于 C，若 ，则 ，而
，但是 与 的大小不能确定，故 C 错误；
对于 D， ，当且仅当 ，即 取等号，D 正确.
故选：AD
10. 已知函数 的部分图象如图所示，把函数 图象
上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，得到函数 的图象，则（ ）
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A. 为偶函数
B. 的最小正周期是
C. 图象关于直线 对称
D. 将 图象向左平移 后，在 上单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件求出 的解析式，在通过三角函数的伸缩变化求出 的解析式，结合三角函
数的单调性、周期性、对称性、奇偶性即可求出答案.
【详解】由图知， ，则 ，即 ，因为 ，所以
.
因为 为 的零点，则 ，得 .
由图知， ，
则 ，所以 ， ，从而 .
由题设， ，
则 为非奇非偶函数，所以 A 错；
的最小正周期 ，所以 B 正确；
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当 时， ，则 的图象关于直线 对称，所以 C 正确；
， ，将 图象向左平移 后，在
上单调递减，所以 D 正确.
故选：BCD.
11. 已知函数 定义域为 ，其导函数为 ，且 ，则
下列说法正确的是（ ）
A. 一个对称中心为 B. 的一个周期为 2
C. 的图象关于 对称 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对 A，根据函数的对称性定义可判断；对 B，由 ，两边求导可得 的图
象关于 对称，结合条件可得 ，由周期函数的定义得解；对 C，由 的图象关于
对称，周期为 4，可判断；对 D，将 代入 ，可得 ，将
代入 结合 可得 ，结合函数的周期性运算得解.
【详解】对于 A，由 满足 ，则 关于 中心对称，故 A 正确；
对于 B，由 ，两边求导可得 ，
即 ，所以 的图象关于 对称，
又 等价于 ，
，所以 ，
，即 的一个周期为 4，故 B 错误；
对于 C，因为 的图象关于 对称，周期为 4，所以 的图象关于 对称，故 C 正确；
对于 D，将 代入 ，可得 ，
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将 代入 ，得 ，又 ，
所以 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知 ，则 的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两角和差公式及二倍角余弦公式计算求解.
【详解】因为 ，
则 ．
故答案为： .
13. 若 ， ，且函数 在 处有极值，则 的最小值等于____．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用极值点求出 的关系并验证，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值
.
详解】函数 ，求导得 ，
由函数 在 处有极值，得 ，解得 ，
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此时 ，由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，函数 在 处取得极值，
因此 ， ，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值等于 .
故答案为：
14. 已 知 数 列 的 前 项 和 为 ， ， ， ， 则 满 足
的正整数 的所有取值集合为__________.
【答案】
【解析】
【分析】按奇偶分析数列 的特征，利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前 项和公式求出
，再借助单调性求得答案.
【详解】当 为奇数时， ，即数列 中的奇数项构成以 为首项，公差为 的等差数列；
当 为偶数时， ，即数列 中的偶数项构成以 为首项，公比为 的等比数列，
显然数列 中的每一项均为正整数，则数列 为递增数列，
当 为奇数时，设 ，则 ，
当 为偶数时，设 ，则 ，
而 ， ，
， ，
所以满足 的正整数 的所有取值集合为 .
故答案为：
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四、解答题：(本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 已知 ，求下列各式的值.
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正余弦函数齐次式化简为正切即可得解；
（2）利用同角三角函数的基本关系化简求解.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ，
即 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ .
16. 已知函数 .
（1）求函数 的单调递增区间及在 上的值域；
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（2）若 为锐角且 ，求 的值.
【答案】（1）单调递增区间为 ，值域为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解.
（2）由（1）的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解.
【小问 1 详解】
依题意，函数
由 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ；
由 ，得 ， ，
所以当 的值域为 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，由 ，得 ，
由 ，得 ，所以 ， ，
所以
.
17. 已知函数 在 处取得极值 ．
（1）求 ；
（2）函数 图象与函数 图象关于点 对称，若存在 使 成立，
求实数 的取值范围；
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）利用极值的定义结合导数，即可列方程组求值；
（2）利用对称思想求出 ，再结合不等式存在性问题，通过分离参变量可求得参数范围.
【小问 1 详解】
，由题意得 ，
所以 ，所以 ，经检验，符合题意，故 ；
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
由函数 图象与函数 图象关于点 对称，
则把点 代入 即可得 ，
即 ，
整理得：
所以 ，
因为 ，所以 ，
①当 时， ，不成立，舍去．
②当 时， ，令
所以
令 得 ，令 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，因为存在 使 成立，
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所以 ，所以 ，综上所述， ；
18. 已 知 正 项 数 列 的 首 项 为 7， 且 ， 数 列 满 足 ，
．
（1）求 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和 ；
（3）设 ， 为数列 的前 n 项和，若对任意 ， 恒成立，求出
与实数 m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）应用因式分解得出 ，进而得出等差数列通项公式，再应用 计算得
出等比数列的通项公式；
（2）应用等比数列求和公式及等差数列求和公式分组求和即可求解；
（3）应用裂项相消计算得出 取得最小值 ，最后解一元二次不等式即可.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，即 ．
又 ，所以 是首项为 7，公差为 3 的等差数列．
因为 ，①
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所以当 时， ，②
①-②得 也满足 ．
故 的通项公式为 的通项公式为 ．
【小问 2 详解】
由（1）知 ，所以
【小问 3 详解】
因 ，
所以 ，
当 时， 取得最小值 ．
因为对任意 恒成立，所以 ，
整理得 ，解得 ．
19. 定义：若函数 与 在公共定义域内存在 ，使得 ，则称 与 为“契
合函数”， 为“契合点”．
（1）若 与 为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数 a 的取值范围．
（2）若 与 为“契合函数”，且有两个不同的“契合点” ．
①求 b 的取值范围；
②证明： ．
【答案】（1） ；
（2）① ；②证明见解析.
【解析】
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【分析】（1）由给定的定义把问题转化为方程 有唯一零点，再构造函数，利用导数探讨函数的
性质求解即可.
（2）①根据给定的定义将问题转化为方程 有两个不同的零点求解；②由①中信息，利用
极值点偏移求解.
【小问 1 详解】
由 与 为“契合函数”，得 ，使
，令 ，依题意，方程 有唯一解，
求导得 ，当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
当 时， ， 时， ， ，
又 和 只有一个“契合点”，则直线 与函数 的图象只有 1 个交点，则 或 ，
所以实数 a 的取值范围是 .
【小问 2 详解】
①由 与 为“契合函数”，且有两个不同的“契合点” ，
得存在 ，使 ，
即关于 的方程 有两个相异正根 ，令函数 ，
求导得 ，
由 ，得 ，得当 时， ；当 时， ，
则函数 在 上递增，在 上递减，则 ，
当 从大于 0 的方向趋近于 0 时， ；当 时， ，
因此当 时，直线 与函数 的图象有两个不同交点，
所以 b 的取值范围是 .
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②由（1）知，当 时， ，令 ，
求导得 ，
令 ，求导得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减， ， ，
函数 在 上单调递减， ，因此当 时， ，
而 ，则 ，又 ，于是 ，
又 ，函数 在 上递减，则 ，
所以 .
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