四川省绵阳市2026届高三数学上学期一诊模拟卷三含解析

这是一份四川省绵阳市2026届高三数学上学期一诊模拟卷三含解析，共19页。试卷主要包含了 考试结束后，将答题卡交回， 函数 的图象大致为， 已知 为第一象限角，且 ，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3. 考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 如果集合 ，那么 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合，然后根据交集定义运算即得.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：D.
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】取 ，满足 ，但是 不成立，所以充分性不成立.
当 时，由 ，则 一定成立，即必要性成立 ．
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所以 “ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
3. 下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上为减函数的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】 最小正周期 ，且在区间 上为减函数，适合； 最小正周期为 ，不
适合； 最小正周期为 ，在区间 上不单调，不适合； 最小正周期为 ，在区
间 上为增函数，不适合.
故选 A
4. 已知 依次成等差数列， 依次成等比数列，则 的最小值是（ ）
A. 2 B. C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用等差、等比数列的性质得 ，从而有 ，再
利用基本不等式，即可求解.
【详解】 成等差数列， 成等比数列，
所以 ，且 ，则 ，
当且仅当 时取等号，
故选：A.
5. 函数 的图象大致为（ ）
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A. B. C
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，可排除 B,D；将特殊值 代入解析式验证，可排除 A,由此可得答案.
【详解】由 ，可知 为奇函数，排除 B，D；
又 ，排除 A，
故选：C．
6. 已知 为第一象限角，且 ，则 （ ）
A. 9 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件求出 的值，再通过正余弦化切将所给关系式化简，代入即可.
【详解】因为 为第一象限角，且 ，则
，解得 ，因为 ，
解得 ，又 .
故选：C
7. 2023 年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为 1000PetaFLOPS
（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek 的算力每年增长 ．截止至 2025 年，其算力已提
升至 2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek 的算力预计在哪一年首次突破
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7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据： ， ， ）
A. 年 B. 年
C. 年 D. 年
【答案】C
【解析】
【分析】利用归纳可知，从 年起，到第 年，DeepSeek 的算力提升至 PetaFLOPS，
解不等式 ，即可得出结论.
【详解】由题意可知，截止至 2025 年，DeepSeek 的算力已提升至 2250PetaFLOPS，
到 年，其算力提升至 PetaFLOPS，
到 年，其算力提升至 PetaFLOPS， ，
以此类推可知，从 年起，到第 年，DeepSeek 的算力提升至 PetaFLOPS，
由 ，可得 ，
所以， ，
所以，DeepSeek 的算力预计在 年首次突破 PetaFLOPS，
故选：C.
8. 已知函数 的图象在区间 内恰好有 对关于 轴对称的点，则
的值可以是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】令 ， ，根据对称性，问题可以转化为 与 的图
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象在 内有 个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令 ， ，
因为 与 的图象关于 轴对称，
因为函数 的图象在区间 内恰好有 对关于 轴对称的点，
所以问题转化为 与 的图象在 内有 个不同的交点，
在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象如下所示：
因为 ，当 时 ， ，
结合图象及选项可得 的值可以是 ，其他值均不符合要求,.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为 与 的图象在
内有 个不同的交点.
二、多选题：（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若圆心角为 的扇形的面积为 ，则扇形的弧长为
C. 终边落在直线 上的角的集合是
D. 函数 的定义域为
【答案】ABD
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【解析】
【分析】利用三角函数符号法则判断 A；利用扇形弧长、面积公式计算判断 B；求出角的集合表达式判断 C；
利用正切函数求出定义域判断 D.
【详解】对于 A，由 ，得 ，则 ，A 正确；
对于 B，设扇形半径为 ，由圆心角为 的扇形的面积为 ，得 ，
解得 ，因此扇形的弧长为 ，B 正确；
对于 C，终边落在射线 上的角集合为 ，
终边落在射线 上的角集合为 ，
因此终边落在直线 上的角的集合是 ，C 错误；
对于 D，由 ，得 ，
因此函数 的定义域为 ，D 正确.
故选：ABD
10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最
上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，第四层有 10 个球……设第 层有 个球，则（ ）
A. B. 是等差数列
C. 为偶数 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意 ，利用累加法得 即可判断 ABC 选
项，对于 D， ，再根据裂项相消法可得 的和，接着简单放
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缩即可判断.
【详解】根据题意，当 时， ，
累加得 ，
，易知 也满足，所以 ，
，故 A 正确；
，故 B 正确；
为奇数，故 C 错误；
， ，
，
，
即 ，故 D 正确；
故选：ABD.
11. 已知函数 对任意 ，都有 ，函数 的定义域为 ，
且 的导函数 满足 ，则（ ）
A.
B.
C.
D. 当 时， 可能为偶函数
【答案】BCD
【解析】
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【 分 析 】 采 用 赋 值 法 ， 令 ， 可 判 断 A 的 真 假 ； 利 用 赋 值 法 先 求 ， 设 辅 助 函 数
，根据函数的单调性可得 ，可判断 B 的真假；利用 B 的结论，结合
可判断 C 的真假；取函数 ，可判断 D 的真假.
【详解】对 A：令 ，得 ，即 ，A 错误.
对 B：令 ，得 ，得 .
由 ，得 ，构造函数 ，
则 ，则 为减函数，则 ，
即 ，则 ，所以 ，故 B 正确；
对 C：令 ，得 .
根据 B 的结论，得： ，
所以 ，故 C 正确；
对 D：若 ，则可取 满足 ，
则 为偶函数，故 D 正确.
故选：BCD
三、填空题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知函数 且 的图像过定点 ，若角 的终边过点 ，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】先利用指数函数定义求出定点 坐标，再利用正弦函数定义可得 .
【详解】因为函数 过定点 ，由指数函数性质可知 点横坐标为 3，
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代入可得 ，由正弦函数定义可知 .
故答案为： .
13. 已知函数 在区间 上有且仅有 2 个零点，则 的最小正周期的最
小值为_____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据 范围确定 的范围，令 ，作 图象即可得到符合题意得 的范围，
即 得范围，从而求出 的范围，再根据 即可求解.
【详解】 ，在区间 上有且仅有 2 个零点，即
，则 有且仅有两个零点.
所以 ，则 ，即 ，
又 ， 取最大值 时， 有最小值，最小值为 .
故答案为： .
14. 已知函数 是 上奇函数，若数列 的项满足：
（ ）.则数列 的通项公式为：
____________.
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【答案】
【解析】
【分析】首先由奇函数的性质，得到 ，再根据结论，利用倒序相加法，即可求
解.
【详解】因为函数 是 上奇函数，所以
，
所以 ，
，
两式相加得：
，
即 .
故答案为：
四、解答题：(本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 设函数 ．
（1）求函数 的单调递增区间及对称中心；
（2）当 时， ，求 的值．
【答案】（1）单调递增区间是 ； ，
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式，诱导公式化简函数式，然后利用正弦函数的单调性与对称中心求解；
（2）由两角差的余弦公式计算．
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【小问 1 详解】
由题意得：
，
由 ，可得 ；
所以 的单调递增区间是 ；
令 ， ，解得： ， ，此时函数值为 ，
所以对称中心为 ， ．
【小问 2 详解】
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
．
16. 已知函数 .
（1）求函数 的极值；
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（2）求函数 在区间 上的值域.
【答案】（1）详见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数的极值定义求解；
（2）利用导数法求解.
【小问 1 详解】
解：因为 ，
所以 ，
令 得 ，
当 或 时， ，
当 时， ，
所以当 时， 取得极大值 ，
当 时， 取得极小值 ，
【小问 2 详解】
由（1）知：当 时， 取得极小值 ，
又 ，
所以函数 在区间 上的值域是 .
17. 已知函数 是奇函数.
（1）求实数 ， 的值；
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（2）若对任意实数 ，都有 成立.求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
分析】
（1）利用奇函数的定义 可构造方程求得结果；
（2）将不等式转化为 ，令 ，可将不等式化为
，根据二次函数性质，分别在 和 两种情况下求得 ，利用
可求得结果.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
为奇函数， ，
，
即 恒成立， ，解得： ，
当 时，同理可得： ，
综上所述： .
（2） ， ，原不等式化为 ，
令 ，则 ，原不等式进一步化为： 在 上恒成立.
记 ， .
①当 ，即 时， ， ；
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②当 ，即 时， ，解集为 .
综上所述：实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是能够通过换元法将问题转化为含参数的二
次函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式可求得二次函数的最值；易错点是在换元时，忽略新参数的
取值范围，造成求解最值时出现错误.
18. 已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ， ，且 .
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求数列 的通项公式；
（3）若 ，求 取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知等式变形得出 ，化简得出 ，结合等差数
列的定义可证得结论成立；
（2）结合（1）中的结论可得出数列 的通项公式，由此可求得数列 的通项公式；
（3）由参变量分离法得出 ，令
，分析数列 的单调性，即可求得实数 的取值范围.
【小问 1 详解】
因为各项均为正数的数列 的前 项和为 ，则对任意的 ， ，
当 时， ，
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即 ，所以， ，
因此，数列 是等差数列，且其首项为 ，公差为 .
【小问 2 详解】
由（1）可得 ，则当 时， ，
也满足 ，故 ， .
【小问 3 详解】
由 可得
，
令 ，则
则
，即 ，
所以，数列 为单调递增数列，则 ，
因此， 的取值范围是 .
19. 已知函数 的定义域为 为其导函数．若 ，则称 为 上的“优
导函数”．
（1）判断 是否是 上的“优导函数”？
（2）已知 为 上的“优导函数”，求实数 的取值范围；
（3）已知 为 上的“优导函数”，且 ，若存在唯一正数 ，使得 ，
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求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；答案见解析
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）由函数新定义结合正余弦函数的取值可得；
（2）由函数新定义分离参数后构造函数 ，求导分析最值可得；
（3）先利用函数新定义构造函数令 ，求导分析单调性得到 ，从而得到 有唯一正
零点，再分 ， 和 ，三种情况，求导分析 可得.
【小问 1 详解】
由 可得 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，且两函数不同时为零，
所以 ，所以 是 上 “优导函数”.
【小问 2 详解】
由 得 ，
所以 ，
又 为 上的“优导函数”，
所以对任意的 ，
所以对任意得 ，
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令 ，则 ，
令 得 ，令 得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以实数 的取值范围 .
【小问 3 详解】
令 ，则 ，
因为 为 上的“优导函数”，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递减，
又 ，即 ，所以 ，
即 ， ，
令 ，则 有唯一正零点， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，又 ，
取正数 ，则 ，
故存在唯一 ，使得 ，
即 在 上有唯一零点，满足题意；
当 时， ，显然有唯一零点 1，符合题意；
当 时，令 得 ，令 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
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又当 时， ，当 时， ，
要使 上有唯一零点，必有 ，
所以实数 的取值范围为 或 .
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