精品解析：广东省佛山市S6高质量发展联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份精品解析：广东省佛山市S6高质量发展联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试范围：必修一第1—3章；考试时间：120分钟 2024年11月
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用特称命题的否定为全称命题求解.
【详解】原命题为特称命题它的否定为全称命题，.
故选：A
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解不等式，然后按补集定义求补集，再用并集定义求解即可
【详解】或
所以，
故选：D
3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】分别判断选项中函数的定义域和对应关系，即可得到答案.
【详解】对选项A，因为定义域为R，定义域为，定义域不同，
所以，不同一函数，故A错误.
对选项B，因为定义域为R，定义域为，
定义域不同，所以，不是同一函数，故B错误.
对选项C，因为定义域为或，
定义域为，定义域不同，
所以，不是同一函数，故C错误.
对选项D，因为定义域为R，定义域为R，
，
所以，是同一函数，故D正确.
故选：D
4. 已知且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC.
【详解】A：当时，，故A错误；
B：当时，满足，但不成立，故B错误；
C：当时，，故C错误；
D：由，得，故D正确.
故选：D
5. 已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得，再根据集合的包含关系，对参数进行分类讨论，即可求得结果.
【详解】由题意知：
又且或；
①当时，，，故，解得，故；
②当时，，满足；
③当时，，，故，解得，故；
综上所述：.
故选：A.
6. 定义在R上的函数满足：①，②，③，则不等式的解集是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再利用性质求解不等式作答.
【详解】因，，则在上单调递增，
又，则函数是R上的奇函数，因此在上单调递增，
显然，不等式化为：或，即或，
解得或，所以不等式的解集是或.
故选：A
7. 已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数且为增函数，进而可以将原问题转化为对任意实数恒成立，由对勾函数的性质分析，可得的取值范围．
【详解】解：函数的定义域为，
且，所以为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，
若不等式对任意实数恒成立，
则，即对任意实数恒成立，
所以对于任意实数恒成立，
即任意实数恒成立，
因为函数在上单调递增，所以，则有最小值，
若对任意实数恒成立，所以．
即的取值范围为．
故选：B．
8. 已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 （ ）
A 920.B. 924C. 308D. 320
【答案】D
【解析】
【分析】分析出在集合的所有非空子集中分别出现了次，从而列出式子，求出这些和的总和.
【详解】的子集个数有个，其中每个元素均出现次，
故元素在集合的所有非空子集中分别出现了次，
则对的所有非空子集中，元素执行乘以再求和操作，
则这些和的总和为
.
故选：D
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9. 已知幂函数的图象经过点，则函数的大致图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先利用幂函数的解析式得到的解析式，从而得到为二次函数，进而根据二次函数的对称轴位置得到结果.
【详解】设幂函数，将代入可得：，所以，
，所以是二次函数，故排除B选项，
对称轴为，在轴左侧，故排除D选项，
当时，为开口向上的二次函数，可知A正确，
当时，为开口向下的二次函数，可知C正确.
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”是真命题
B. 若，则
C. 若幂函数在区间上是减函数，则
D. 方程有一个正实根，一个负实根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，运用函数值域判断；B选项，特殊值判断；C选项，运用幂函数定义和性质计算判断；D选项，由二次函数的图像性质判断得到.
【详解】A选项，∀x∈R,x2+2x+3=x+12+2>0恒成立，A正确；
B选项，若，如，则，B选项错误；
C选项，函数是幂函数，
所以，即，解得，或，
当时，在0,+∞上单调递减，符合题意，
当时，，不符合题意，C选项正确；
D选项，设，则有两个实根，且一个正实根，一个负实根，故，D选项正确.
故选：ACD
11. 若实数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A项，只需将通过基本不等式放大为，解不等式即得；对于B项，只需将通过基本不等式缩小为，解不等式即得；对于C项，可以通过原等式消去一元代入所求式，再凑项运用基本不等式即得；对于D项，应注意到与的关系，即可整体运用基本不等式求得.
【详解】对于选项A，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则得，
解得：或，因，则，故A项错误；
对于选项B，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则，
解得：或，因，则，即，故B项正确；
对于选项C，由可得：，则，且，
则，当且仅当时取等号，
即时，有最小值，故C项正确；
对于选项D，由可得：，即，且，
则，当且仅当时等号成立，
由解得：，即当且仅当时，有最小值，故D项正确.
故选：BCD.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据抽象函数和具体函数定义域求解方法，结合函数解析式，求解即可.
【详解】根据题意，，且，解得，故定义域为.
故答案为：.
13. 若，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性，列出不等式组求解即得.
【详解】由幂函数在和上都是单调递减的，
由，得或或，
解得或，所以实数的取值范围为.
故答案为：
14. 若不等式对一切实数x均成立，则实数m的取值范围为__________.若存在实数b，使得关于m的方程在上述范围有解，则实数b的取值范围为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①由条件转化为不等式恒成立，运用分类讨论思想及一元二次不等式恒成立条件可求出m的范围；②由条件转化为方程有解，求b的范围即转化为函数的值域，运用分离常数法及对勾函数的单调性即可得结果.
【详解】由条件可知即为不等式恒成立，
当时不等式显然恒成立；
当时，由一元二次不等式恒成立可得，
即，，
综上可知：m的取值范围为；
因为，可知，
依题意，方程有解，
即方程有解，
所以求b的范围即转化为求函数的值域，
，
令，，
又对勾函数在上为增函数，且，，
，即，所以b的取值范围为，
故答案为：；.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数.
（1）先判断函数在区间上的单调性，再用定义法证明；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1）在上单调递减，证明见解析；
（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）将令应用作差法判断的大小判断单调性；
（2）利用的单调性求区间的最值.
【小问1详解】
在上单调递减，
令，
则
，
又，，
所以，故，
则在区间上的单调递减.
【小问2详解】
由（1）知：在上的单调递减，所以在上递减，
即，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为.
16. 已知函数是上的偶函数，当，，
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义求时，函数的解析式，即可得结果；
（2）根据函数解析式以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得，运算求解即可.
【小问1详解】
当时，则，
由题意可得：，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
因为的开口向下，对称轴为，
可知函数在内单调递增，
且函数是R上的偶函数，可知函数在内单调递减，
若，则，
整理可得，解得或，
所以实数的取值范围为.
17. 为改善生态环境，某企业对生产过程中产生的污水进行处理.已知该企业污水日处理量为百吨，日处理污水的总成本元与百吨之间的函数关系可近似地表示为.
（1）该企业日污水处理量为多少百吨时，平均成本最低?（平均成本）
（2）若该企业每处理1百吨污水获收益100元，使该企业可持续发展，政府决定对该企业污水处理进行财政补贴，补贴方式有两种方案：
方案一：每日进行定额财政补贴，金额为4200元；
方案二：根据日处理量进行财政补贴，处理百吨获得金额为元.
如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴?并说明原因.
【答案】（1）百吨；
（2）选择方案二，日处理污水量为100百吨时，成本最低，获得最大利润.
【解析】
【分析】（1）根据条件写出日污水处理量的平均成本表达式，利用基本不等式求解出其最小值；
（2）根据两种补贴方式分别列出企业日获利的函数表达式，并求解出最大值，将最大值进行比较确定出所选的补贴方式.
【小问1详解】
由题意可知，每百吨污水平均处理成本为，.
又.
当且仅当，即百吨时，每百吨污水的平均处理成本最低.
小问2详解】
若该企业采用第一种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得
，
因为,所以当百吨时，企业最大获利为元.
若该企业采用第二种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得

因为,所以当百吨时, 企业最大获利为元.
结论：选择方案二，日处理污水量为100百吨时，成本最低，获得最大利润.
18. 已知关于的不等式．
（1）若时，求不等式的解集
（2）若，解这个关于的不等式
（3），恒成立，求的范围．
【答案】（1）；
（2）答案见解析 （3）．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求解；
（2）讨论，和三种情况，讨论不等式解集，当时，讨论两根的大小，求解不等式的解集；
（3）首先参变分离，，利用换元，以及基本不等式，转化为求的最大值.
【小问1详解】
时，
，
则所求不等式的解集为：；
【小问2详解】
当时，；
当时，，
当时，有，则此时不等式解集为：；
当，．
若，即时，不等式解集为：；
若，即时，不等式解集为：；
若，即时，不等式解集为空集．
综上，时，解集为；时，解集为；
时，解集为；
时，解集为；时，解集为；
【小问3详解】
，
因，则．
则题目等价于．
令，因，则．
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围为．
19. 定义：函数为“下取整函数”，其中表示不大于的最大整数；函数为“上取整函数”，其中表示不小于的最小整数；例如根据定义可得：，，，.
（1）函数，；求和；
（2）判断（1）中函数的奇偶性；
（3）试用分段函数的形式表示函数：.
【答案】（1）；（2）非奇非偶函数；（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义分别进行计算即可，
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可，
（3）利用新定义，结合分段函数的定义进行分段求解即可．
【详解】（1）函数，
∵ ，则
则
∵ ，则
则
（2）∵且，则（1）中函数为非奇非偶函数；
（3）当时，，，此时
当时，，，此时
当时，，，此时
当时，，，此时
当时，，，此时
则
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，根据新定义分别进行计算是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．