广东省佛山市S6高质量发展联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(解析版)

这是一份广东省佛山市S6高质量发展联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知函数的图象上一点及附近一点，则（ ）
A. B. 2
C. D.
【答案】D
【解析】由题有：
.
故选：D.
2. 在数列中，若，则（ ）
A. 17B. 23C. 25D. 41
【答案】D
【解析】
，
故.故选：D
3. 已知函数，则的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，函数的定义域为，
由，排除选项A、D；
当时，，所以，故排除选项B.
故选：C
4. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），则当时，需要（ ）步“雹程”？
A. 13B. 16C. 19D. 21
【答案】B
【解析】时，根据上述运算法则得出：
共需经过16个步骤变成1.故选：B
5. 已知函数，则经过点且与曲线在该点切线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，又，
所以所求直线方程为，即.
故选：B
6. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么，
因此，
，
令得，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
时，取得极大值，并且这个极大值即是最大值．
把代入，得（负值舍去），
由，解得，即圆心角为弧度时，容器的容积最大.
故选：A.
7. 已知函数的定义域为，且恒成立，则不等式的解集为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】令，
因为即，
则，
所以在上单调递增，
故若，即，即，
由单调性可得，，
所以不等式的解集为.
故选：B.
8. 经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，消去整理得，
令，则，
所以在上单调递增，
又，
所以方程组的解为，
即曲线与的公共点的坐标为，
设与和分别相切于，，
而，，
，，
，解得，
，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为，
所以所求直线方程为，整理得．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知首项为正数的等差数列的前项和为，公差为，若则（ ）
A. B. 若，则
C. 时，的最小值为27D. 最大时，
【答案】ABC
【解析】对于A，首项为正数的等差数列的前项和为，
所以，
若，则一定大于零，不符合题意，
所以，，故A正确；
对于B，由，，
可得，即，
解得，故B正确；
对于C，，，
所以时，的最小值为27，故C正确；
对于D，由A可知，因为，，可知，
即当时，，当时，，
所以时，取最大值，故D错误.
故选：ABC.
10. 数列1，1，2，3，5，8，13…是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在他写的《算盘全数》中提出的，所以它常被称作斐波那契数列．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为，其前项和为，则（ ）
A.
B. 是偶数
C.
D.
【答案】AB
【解析】依题意可得，，，，，，，，，，可得A正确；
由上述计算，观察分析发现，这个数列的数字是按照奇数、奇数、偶数这三个一组循环排列的，
而，可得是偶数，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故选：AB．
11. 已知定义在实数集上的函数的导函数为，且满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】易知，
故，
故，
则，而对于，
两侧同时求导得，
故可视为以为首项，以1为公差的等差数列，
故，其前项和为，
对于A，显然，故A正确，
对于B，显然，故B正确，
对于C，显然，故C错误，
对于D，显然，故D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则_________．
【答案】
【解析】由题，
所以，
则.
故答案为：.
13. 已知函数在处取得极小值，且，若值域为，则其定义域可以为_____________．（写出一个符合条件的即可）
【答案】(答案不唯一)
【解析】由题意知，，
因为函数在处取得极小值，且，
所以，解得，
所以，
令或，
所以函数在上单调递减，在、上单调递增，
故函数在处取得极小值，在处取得极大值，且，
令，则，解得，
若满足的值域为，则定义域可以为.
故答案为：(答案不唯一)
14. 若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为_________________．
【答案】
【解析】由，得，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以，
设数列的前项的和为，
则
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）当的图象与轴相切时，求实数的值；
（2）若关于的方程有两个不同的实数根，求的取值范围．
解：（1）由题意设切点为，
，
则，解得，
所以；
（2）函数的定义域为，
关于的方程有两个不同的实数根，
即方程有两个不同的实数根，
即函数的图象有两个不同的交点，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，，当时，且，
作出函数的大致图象，如图所示，
由图可知，
所以.
16. 已知数列的首项，前项和为，且，．
（1）证明：数列为等差数列，并求通项公式；
（2）设数列，求数列的前项和．
解：（1）因为，
所以，
因为，即，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，
所以；
（2）由（1），
当时，，
所以，
又适合上式，所以，
所以，
所以，
．
17. 已知等比数列的前项和为，，数列满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求的前项和．
解：（1）因为，所以公比，由，即，
解得，所以；
由，
得，
两式相减，得，
所以，
当时，满足上式，故.
（2）由（1）知，，，
所以，
，
，
两式加减，得，
所以.
18. 已知函数．
（1）讨论的单调区间；
（2）若函数，且是的两个极值点，求的最小值．
解：（1）因为，则，，
当时，，则函数在单调递增，
当时，，
当，，则单调递减，
当，，则单调递增，
综上所述，当时，函数上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为，，
则，
因为函数有两个极值点，
所以方程在上有两个不等实根，
则，即，
且，，所以，
所以
，
令，则，
所以，
可得函数上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有极小值，即最小值，且，
此时，即时，取得最小值.
19. 已知函数．
（1）若关于的不等式对于恒成立，求的最大值；
（2）已知，证明：．
解：（1）由不等式对于恒成立，
知不等式对于恒成立，
设，则，
设，则，
所以函数上单调递增，又，
故，使得即成立，
所以，即，，即，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，则，
所以函数在上单调递减，则，
即，所以，
又，所以k的最大值为.
（2）设，则，
得单调递增，单调递减，
所以，即，即.
得，即，即，
令，则，所以，即，
所以.
设，则，
所以函数在上单调递增，故，即，
所以，
所以
.