2025年高考数学试题分类汇编 专题10 直线与圆及圆锥曲线

这是一份2025年高考数学试题分类汇编 专题10 直线与圆及圆锥曲线，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2025·河南·高考试题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，
当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
2．（2025·上海·高考试题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解.
【详解】设曲线上一点为，则，则，
，方程为：，即，
根据点到直线的距离公式，到的距离为：，
设，
由于，显然关于单调递减，，无最小值，
即中，边上的高有最大值，无最小值，
又一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
二、填空题
3．（2025·河南·高考试题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
【答案】2
【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可.
【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，
圆的半径为，圆心到直线的距离为，
故，解得；
故答案为：2.
三、解答题
4．（2025·全国一卷·高考试题）设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．
（i）设，求点的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．
【答案】(1)
(2)(ⅰ) (ⅱ)
【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程；
（2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出；
(ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出.
【详解】（1）由题可知,，所以，解得，
故椭圆C的标准方程为；
（2）(ⅰ)设，易知，
法一：所以，故，且．
因为，，所以，
即，解得，所以，
所以点的坐标为.
法二：设，则，所以
，，故
点的坐标为.
(ⅱ)因为,,由,可得
,化简得,即,
所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）,
为到圆心的距离加上半径,
法一：设,所以
,当且仅当时取等号,
所以.
法二：设，则，
，当且仅当时取等号,
故.
5．（2025·全国二卷·高考试题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程；
（2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长.
【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，
故，故椭圆方程为：.
（2）
由题设直线的斜率不为0，故设直线，，
由可得，
故即，
且，
故，
解得，
故.
一、单选题
5．（2025·全国一卷·高考试题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解
【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，
由题知，，
于是，则，
即.
故选：D
6．（2025·北京·高考试题）双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率．
【详解】由得，，所以，
即，所以，
故选：B．
7．（2025·天津·高考试题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2B．5C．D．
【答案】A
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，
则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，∴，即离心率为2.
故选：

二、多选题
8．（2025·全国一卷·高考试题）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ）
A．B．
C．C的离心率为D．当时，四边形的面积为
【答案】ACD
【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.
【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，
故A正确；
对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，
设，则，故，故，
由A得，故即，故B错误；
方法二：因为，因为双曲线中，，
则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，
则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，
方法三：在利用余弦定理知，，
即，则，
则为直角三角形，且，则，故B错误；
对于C，方法一：因为，故，
由B可知，
故即，
故离心率，故C正确；
方法二：因为，则，则，故C正确；
对于D，当时，由C可知，故，
故，故四边形为，
故D正确，
故选：ACD.
一、单选题
9．（2025·全国一卷·高考试题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解.
【详解】对，令，则，
所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，
故，则，代入抛物线得.
所以.
故选：C
二、多选题
10．（2025·全国一卷·高考试题）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D.
【详解】法一：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，易知直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
联立，得，
易知，则，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
又
，
，
所以，
则，故D正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，当直线的斜率不存在时，；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消去，得，
易知，则，
所以
，
综上，，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
当直线的斜率不存在时，，；
所以，即；
当直线的斜率存在时，，
，
所以，
则；
综上，，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
11．（2025·浙江·高考试题）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可.
【详解】由题可得，
解得：．
故选：B
12．（2025·江西·高考试题）过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（ ）
A．16B．4C．21D．
【答案】B
【分析】求出圆的圆心和半径，再利用切线长定理求解.
【详解】圆的圆心，半径，
则，
所以.
故选：B
13．（2025·江苏·高考试题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的几何性质可求的值.
【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故，
故答案为：.
2025年高考模拟试题分类汇编
【直线与圆】
一、单选题
1．（2025·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解.
【详解】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为，
即且，，所以.
故选：D.
2．（2025·河南·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】由条件可得为正三角形，继而得出直线为线段的垂直平分线，写出直线的方程为并与椭圆方程联立，得到韦达定理，由利用弦长公式推出，结合图形将化简转化，利用椭圆的定义即可求得.
【详解】
如图，连接因为，即，，
因，则为正三角形.
又，则直线为线段的垂直平分线，故，，且，
故直线的方程为，代入椭圆的方程，得.
设，则，，
则，
解得，则，
.
故选：D.
3.（2025·浙江·三模）若坐标原点O关于动直线l：的对称点为A，则点A的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】A
【分析】先求出直线过的定点，再利用对称性得，最后根据圆的定义即可判断.
【详解】由得，所以直线l过定点，
又由对称性可知，，所以点A到点B的距离为，所以点A的轨迹为圆.
故选：A．
4．（2025·山东·三模）已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】应用点到直线距离得出，最小时，利用面积公式结合角的范围即得.
【详解】∵圆心O到直线的距离，所以，
设 ，，所以，，所以，
则面积
故选：A.
5．（2025·江苏·三模）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】当时最小，最小，求出最小值即得的值.
【详解】
如图，
当的最大值为时，，
当时，最小时，最大.
由题得，
所以，则；
故选：A.
6．（2025·江西·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k.
【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心，
所以点关于直线对称的点在圆上，
又点关于直线对称的点在圆上，
所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为，
所以与两点所在直线，与垂直，故.
二、多选题
7．（2025·重庆·二模）已知直线，圆，下列结论正确的是（ ）
A．直线与圆总有公共点
B．点到直线的距离的最大值为
C．若圆与圆有交点，则的取值范围是
D．当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则实数的取值范围为
【答案】BC
【分析】对于A，由圆心到直线的距离公式与半径关系即可判断，对于B，求直线的定点，则圆心到直线的最大距离为圆心到定点的距离即可判断，对于C，根据圆心距与两圆半径的关系即可求解，对于D，当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，可知直线和圆相离或相切，即由圆心到直线的距离公式与半径关系即可求解.
【详解】对于A：圆 的圆心到直线的距离为
，
故当时，直线与圆没有公共点，故A错误；
对于B：直线恒过定点，
则圆心到直线的最大值为，故B正确；
对于C：圆的圆心为，半径为，
圆，圆心，半径为，
，由圆与圆有交点，
所以，即，所以，
即r的取值范围是，故C正确；
对于D：当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则直线和圆相离或相切，
所以圆心到直线的距离为，
解得，所以实数k的取值范围为，故D错误.
故 选：BC.
三、填空题
8．（2025·山西·二模）已知圆过点，则的方程为 .
【答案】
【分析】利用待定系数法及圆的一般方程即可求解.
【详解】设圆的一般式方程为：，
因为圆经过点,
所以,解得，
所以圆的一般式方程为：.
故答案为：.
17．（2025·北京顺义·一模）已知直线：与圆：有两个交点，则可以是 .（写出满足条件的一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据点到直线距离公式和题意列出关于的不等式，求解即可.
【详解】由圆：，可知：圆心，半径.
直线方程的一般式为.
由点到直线距离公式和题意可得：
，解得：.
所以可以是.
故答案为：（答案不唯一）
18．（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 .
【答案】
【分析】利用垂径定理来求弦长，得用勾股定理来求切线长，即可解决问题.
【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得，
结合已知点，可得：
所以，
故答案为：.
9．（2025·山东·三模）在平面直角坐标系中，已知点、，曲线上动点满足，与曲线交于、两点，则最小值为 ．
【答案】
【分析】设点，利用平面内两点间的距离公式化简可得出曲线的方程，可知曲线是以点为圆心，半径为的圆，求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，圆心到直线的距离取最大值，结合勾股定理可求出的最小值.
【详解】设点，由得，
化简得，所以曲线是以点为圆心，半径为的圆，
直线的方程可化为，
由得，即直线过定点，
且，故点在圆内，易知轴，
当时，即当时，圆心到直线的距离取最大值，且，
故，即最小值为.
故答案为：.
10．（2025·安徽·三模）已知曲线：与圆：恰有2个公共点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据曲线交点的概念，联立方程组，根据交点个数确定解的个数，求出参数范围.
【详解】联立，消去得.
当时，，当时，，即，是曲线与圆的2个公共点.
因为曲线与圆恰有2个公共点，所以方程除外没有其他解.因为，
所以，所以.
故答案为: .
11．（2025·安徽·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 .
【答案】9
【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积；
法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积.
【详解】由已知，圆，圆，
圆心，半径，圆心，半径，
法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9；
法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：
到距离为，所以，即，
又，
所以，四边形的面积.
故答案为：9.