四川省内江市隆昌市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试卷含解析

这是一份四川省内江市隆昌市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试卷含解析，共23页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分．共 4 页．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．考试结束后，只将答题卡交回．
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 个，共 40 分．
1. 下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐项分析旋转图形可得旋转体的立体图，分析即可得答案.
【详解】解：
A 是上面一个圆锥，下面一个圆台，不符合；
B 是上下两个圆锥，中间一个圆柱，不符合；
C 是上面一个圆柱，下面一个圆锥，符合上图；
D 是两个圆锥，不符合.
故选：C
2. 设 、 是两个不同的平面，则 的充要条件是（ ）.
A. 平面 内任意一条直线与平面 垂直
B. 平面 、 都垂直于同一条直线
C. 平面 、 都垂直于同一平面
D. 平面 内存在一条直线与平面 垂直
第 1页/共 22页
【答案】D
【解析】
【分析】
当两个平面垂直时，一个平面内的一条直线可以与另一个平面成任意角，可判断 A 项不正确；垂直于同一
条直线的两个平面互相平行，可判断 B 项不正确；垂直于同一个平面的两个平面可以成任意角，可判断 C
项错误；利用面面垂直的判定定理可以得到 D 项正确；从而得到答案
【详解】若 ，则平面 内存在直线与平面 不垂直，选项 A 不正确；
若平面 、 都垂直于同一条直线，则平面 与 平行，选项 B 不正确；
若平面 、 都垂直于同一平面，则平面 、 可以平行，也可以相交，选项 C 不正确；
若平面 内存在一条直线与平面 垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知 ，
若 ，则由面面垂直的性质定理知，
平面 内垂直于平面 内的两条相交直线的直线一定垂直于平面 ，故选项 D 正确；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有面面垂直的相关条件及结论，在做题的过程中，要注意：
（1）要建立很强的空间立体感；
（2）对空间关系对应的相关结论要非常熟悉；
（3）可以随手制造模型.
3. 是边长为 1 的正三角形，那么 的斜二测平面直观图 的面积（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出原三角形的面积，再根据原图和直观图面积之间的关系即可得解.
【详解】以 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系，
画对应的 轴， 轴，使 ，如下图所示，
第 2页/共 22页
结合图形， 的面积为 ，
作 ，垂足为 ，
则 ， ，
所以 的面积 ，
即原图和直观图面积之间的关系为 ，
所以， 的面积为 .
故选：A.
【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积的关系，属于基础题.
4. 已知一个正方体的棱长为 2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可所求球即为该正方体的内切球，从而可求解．
【详解】根据题意可所求球即为该正方体的内切球，
该球的半径 为正方体的棱长的一半，即 ，
所求球的体积为
故选：B
5. 如图，已知 分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线 相交的是（ ）．
第 3页/共 22页
A. 直线 B. 直线
C. 直线 D. 直线 ．
【答案】A
【解析】
【分析】通过空间想象直接可得.
【详解】如图，易知 ，所以 ，且 ，
所以 为梯形，故 与 EF 相交，A 正确；
因为 ，所以 ，故 B 错误；
因为平面 CDH 平面 EFNL， 平面 CDH， 平面 EFNL，
所以直线 CD 与直线 EF 无公共点，故 C 错误；
因为 平面 ADF， 平面 ，故 AD 与 EF 异面，D 错误.
故选：A
6. 如图，空间四边形 ABCD 的对角线 AC＝8，BD＝6，M，N 分别为 AB，CD 的中点，并且异面直线 AC 与
BD 所成的角为 ，则 MN＝（ ）
第 4页/共 22页
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】平移法找出异面直线所成的角，后用直角三角形知识解决．
【详解】
取 AD 的中点 P，连接 PM，PN，则
∴ 或其补角即异面直线 AC 与 BD 所成的角，
∴ ， ， ，
∴ .
故选：C.
7. 如图，在三棱锥 中， 为 OA 的中点，点 在 BC 上，满足 ，记 分
别为 ，则 （ ）
A. B.
第 5页/共 22页
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算的几何表示进行求解即可.
【详解】在三棱锥 中，
，E 为 OA 的中点，
， ， ，
所以 .
故选：D.
8. 在四棱锥 中，底面 为平行四边形，E 为线段 上靠近 A 的三等分点，F 为线段
上一点，当 平面 时， （ ）
A. 3 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可.
【详解】
如图，连接 交 于点 ，连接
因为 平面 平面 ，平面 平面 所以 ，
第 6页/共 22页
所以 ，因为 为 的三等分点，
则 即 .
故选：D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 正四面体是正三棱锥． B. 棱锥的侧面是全等的三角形．
C. 平行六面体各个面都是平行四边形． D. 延长棱台所有侧棱，它们会交于一点．
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据棱锥、平行六面体、棱台的结构特征逐项判断即得.
【详解】对于 A，正四面体的四个面都是等边三角形，是正三棱锥，A 正确；
对于 B，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，B 错误；
对于 C，平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，各个面都是平行四边形，C 正确；
对于 D，棱台可视为棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体，
因此延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，D 正确.
故选：ACD
10. 如图，正方体 棱长为 1，则下列四个命题正确的是（ ）
A. 两条异面直线 和 所成的角为
B. 直线 BC 与平面 所成的角等于
C. 三棱柱 外接球半径为
D. 若 M 是线段 AC 上的动点，则 M 到面 的距离为
第 7页/共 22页
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用平移法可求异面直线 和 所成的角判断 A；根据线面角的定义可判断 B；结合正方体
的外接球可判断 C，利用等体积法可判断 D.
【详解】对于 A，连接 ，因为 ,
故四边形 为平行四边形，则 ，
则异面直线 和 所成的角即为 或其补角，
由于 ，即 为等边三角形，故 ，A 错误；
对于 B，连接 ，在正方形 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，故 ，
平面 ，故 平面 ，
故直线 BC 与平面 所成的角为 ，B 正确；
对于 C，三棱柱 外接球即为正方体 的外接球，
球 半径为正方体体对角的一半，即 ，C 正确；
第 8页/共 22页
对于 D，连接 ，由于 ，
即四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ，
M 是线段 AC 上的动点，则 M 到平面 的距离等于 A 到平面 的距离，
，则 ,
设 A 到平面 的距离为 h，
则 ，即 ,
即 ，则 ，
即 M 到平面 的距离等于 ，D 正确，
故选：BCD
11. 如 图 ， 正 三 棱 柱 的 各 棱 长 均 为 1， 点 是 棱 的 中 点 ， 点 满 足
，点 为 的中点，点 是棱 上靠近点 的四等分点，则（ ）
A. 三棱锥 的体积为定值
第 9页/共 22页
B. 的最小值为
C. 平面
D. 当 时，过点 的平面截正三棱柱 所得图形的面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于 ,利用 ，即可证明；对于 ,将 沿 展开与正方形 在
同一个平面内，则当 三点共线时， 取得最小值,即可求解；对于 ,利用线面平行的判
断定理即可证明；对于 ,根据题中条件首先得到截面图形，进一步求解计算即可.
【详解】由题意可知 ，设点 到平面 的距离为 ，
易知平面 平面 ，
所以点 到平面 的距离等于点 到线段 的距离，
又 ，所以 ，
所以 ，为定值，
故 A 正确；
将 沿 展开与正方形 在同一个平面内，
记此时与 对应的点为 ，
则当 三点共线时， 取得最小值，即 ，
，
故 的最小值为 ，故 B 错误；
由点 分别为 的中点，得 ，
第 10页/共 22页
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，故 C 正确；
连接 并延长交 于点 ，连接 ，
则过点 的平面截正三棱柱 所得截面图形为 ，
因为 ，平面 平面 ，
平面 平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ，则点 为 的中点，又点 为 的中点，
所以 ，
当 时，点 为 中点，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故 ，故 D 错误．
故选：
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分．
12. 已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，则该圆柱的全面积为_______．
第 11页/共 22页
【答案】
【解析】
【分析】利用圆柱的全面积公式求解.
【详解】由圆柱的全面积公式得： ，
故答案为：
13. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E 是棱 AB 的中点，F 是侧面 AA1D1D 内一点，若 EF∥平面
BB1D1D，则 EF 长度的范围为_______________________
【答案】
【解析】
【分析】由面面平行的判定定理和性质定理确定 F 的位置，有此可求 EF 长度的范围.
【详解】过 作 ，交 于点 ，交 于 ，则 底面
∵ 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，又 平面 平面
第 12页/共 22页
又平面 平面 ， 平面 ∴
∵ 为 中点 为 中点，则 为 中点
即 在线段 上
，
，
则线段 长度的取值范围为： ，
故答案为： .
14. 四棱锥 所有顶点都在同一个球面上， ， ，
，则其外接球的表面积为______；过 BD 的中点作直线与球 O 相交的最短弦长
为______．
【答案】 ①. 64π ②. 6
【解析】
【分析】记四边形 的外接圆的圆心为 ，由条件可得 平面 ，故四棱锥 的
外接球的球心 在直线 上，求四边形 的外接圆半径和 ，根据球心 在 的垂直平分线
上可求四棱锥 的外接球的半径，根据球的表面积公式可求四棱锥 的外接球的表面积，
设 的中点为 ，由条件求 ，由球的性质可求过 的球的最短弦长.
【详解】记四边形 的外接圆的圆心为 ，因为 ，
所以 平面 ，
记四棱锥 的外接球的球心为 ，则 平面 ，
所以四棱锥 的外接球的球心 在直线 上，
设 ，
因为四边形 的外接圆圆心就是 的外接圆，设外接圆的半径为 ，
因为 ， ，
第 13页/共 22页
所以 为等边三角形， ，故 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
由已知球心 在 的垂直平分线上，所以 ，
所以四棱锥 的外接球的半径的半径 ，
所以四棱锥 的外接球的表面积 ，
设 的中点为 ，则 ， 所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 三点共线，
因为 ， ，所以 ，又 ，
所以 ，又 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以 ，
所以过 BD 的中点作直线与球 O 相交的最短弦长为 ，
故答案为： ， .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．
第 14页/共 22页
15. 如图，已知圆锥的顶点为 P，O 是底面圆心，AB 是底面圆的直径， ， ．
（1）求圆锥的表面积；
（2）经过圆锥的高 PO 的中点 作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径 ，母线 ，从而可求出锥的表面积，
（2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体
积
【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径 ，母线 ．
∴该圆锥的表面积 ．
（2）在 中， ，
∵ 是 PO 的中点，∴ ．
∴小圆锥的高 ，小圆锥的底面半径 ，
∴截得的圆台的体积 ．
16. 如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，△ABC 与△A1B1C1 都为正三角形且 AA1⊥面 ABC，F、F1 分别是 AC，
A1C1 的中点.求证：
第 15页/共 22页
（1）平面 AB1F1∥平面 C1BF；
（2）平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由棱柱的性质及中点得 B1F1∥BF，AF1∥C1F.，从而有线面平行，再有面面平行；
（2）先证明 B1F1⊥平面 ACC1A1，然后可得面面垂直．
【详解】证明：（1）在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，连接 ，
∵F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点，
， ， ，
∴ 是平行四边形， 是平行四边形，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
同理 平面 ，
又∵B1F1∩AF1＝F1， 平面 ， 平面 ，
∴平面 AB1F1∥平面 C1BF.
（2）在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥平面 A1B1C1， 平面 ，∴B1F1⊥AA1.
又 是等边三角形， 是 中点，∴B1F1⊥A1C1，而 A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面 ACC1A1，而 B1F1⊂平面 AB1F1，
∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.
【点睛】本题考查证明面面平行和面面垂直，掌握面面平行和面面垂直的判定定理是解题关键．
17. 如图，在三棱锥 中， ， 分别是 ， 的中点， ，
第 16页/共 22页
.
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）通过已知条件证明 、 ，根据线面垂直的判定定理即可证明 平面
；
（2）取 的中点 ，通过平行关系可知异面直线所成角为 或其补角，根据余弦定理求解出
的值，则异面直线所成角的余弦值可求.
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ， ，∴ .
∵ ， ，∴ .
在 中，由已知可得： ， ，而 ，
∴ ，∴ ，即 .
∵ ，∴ 平面 ；
（2）解：取 的中点 ，连接 ， ， ，
由 为 的中点知 ， ，
∴直线 与直线 所成的锐角就是异面直线 与 所成的角.
第 17页/共 22页
在 中， ， ，
∵ 是 斜边 上的中线，
∴ ，∴ ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 .
18. 如图， 平面 ，平面 平面 ，
（1）求证： 平面 ．
（2）若 ，M 是 PB 的中点，求 AM 与平面 PBC 所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质可得线面垂直；
（2）作 ，连接 OM，由平面 平面 PAC，得到 平面 PBC，则 即为 AM 与平
面 PBC 所成的角求解.
【小问 1 详解】
过点 作 于点 ，
第 18页/共 22页
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 .
【小问 2 详解】
如图所示：
作 ，连接 OM，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，则 即为 AM 与平面 PBC 所成的角，
设 ，则 ，
所以 ，又 ，则 ，
所以 AM 与平面 PBC 所成角的正切值为 .
19. 如图，在四棱锥 中，侧面 平面 ， 是边长为 2 的等边三角形，底面
ABCD 为直角梯形，其中 ， ， ．
第 19页/共 22页
（1）取线段 PA 中点 M，连接 BM，证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）线段 PC 上是否存在点 E，使得平面 平面 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，证出四边形 为平行四边形，即可得证.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量 以及平面 的一个法向量，利向量公式即可求解
.
（3）令 ，求出平面 的法向量 ，再由两平面垂直得 进
行求解．
【小问 1 详解】
在四棱锥 中，取 中点 ，连接 ，
由 为 的中点，且 ， ，得 ， ，
则四边形 为平行四边形， ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
第 20页/共 22页
【小问 2 详解】
取 的中点 ，连接 ， ，由 为等边三角形，得 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，由 ，得四边形 是平行四边形，
于是 ，而 ，则 ，直线 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，得 ，
平面 的一个法向量为 ，
则 ，
设二面角 的平面角为 ，由图知 为锐角，
则 ，
故二面角 的余弦值为： ．
【小问 3 详解】
令 ，
， ，
第 21页/共 22页
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，得 ，平面 的法向量为 ，
由平面 平面 ，得 ，
得 ，
得 ，
故存在点 E，使得平面 平面 ，此时 ．
第 22页/共 22页